2.3.2 Основные аксиомы и законы алгебры логики

Анализ и синтез Булевых функций, проведение над ними различных операций основываются на ряде аксиом и законов (таблица 2.6 ).

Таблица 2. 6

Аксиомы	1+А=1 0А=0
	0+А=А 1А=А
	А+А=А АА=А
	А+=1 А=0
	=А
Законы коммутативности	А+В=В+А АВ=ВА
Законы ассоциативности	А+В+С+=А+(В+С) АВС=А(ВС)
Законы дистрибутивности	А(В+С)=АВ+АС А+ВС=(А+В)(А+С)
Законы дуальности (теоремы де-Моргана)
Законы поглощения	А+АВ=А А(А+В)=А

Кратко прокомментируем сущность этих законов. Коммутативный закон утверждает, что результаты выполнения операций конъюнкции и дизъюнкции не зависят от порядка следования переменных.

Ассоциативный закон позволяет организовывать группы переменных и использовать их в качестве одной переменной.

Дистрибутивный закон (иначе распределительный) дает право раскрывать скобки при логическом умножении и создавать скобки при логическом сложении.

Особенно подчеркнем значимость законов дуальности , устанавливающих взаимную связь между операциями дизъюнкции и конъюнкции: 1. Инверсия дизъюнкции равняется конъюнкции инверсий переменных 2. Инверсия конъюнкции переменных равняется сумме инверсий.

Подчеркнем, что правила де- Моргана распространяются на произвольное число аргументов логической функции, а их применение позволяет при разработке цифровых устройств оптимизировать их схемотехническое решение.

2.3.3 Формы представления Булевых функций

Существуют и используются различные способы описания Булевых функций. Основными из них являются следующие:

Словесное описание . Как правило, словесное описание является начальным этапом синтеза логического устройства. Например: Логическое устройство должно выдавать на своем выходе единичное значение, если на его входе действует четное число единиц.

Представление функции Буля в виде таблицы истинности. Таблица истинности отражает связь между наборами аргументов Булевой функции и значением выходной функции логического устройства. Пример такого соответствия иллюстрируется таблицей 2.7, составленной для функций логического сложения и логического умножения.

Таблица 2.7

А	В	F=А+В	F=АВ
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	1	1

2.3.3.1 Алгебраическое представление Булевой функции.

Здесь функция Буля представляется алгебраическим выражением, в общем случае достаточно сложным. Прямая реализация такого выражения потребовала бы применения большого количества цифровых элементов различного функционального назначения. Алгебраическое описание логической функции можно значительно упростить, если перейти к так называемым совершенным нормальным формам ее представления, в основе которых лежат понятия минтерма и макстерма Булевой функции.

Минтермами Булевой функции называются функции, представляющие собой произведение всех ее переменных, то есть полные конъюнкции, причем каждая конъюнкция отличается от другой значением хотя бы одной переменной, входящей в ее состав.

Макстермами Булевой функции называются функции, представляющие сумму всех ее переменных и отличающиеся друг от друга значением хотя бы одной переменной. Для функции от n переменных число минтермов и макстермов одинаково и равно С=2ⁿ.

Обозначаются минтермыи макстермы соответственно буквами m_i и M_i, где i- десятичное число, соответствующее двоичному числу, в котором каждому разряду присваивается значение переменной Булевой функции (таблица 2.8 для функции двух переменных)

Таблица 2.8

A B	Минтермы	Макстермы
00
01
10
11