1. Запишем общее решение искомого тока и напряжения:

i(t)= i _ПР(t)+ i_СВ(t) и u_С(t)= u _СПР(t)+ u_ССВ(t) (3)

а б

Рис. 2

2. Определим принуждённую составляющую искомого тока i_ПР(t) и напряжения u_CПР(t) по схеме замещения рис. 2а, для установившимся режима после коммутации при t=∞

i _ПР(t) = 0 и u_LПР (t)=E. (3)

3. Находим свободную составляющую i_СВ(t) и u_{C СВ}(t).

Общее решение для i_СВ(t) и u_CСВ(t) можно записать после решения характеристического уравнения.

3.1. Составим характеристическое уравнение.

Для чего составляем схему замещения рис. 2б, относительно разрыва в любом месте после коммутационной цепи записываем входное сопротивление и, приравнивая его нулю, получим однородное уравнение:

Z_BX = R + = 0, определяем корень уравнения: р = – _. (4)

Определяем постоянную времени τ = 1/|p|= RC.

Записываем решение для свободной составляющей:

i _СВ(t) = Ae^pt и u_{C СВ}(t) = Be^pt. (5)

3.2. Определяем постоянные интегрирования a и b.

3.2.1. Записываем решение для тока i(t) и напряжения u_L(t) при t=0₊, с учётом (42) и (44) получим:

i(t)= i _ПР(t)+ i_СВ(t) = 0+ Ae^pt, i(0) = A, (6)

u_C(t)= u _CПР(t)+ u_CСВ(t) = E + Be^pt, u_L(0) = E + B. (7)

3.2.2. Определяем независимые начальные значения u_C(0₊) = u_C(0_–)

До коммутации t=0_– ключ разомкнут, ток в цепи равен нулю и положим, что конденсатор не заряжен и в цепи нулевые начальные условия:

u_C(0_–) = u_C(0₊) = 0 (8)

3.2.3. Определяем зависимые начальные значения – i(0₊).

Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа (1) (рис. 1а)

при t = 0₊:

E = R i(t) + u_C(t) .или E = R i(0₊) + u_C(0₊). (9)

Подставив (8) в (9) получим: i(0₊) = E / R. (10)

3.2.4. Определяем постоянные интегрирования из (6) и (7) с учётом (8) и (10)

i(0) = 0+ A = и A = , (11)

u_C(0) = E + B = 0 и B = – E. (12)

4. Записываем полное решение для I(t) и uL(t) и строим графики процесса

i(t) = e^pt =e^–t/τ. (13)

u_C(t)= E (1 – e^pt) =E (1 – e^–t/τ). (14)

Кривые изменения тока i(t), и напряжения u_C(t) приведены на рис. 1б. Из графиков видно, что напряжение на конденсаторе устанавливается постепенно по экспоненциальному закону и требуется определённое время до наступления установившегося тока u _CПР = E

Ток через ёмкость до коммутации равно нулю, а в момент коммутации устанавливается скачком до значения i(0₊) = E / R и затем плавно по экспоненциальному закону уменьшается до нуля.

Пример 4. Включение последовательно-параллельной RC - цепи на постоянное напряжение

Рассчитать закон изменения тока и напряжения на ёмкости, в цепи рис. 1а при подключении её к источнику постоянного напряжения E. Такая цепь часто применяется при формировании сигналов в электронных цепях.

Переходный процесс описывается системой неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, составленных по законам Кирхгофа

i₁ (t) – i₂ (t) ) – i_С (t) = 0.

R₁ i₁ (t)+ R₂ i₂ (t) = E. (1)

– R₂ i₂ (t) +u_C(t) =0.

В (1) необходимо учесть i_С (t) = C .

C

а б

Рис. 1

C

а б

Рис. 2

1. Запишем общее решение искомого тока и напряжения:

i_С (t)= i _СПР(t)+ i_ССВ(t) и u_С(t)= u _СПР(t)+ u_ССВ(t) (2)

2. Определим принуждённую составляющую искомого тока i_СПР и напряжения u_СПР по схеме замещения рис. 2а, для установившимся режима после коммутации при t=∞

i _СПР(t) = 0, i _1ПР(t)= i _2ПР(t)= , (3)

и u_СПР (t)= i _2ПР(t) R₂ = R₂ . (4)

3. Находим свободную составляющую i_СВ(t) и u_{C СВ}(t).

Общее решение для i_СВ(t) и u_CСВ(t) можно записать после решения характеристического уравнения.