Задача №9:

Плотность распределения f(х) случайной величины X на (а, в) задана в условии, а при x (а, в); f (x)= 0.

Требуется:

1) найти параметр А;

2) построить графики плотности и функции распределения;

3) найти математическое ожидание МХ, дисперсию DX и среднее квадратическое отклонение ;

4) вычислить вероятность Р того, что отклонение случайной величины от математического ожидания не более заданного 

Вариант	f (x)	(а,в)	
10	A(x2+1)	(0,2)	1

Решение:

1).

Так как все значения данной случайной величины заключены на интервале , то, откуда, или, т.е..

2)Графиком функции на интервалеявляется парабола, а вне этого интервала графиком служит сама ось абсцисс:

Если , то, следовательно,

.

Если , то

.

Если , то

.

.

Итак, искомая функция распределения

График функции распределения:

3). Для нахождения математического ожидания используем формулу:

.

Подставив a=0,b=2,,получим:

Находим дисперсию по формуле:

.

Среднее квадратическое отклонение определяется формулой:

.

4).Вычисляем вероятность:

Задача №8:

Случайное отклонение размера детали от номинала распределено по нормальному закону с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением . Годными считаются детали, для которых отклонение от номинала лежит в интервале [a-;a+]

Требуется:

1) записать формулу плотности распределения и построить график плотности;

2) вычислить таблицу функции распределения отклонения для значений x = a + k , k = 0, 1, 2, 3 и построить график;

3) найти вероятность того, что при выборе наудачу n деталей отклонение каждой из них попадает в интервал [;];

4) определить, какое наименьшее число деталей необходимо изготовить, чтобы среди них с вероятностью не меньшей, чем Р , хотя бы одна деталь была годной.

Замечание. В п. 3, 4 пользоваться линейной интерполяцией при отсутствии нужного значения в таблице.

Вариант	a				n	P	
10	-2	1	-2	0,718	4	0,97	1,645

Решение:

1). Используя, формулу получаем:

2) x=σ*k+a, где к =0; ±1; ±2; ±3

k	-3	-2	-1	0	1	2	3
x	-5	-4	-3	-2	-1	0	1
F(x)	0.0013	0.0228	0.1587	0.5	0.8413	0.9772	0.9987

F (-5)=F₀₁

График:

3).Вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу, равна:

.

Тогда

Вероятность того, что случайная величинапопадет в интервал(-2;-0.718), при 4 испытаниях, равна: 0.4⁴=0.0256

4). Используем формулу:.

Тогда

Задача № 11

Случайная величина X имеет плотность распределения f(x), случайная величина Y= (X). Найти закон распределения случайной величины Y , ее математическое ожидание и дисперсию.

В вариантах 1...15 случайная величина X равномерно распределена на промежутке [а, b] .

a=-2, b=2,  (x) = х²

Решение:

Найдем плотность распределения случайной величины. Величинараспределена равномерно на отрезке [-2;2]поэтому, используя формулу, получаем

;

вне рассматриваемого интервала .

Функция y=x²на промежутке [-2;2] монотонна, следовательно, на этом интервале она имеет обратную функцию. Получим выражение для:

.

Найдем закон распределения случайной величины в виде функции плотности вероятностипо формуле:

.

Учитывая, что функция определена на отрезке [0;2] (следовательно,)

и , получаем

Так как y=x², причем, то. Таким образом, на отрезке [0;4] имеем ; вне этого отрезка.

Контроль:

Таким образом, получаем:

Находим математическое ожидание по формуле:

;

и учитываем, что вне отрезка [0;4] функцияравна нулю, получаем:

Находим дисперсию по формуле: