- •Часть 3. Импульсные и цифровые устройства
- •Предисловие
- •1. Общие сведения о цепях импульсного действия и импульсных процессах 1, 2, 3
- •1.1. Предмет импульсной техники. Импульсные сигналы и импульсные режимы работы электронной цепи
- •1.2. Виды импульсных сигналов и их параметры
- •1.3. Представление периодических сигналов тригонометрическим рядом Фурье
- •1.4. Спектральное представление непериодических сигналов
- •1.5. Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях операторным методом
- •Контрольные вопросы
- •2. Переходные процессы в rc-цепях первого порядка2, 4, 5, 6
- •2.1. Интегрирующая цепь
- •2.2. Дифференцирующая rc-цепь
- •2.3. Ускоряющая rc-цепь
- •2.4. Компенсированный делитель напряжения
- •Контрольные вопросы
- •3. Переходные процессы в цепях с индуктивностью 4, 6
- •3.1. Назначение трансформатора
- •3.2. Особенности работы импульсного трансформатора
- •3.3. Эквивалентная схема трансформатора
- •3.3.1. Переходная характеристика трансформатора в области нижних частот
- •3.3.2. Переходная характеристика трансформатора в области верхних частот. Формирование фронта выходного импульса
- •Контрольные вопросы
1.5. Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях операторным методом
Воздействие сигналов импульсной формы на элементы электронной цепи принципиально вызывает необходимость расчета не только установившихся электромагнитных процессов в цепи, но и свойственных любому динамическому объекту переходных режимов.
Параметры переходного процесса определяются в результате решения системы дифференциальных уравнений, отражающих присутствие в цепи реактивных элементов.
Эффективным методом решения дифференциальных уравнений является операторный, основанный на представлении временных функций с помощью преобразования Лапласа. Преобразование Лапласа исходит из прямого преобразования Фурье, в котором комплексный оператор jзаменяется операторомp =+j, носящим название комплексной частоты. Использование его позволяет перейти от решения системы дифференциальных уравнений к решению более простой системы алгебраических уравнений.
Пусть некоторая функция f(t) определена приt0 и тождественно равна нулю приt0. Для нее преобразование Лапласа записывается в следующем виде:
. (1.22)
Функцию f(t) называют оригиналом, а функциюF(p) – ее изображением.
Зная изображение функции, можно восстановить ее оригинал с помощью обратного преобразования Лапласа, схожего с обратным преобразованием Фурье:
. (1.23)
Решение последнего уравнения детально исследуется в теории функций комплексного переменного и может быть получено во многих случаях с помощью следующего алгоритма, называемого теоремой разложения.
Смысл ее состоит в следующем. Пусть изображение искомой функции имеет вид
, (1.24)
где А(p),B(p) – полиномы комплексной переменнойpстепенейmиn, причемmn:
A (p)=am pm+ am –1 pm –1 + am – 2 pm –2 +….. a0, (1.25)
B (p)=bn pn+ bn –1 pn–1 + an – 2 pn –2 +….. b0. (1.26)
Предполагается также, что коэффициенты a,b– действительные числа и полиномыA(p),B(p) не имеют общих корней.
Вынося коэффициент bnпри старшей степениpполиномаB(p), представим новый полиномB1(p) в виде произведения простых сомножителей:
, (1.27)
где p1,p2,…pq– корни характеристического уравненияB1(p) = 0;
s1,s2,….sq – числа, определяющие кратность корней полиномаB1(p).
Следующим шагом является разложение функции F(p) на простые составляющие по формуле:
, (1.28)
в которой коэффициенты Kkiрассчитываются по следующему соотношению:
. (1.29)
Поясним сказанное на примере функции
.
Здесь постоянный множитель bnравен единице, следовательно, знаменатель дроби совпадает с полиномомB1(p) и имеет три корня:p1= 0cкратностью один,p2 = –2cкратностью два иp3 = –4cкратностью один.
Далее поступаем следующим образом.
1. Записываем исходную функцию в виде суммы простых дробей:
.
2. По формуле (1.29) находим коэффициенты:
,
,
,
.
Для нахождения оригиналов полученных выражений обратимся к табл. 1 соответствия между ними и их изображениями для часто встречающихся временных функций.
Воспользовавшись данными 2, 3 и 9 строчек, запишем уравнение искомой функции времени:
.
Таблица 1
Функция времени |
Преобразованная функция |
1. (t) |
1 |
2. (t) |
|
3. |
|
4. 1– |
|
5. cos t | |
6. sin t | |
7. kt | |
8. tn | |
9. | |
10. | |
11. |
|
(В соотношениях 10, 11 через s(0) и(0) обозначены соответственно начальные значения функции и ее интеграла.)
Перейдем теперь непосредственно к процедуре анализа переходного процесса. Для этого представим электронную цепь в виде устройства (рис. 1.2), обладающего некоторым комплексным коэффициентом передачи
.
Рис. 1.2
Записав его в операторной форме, получим операторное выражение выходного напряжения:
. (1.30)
(Отметим, что записанный в операторной форме комплексный коэффициент передачи называется передаточной функцией.) Оригинал функции uвых(p), найденный с помощью обратного преобразования Лапласа, и будет представлять зависимостьuвых(t).
Особое значение при анализе передаточных свойств электронной цепи имеет переходная характеристика, под которой понимается отклик цепи на входной сигнал, представляющий собой функцию единичного скачка (t). С помощью переходных характеристик обычно рассчитывают определяющие параметры переходного процесса и устанавливают их связь с параметрами элементов цепи.