Задача №7:

Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х. Построить график функции распределения и найти вероятность события Х  К Производится выстрел из трех орудий одновременно по цели с вероятностями попадания 0,5; 0,6 и 0,7 для каждого орудия. X - число попаданий. К = I

Решение:

p₁=0.5 Þ₁=0.5

p₂=0.6 Þ₂=0.4

p₃=0.7 Þ₃=0.3

Необходимо определить вероятность попадания стрелков в цель.

Рассмотрим 4 случая:

1. Не один стрелок не попал в цель

Тогда P(0)= Þ₁* Þ₂* Þ₃=0.5*0.4*0.3=0.06

2. Один стрелок попал в цель

P(1)= Þ₁* Þ₂* p₃+ Þ₁* Þ₃* p₂+ Þ₂* Þ₃* p₁=0.5*0.4*0.7+0.5*0.3*0.6+0.4*0.3*0.5=0.29

3. Два стрелка попали в цель

P(2)= p₁* p₂* Þ₃+ p₁* p₃* Þ₂+ p₃* p₂* Þ₁=0.5*0.6*0.3+0.5*0.7*0.4+0.7*0.6*0.5=0.44

4. Три стрелка попали в цель

P(3)= p₁* p₂* p₃=0.5*0.6*0.7=0.21

X	0	1	2	3
P	0.06	0.29	0.44	0.21

Нахождение математического ожидания.

M(X) =

M(X)=0*0.06+1*0.29+2*0.44+3*0.21=1.8

Нахождение дисперсии.

D(X) =P*[X-M(X)

D(X)=(0-1.8)²*0.06+(1-1.8)²*0.29+(2-1.8)²*0.44+(3-1.8)²*0.21=0.7

Нахождение функции распределения.

1. X<0

P(X<0) =0

2. 0X<1

X=0.5 P(X<0.5) =0.06

3. 1X<2

X=1.5 P(X<1.5) =0.06+0.29=0.35

4. 2X<3

X=2.5 P(X<2.5) = 0.06+0.029+0.44=0.79

5. X3

X=4 P(X>4) = 0.06+0.29+0.44+0.21=1

Ответ: вероятность события X1 равна: P(X1) = P(X=0) + P(X=1) = 0.06+0.29= 0.35

Задача №8:

В случаях а, б и в рассматривается серия из n независимых испытаний с двумя исходами в каждом - "успех" или "неуспех". Вероятность "успеха" равна p, "неуспеха" q= 1-p в каждом испытании. X - число "успехов" в n испытаниях. Требуется:

1) Для случая a (малого n) построить ряд распределения, функцию распределения X, найти

МХ, DХ и Р (Х2) ;

2) Для случая б (большого n и малого p ) найти р (х2) приближенно с помощью распределения Пуассона. Оценить точность приближения;

3) Для случая в (большого n) найти вероятность p(k1Xk2) приближенно с помощью теоремы Муавра-Лапласа.

Вариант	Случай а n p		Случай б N p		Случай в N p k1 k2
10	5	0,7	100	0,007	150	0,6	86	96

Решение:

Рассмотрим 1 случай.

Для нахождения вероятности числа успехов применим формулу Бернулли.

, где p=0.7, а q=0.3.

m – число успехов, и изменяется от 0 до 5, а n =5 – число испытаний.

X	0	1	2	3	4	5
P	0.00243	0.02835	0.1323	0.3087	0.36015	0.16807

Графика нету но должен быть

Нахождение математического ожидания.

M(X) =

M(X)= 0*0.00243+1*0.02835+2*0.1323+3*0.3087+4*0.36015+5*0.16807=3.5

Нахождение дисперсии.

D(X) = P*[X-M(X)

D(X) = 0.0043*(0-3.5)² + 0.02835*(1-3.5)² + 0.1323*(2-3.5)²+0.3087*(3-3.5)²+0.36015*(4-3.5)²+0.16807*(5- 3.5)²=1.05

Нахождение функции распределения.

1. X<0

P(X<0) = 0

2. 0X<1

X=0.5 P(X<0.5) = 0.00243

3 1X<2

X=1.5 P(X<1.5) =0.00243 + 0.02835=0.03078

4. 2X<3

X=2.5 P(X<2.5) = 0.00243 +0.02835+0.1323=0.16308

4. 3X<4

X=3.5 P(X<3.5) =0.00243 +0.02835+0.1323+0.3087=0.47178

4. 4X<5

X=4.5 P(X<4.5) = 0.00243 +0.02835+0.1323+0.3087+0.36015=0.83193

4. X5

X=6 P(X>6) = 0.00243 +0.02835+0.1323+0.3087+0.36015+0.16807=1

Таким образом, вероятность события X2 равна: P(X2) = P(X<0) + P(X<1)+

P(X<2) +P(X<3) =0.00243+0.02835+0.1323=0.16308

Рассмотрим 2 случай

N=100 – количество испытаний.

P=0.007 – вероятность успеха.

m – число успехов.

По формуле Пуассона

Таким образом, вероятность события X2 равна:

Для того, чтобы оценить точность приближения используем формулу

N*P²=0.0049

Рассмотрим 3 случай

n=150 - количество испытаний,

p=0.6 – вероятность успеха,

q = 0.4 – вероятность неудачи

- пределы, в которых в совершенных испытаниях, должен наступить успех.

Используем интегральную теорему Муавра – Лапласа:

, при условии, что n*p*q>=20.

n*p*q = 36

X₁ = -0.66 Ф (- 067) = - Ф (0.67) = -0.2486

X₂ = 1 Ф (1) =0.3413

P_n = -0.2486-0.3413 = 0.5899

Следовательно, P(k₁Xk₂) = 0,5899

Ответ: а) М (х)=3,5;D(x)=1.05;P(x<=2)=0.16308

б) P(x<=2)=0.966;n*p²=0.0049

в) P(86<=X<=96)=0.5899