3.1. Составим характеристическое уравнение.

Для чего составляем схему замещения рис. 1в, относительно разрыва в любом месте после коммутационной цепи записываем входное сопротивление и, приравнивая его нулю, получим однородное уравнение:

Z_BX = R + = 0, определяем корень уравнения: р = – _. (7)

Определяем постоянную времени τ = 1/|p|= RC.

Записываем решение для свободной составляющей:

i _СВ(t) = A e^pt = A e^–t/τ и u_{L СВ}(t) = B e^pt = B e^–t/τ . (8)

3.2. Определяем постоянные интегрирования a и b.

3.2.1. Записываем решение для тока i(t) и напряжения u_L(t) при t=0₊, с учётом (5) и (6) получим:

i(t)= i _ПР(t)+ i_СВ(t) = I_m sin(ωt + Ψ – φ)+ A e^–t/τ,

i(0) = I_m sin(Ψ – φ)+ A, (9)

u_С(t)= u _СПР(t) + u_ССВ(t) = U_Сm sin(ωt + Ψ – φ – 90°) + B e^–t/τ ,

u_С(0) = U_Сm sin( Ψ – φ – 90°) + B. (10)

3.2.2. Определяем независимые начальные значения u(0₊) = u_С(0₊) = u_С(0_–)

До коммутации t=0_– ключ разомкнут, ток в цепи равен нулю и положим, что конденсатор не заряжен и в цепи нулевые начальные условия:

u_C(0_–) = u_C(0₊) = 0 (11)

3.2.3. Определяем зависимые начальные значения – i(0₊).

Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа (рис. 15а):

e(t) = E_m sin(ωt + Ψ – φ) = R i(t) + u_С(t).

при t=0₊ E_m sin( Ψ) = R i(0₊) + u_С(0₊).

i(0₊) = sin( Ψ). (12)

3.2.4. Определяем постоянные интегрирования из (9) и (10) с учётом (11) и (12)

i(0₊) = I_m sin(Ψ – φ)+ A = sin( Ψ),

A = sin( Ψ)– I_m sin(Ψ – φ), (13)

u_С(0₊) = U_Сm sin( Ψ – φ – 90°)+B = 0,

B = – U_Сm sin(Ψ – φ – 90°). (14)

4. Записываем полное решение для I(t) и uL(t) и строим графики процесса.

i(t) = I_m sin(ωt + Ψ – φ) + [ sin( Ψ)– I_m sin(Ψ – φ)] e^–t/τ. (15)

u_C(t)= U_Cm sin(ωt + Ψ – φ – 90°) – U_Сm sin(Ψ – φ – 90°)e^–t/τ. (16)

Пусть заданы значения: R=20 Ом; C= 500 мкФ;

E_m = 100 В; f = 100 Гц; Ψ =30°.

Рис. 2

Подставив значения в (3), (4), (7), (13) и (14) получим:

I_m = 4.938A; U_Lm = 15.718 B; p = – 100 c^-1

φ = – 9.05°; A = – 0.67 A; B = – 13.395 B

i(t) = 4.938 sin(628 t + 31.57°) – 0.67 e^–100t.

u_C(t) = 15.718 sin(628 t – 58.43°) – 13.395 e^–100t.

Рис. 3

Кривые изменения тока i(t) и напряжения u_L(t) приведены на рис. 2 и рис. 3. Из графиков видно, что синусоидальный процесс для тока устанавливается в течении нескольких колебаний синусоиды и в течении этого времени возможны значительные броски тока.

Из (14) видно, что при Ψ – φ – 90°= 0, A = 0 и переходный процесс в цепи не возникает.

Пример 6. Включение RL и RC цепи на прямоугольные импульсы

Переходные процессы в большинстве случаев являются однократными и кратковременными. Их непосредственное наблюдение с помощью обычного осциллографа является невозможным. Поэтому для исследования переходных процессов коммутацию делают многократной и периодической, что достигается питанием цепи от импульсного источника, т. е. источника периодических сигналов прямоугольной формы (рис. 1).

Рис. 1

Также удобно проводить моделирование переходных процессов в цепях на ПК, включая в цепь импульсный источник.

Рис. 2

Рис. 3

Чтобы переходный процесс заканчивался за время подачи импульса, его длительность должна быть . Передний фронт импульса соответствует включению цепи на постоянное напряжение, а задний уменьшению напряжения источника до нуля. В исследуемых схемах начальные условия должны быть нулевыми, поэтому длительность паузы должна быть . Это обстоятельство позволяет на экране осциллографа или монитора наблюдать реакцию цепи на импульсное воздействие, а также найти установившиеся значения исследуемых кривых до и после коммутации. На рис. 2 для цепи RL, а на рис 3 для цепи RC.

Необходимо отметить, что форма напряжений и тока в исследуемых цепях существенно зависят от соотношения между постоянной времени цепи и длительностью импульса

16