Задача №1:

Сколькими способами можно расставить на 32 черных полях шахматной доски 12 белых и 12 черных шашек? (На клетку ставится не более одной шашки).

Решение:

Всего на шахматной доске 64 клетки из них 32 черных. Белые шашки мы можем поставить способами, т.е. из 32 клеток мы занимаем 12 позиции. А черные шашекспособами, т. е. из оставшихся 20 клеток, мы занимаем 12 позиции. Так как выбор способов происходит одновременно, следовательно, применяем правило произведения. Значит,способами можно расставить 12 белых и 12 черных шашек на шахматной доске.

Ответ: 28443124054800

Задача №2:

Из пяти деталей выбирают одну годную, проверяя их последовательно.

А_i - i-я выбранная деталь годная. С - годная деталь нашлась раньше, чем были проверены все детали.

Решение:

А_i – годная деталь i=1,2,3,4,5

A₁ – 1 деталь годная;

Ā₁A₂ – 1 деталь не годная, а 2 годная;

Ā₁ Ā₂А₃ – 1,2 детали не годны, а 3 годная;

Ā₁ Ā₂ Ā₃А₄ – 1,2,3 детали не годны, а 4 годна;

С - годная деталь нашлась раньше, чем были проверены все детали (по усл.) следовательно, 5 деталь не проверяется.

Так выбор способов происходит не одновременно, следовательно, применяем правило сложения

С= A₁+ Ā₁A₂+ Ā₁ Ā₂А₃+ Ā₁ Ā₂ Ā₃А₄

Ответ: С= A₁+ Ā₁A₂+ Ā₁ Ā₂А₃+ Ā₁ Ā₂ Ā₃А₄

Задача №3:

Наудачу выбирается семизначное число. Найти вероятность того, что число одинаково читается как слева направо, так и справа налево (например, 4321234).

Решение:

Вероятность определяться по формуле p=m/n , где m – количество благоприятных этому событию исходов, n – количество всех возможных исходов

Представим любое семизначное число в виде a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ a₆ a₇;

Найдем количество всевозможных исходов: a₁ может изменяться от 1 до 9 => количество возможных вариантов а₁=9; остальные 6 цифр могут изменяться от 0 до 9 => количество возможных вариантов а₂ =а₃ = а₄ =а₅ =а₆= а₇ =10. Пользуемся теоремой произведения т.к. выбор цифр происходит одновременно. n = 9*10⁶.

Найдем количество благоприятных этому событию исходов: а₄ может изменяться от 0 до 9 => количество возможных вариантов a₄=10; a₁=а₇ могут изменяться от 1 до 9 => количество возможных вариантов а₁=а₇=9; остальные цифры а₂=а₆, а₃=а₅ изменяются от 0 до 9 => количество возможных вариантов а₂=а₆=10 и а₃=а₅=10. Пользуемся теоремой произведения т.к. выбор цифр происходит одновременно. m = 9*10³

p = 9*10³/9*10⁶=0,001

Ответ: p =0,001

Задача №4:

На противоположных сторонах линейки шириной 3 см и длиной 20 см случайно сделаны насечки. Какова вероятность, что расстояние между ними меньше 5 см?

Решение:

Верхний край линейки обозначим за Y , а нижний за Х. Вероятность находим по формуле p=m/n , где m – количество благоприятных этому событию исходов, n – количество всех возможных исходов. n =Х*Y, то есть квадрату со стороной, а=20.

Рассмотрим 2 случая: 1) Х>Y , тогда чтобы условие задачи выполнялось необходимо выполнение условия Х-У<4 2)Х<Y , тогда здесь решением будет Y-X<4

Пересечение 2-х этих множеств будет равно m.

Вероятность р=[20²-16²]/20² =0,36

Y

S_m– площадь множества благоприятствующих исходов;

S_k– площадь множества общего количества исходов;

S₁,S₂ – площади не благоприятствующих исходов;

S_m=S_k-(S₁+S₂)

20 S₁=16²/2

m

4 S₂=16²/2

X

0 4 20

Ответ: p =0,36

Задача №5:

Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо. Вероятность того, что в течение часа не потребует внимания рабочего: первый станок - 0,9; второй - 0,8; третий - 0,85. Найти вероятность того, что в течение часа два станка потребуют внимания рабочего

Решение:

A_i – выход из строя i-го станка i=1, 2, 3

p₁ =0,9; p₂ =0,8; p₃ =0,85; вероятность того что в течении часа станки не потребуют внимания

q₁ =0,1; q₂ =0,2; q₃=0,15; вероятность того, что в течении часа станки потребуют внимание

Вероятности того, что 2 станка выйдут из строя: P(A₁)* P(A₂) *P(Ā₃) - выход из строя 1 и 2 станка; P(Ā₁)* P(A₂)*P(A₃) - выход из строя 2 и 3 станка; P(A₁)*P(Ā₂)*P(A₃) - выход из строя 1 и 3 станка. Так выбор способов происходит не одновременно, следовательно, применяем правило сложения.

P(A_i) = P(A₁) * P(A₂) * P(Ā₃) + P(Ā₁) * P(A₂) * P(A₃) + P(A₁) * P(Ā₂) * P(A₃) = 0,1 * 0,2 * 0,85 + 0,9 * 0,2 * 0,15 + 0,1 * 0,8 * 0,15 = 0,056

Ответ: p =0,056

Задача № 6

На сборку поступили транзисторы с двух заводов-изготовителей, причем первый завод поставил 30 %, остальные - второй. Вероятность отказа для транзистора первого завода 0,1 , а второго - 0,15. В блок поставлено два наудачу взятых транзистора. Найти вероятность, что блок неисправен. Какова вероятность, что оба транзистора изготовлены вторым заводом, если блок неисправен? Блок не работает, если дефект имеет хоть один транзистор

Решение:

Событие А - блок не исправен

Гипотезы:

Н₁- В блок входят по одному транзистору с каждого завода

Н₂– В блок входят транзисторы только с первого завода

Н₃- В блок входят транзисторы только со второго завода

Р(Н₁)=0,3*0,7+0,7*0,3=0,42

Р(Н₂)=0,3*0,3=0,09

Р(Н₃)=0,7*0,7=0,49

Проверка:

Условные вероятности:

Р(А|H₁)=0.1*0.15+0.1*0.85+0.9*0.15=0.235

Р(А|H₂)=0.1*0.1+0.1*0.9+0.1*0.9=0.19

Р(А|H₃)=0.15*0.15+0.15*0.85+0.15*0.85=0.2775

Находим вероятность события А:

P(A)= Р(Н₁)* Р(А|H₁)+ Р(Н₂)* Р(А|H₂)+ Р(Н₃)* Р(А|H₃)=0.42*0.235+0.09*0.19+0.49*0.2775=

=0.0987+0.0171+0.135975=0.2517750.252

Находим вероятность того, что оба транзистора изготовлены на втором заводе

P (H₃|A) =