3.1. Составим характеристическое уравнение.

Для чего составляем схему замещения рис. 2б, относительно разрыва в любом месте после коммутационной цепи записываем входное сопротивление и, приравнивая его нулю, получим однородное уравнение:

Z_BX = + = R₁₂ + = 0, где R₁₂ =

определяем корень уравнения: р = – _. (5)

Определяем постоянную времени τ = 1/|p|= R₁₂C.

Записываем решение для свободной составляющей:

i _ССВ(t) = Ae^pt и u_{C СВ}(t) = Be^pt. (6)

3.2. Определяем постоянные интегрирования a и b.

3.2.1. Записываем решение для тока i(t) и напряжения u_L(t) при t=0₊, с учётом (3), (4) и (6) получим:

i_С(t)= i _СПР(t)+ i_ССВ(t) = 0+ Ae^pt, i_С(0) = A, (7)

u_C(t)= u _CПР(t)+ u_CСВ(t) = R₂ + Be^pt, u_С(0) = R₂ + B. (8)

3.2.2. Определяем независимые начальные значения u_C(0₊) = u_C(0_–)

До коммутации t=0_– ключ разомкнут, ток в цепи равен нулю и положим, что конденсатор не заряжен и в цепи нулевые начальные условия:

u_C(0_–) = u_C(0₊) = 0 (9)

3.2.3. Определяем зависимые начальные значения – i_С(0₊).

Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа (рис. 1а) при t = 0₊:

i₁ (0₊) – i₂ (0₊) – i_С (0₊) = 0.

R₁ i₁ (0₊) + R₂ i₂ (0₊) = E. (10)

– R₂ i₂ (0₊) + u_C(0₊) =0.

u_C(0₊) = 0 i₂ (0₊) = 0 i₁ (0₊) = E / R₁

i₁ (0₊) = i_С (0₊) = E / R₁. (11)

3.2.4. Определяем постоянные интегрирования из (7) и (8) с учётом (9) и (10)

i_С (0) = 0+ A = и A = , (13)

u_C(0) = R₂ + B = 0 и B = – R₂ . (14)

4. Записываем полное решение для I(t) и uL(t) и строим графики процесса

i_С (t) = e^pt =e^–t/τ. (15)

u_C(t)= (1 – e^pt) = (1 – e^–t/τ). (16)

Кривые изменения тока i_С(t), и напряжения u_C(t) приведены на рис. 1б. Из графиков видно, что напряжение на конденсаторе устанавливается постепенно по экспоненциальному закону от нуля до u _CПР = E R₂ / (R₁+ R₂).

Ток через ёмкость до коммутации равно нулю, а в момент коммутации устанавливается скачком до значения i(0₊) = E / R₁ и затем плавно по экспоненциальному закону уменьшается до нуля.

Пример 5. Включение последовательной RC - цепи на синусоидальное напряжение

Рассчитать закон изменения тока и напряжения на ёмкости, в R, С - цепи (рис. 1а) при подключении её к источнику синусоидального напряжения

e(t) = E_m sin(ωt + Ψ)

Процесс описывается неоднородным обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, составленным по второму закону Кирхгофа:

R i(t) + u_C (t) = e(t). (1)

а б в

Рис. 1

1. Запишем общее решение искомого тока и напряжения:

i(t)= i _ПР(t)+ i_СВ(t) и u_L(t)= u _LПР(t)+ u_LСВ(t) (2)

2. Определим принуждённую составляющую искомого тока i_ПР(t) и напряжения u_LПР(t). Применим символический метод. Схема замещения для установившимся синусоидального режима после коммутации (t=∞ ) приведена на рис. 1б.

• Комплекс амплитудного значения ЭДС: = E_m e^jΨ.

• Индуктивное сопротивление: X_С = .

• Комплексное сопротивление: Z = R – j X_С= Z e^jφ.

где Z = и φ = –arc tg .

• Комплекс амплитудного значения принуждённого тока:

= = = e^j(Ψ–φ) = I_m e^j(Ψ–φ) , (3)

где I_m = .

• Комплекс амплитудного значения принуждённого напряжения:

= (–j X_С.) = e^j(Ψ–φ) X_С e^–j90 =

= X_С e^{j(Ψ-φ–90)} = U_Сm e^{j(Ψ–φ–90)} ,

где U_Сm = X_С . (4)

• Мгновенные значения принуждённого тока:

i _ПР(t) = I_m sin(ωt + Ψ – φ). (5)

• Мгновенные значения принуждённого напряжения на ёмкости:

u _СПР(t) = U_Сm sin(ωt + Ψ – φ – 90°). (6)

3. Находим свободную составляющую i_СВ(t) и u_{С СВ}(t).

Общее решение для i_СВ(t) и u_ССВ(t) можно записать после решения характеристического уравнения.