Оператор поворота спина

Поворот состояния в пространстве вокруг единичного вектора n на угол α, отсчитываемый в направлении, описываемом правилом правого винта, осуществляет унитарный оператор (П.5.5)

,

где – оператор момента импульса.

Результат обобщаем на спиновое состояние

. (П.11.11)

С учетом (П.11.6б)

при выполняется

, . (П.11.12)

Из (П.11.11) с учетом формулы Эйлера, (П.11.12) и разложений

,

,

находим

. (П.11.13)

Операторы поворотов спина вокруг декартовых осей на угол α получают вид

,

,

. (П.11.13а)

В частности , где. Повороты спина электрона и управление спиновым состоянием осуществляется при помощи спинового магнитного резонанса.

СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ ДВУХЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИЙ

Состояние множества независимых систем равно произведению состояний этих систем. Два электрона с полным спином S и проекцией описываются спиновой функцией. Рассмотрим явный виддля частных случаев.

Полный спин 1. Пусть спины электронов 1 и 2 направлены вдоль оси z

, .

Спины складываются как вектора, поэтому двухчастичное состояние имеет спиновые числа , и описывается функцией

. (П.11.14)

Для состояния ,аналогично получаем

. (П.11.15)

Проекция полного спина 0. Для состояния

проекции спина составляющих частиц имеют противоположные знаки

,

где , или. Найдем коэффициентыс₁ и с₂.

Для состояния с нулевым полным спином и нулевой проекцией

,

из (7.8) в виде

находим

,

тогда

,

,

.

Учитывая

,

получаем:

.

Оператор с верхним индексом действует на функцию с тем же индексом. Используя

,

находим

и получаем

.

Уравнения

,

дают тот же результат. С учетом условия нормировки

находим

и получаем

. (П.11.16)

Спиновая функция двухчастичного состояния с полным спином антисимметрична при перестановке частиц.

Для единичного полного спина с нулевой проекцией

,

ищем состояние в виде

.

Коэффициенты находим из условия ортогональности состоянию

.

Учитывая (7.16)

,

,

и (П.11.16)

,

получаем

,

тогда

.

С учетом нормировки

находим

. (П.11.17)

Из (П.11.17) и из (П.11.14), (П.11.15)

,

следует, что спиновые функции двухчастичных состояний с полным спином симметричны при перестановке частиц.

Перепутанное состояние. Спиновые функции двухчастичных состояний (П.11.16) и (П.11.17) с суммарной проекцией спина обобщаем в виде

, (П.11.18)

где согласно условию нормировки

можно использовать

, .

При и,форма (П.11.18) не представима в виде произведения функций одночастичных состояний и называетсяперепутанным состоянием двух частиц (entangled state). Термин использовал Шредингер в 1935 г. Не существует классического аналога перепутанного состояния.

Перепутанные частицы в состояниях (П.11.16), или (П.11.17), взаимно коррелированны. До измерения у каждой частицы нет определенной проекции спина, суммарная проекция равна нулю. Если у частицы 1 измерить проекцию на произвольное направление, то возможные результаты . Тогда у частицы 2, находящейся на любом расстоянии от частицы 1, состояние мгновенно изменяется – проекция на то же направление становится. Такое преобразование состояния частицы 2 без прямого воздействия на нее означаетнелокальность перепутанного состояния. Этот результат теоретически получили Альберт Эйнштейн, Борис Подольский и Натан Розен в 1935 г. и рассматривали его как парадокс, опровергающий квантовую механику. Неравенство, связывающее корреляции локальных частиц, получил Белл в 1966 г. Многочисленные экспериментальные проверки показали нарушение неравенства. Следовательно, перепутанное состояние нелокально.

Джон Стюарт Белл (1928–1990)

Меру перепутанности двух частиц квантовой системы в состоянии (П.11.18)

,

,

определяет параметр

, (П.11.19)

где и– вероятности реализации компонент состояния (П.11.18). Возможные значенияЕ находятся в интервале от 0 для не перепутанных частиц, до 1 при максимальном перепутывании. Меру (П.11.19) ввели C.H. Bennett и Schumacher B. в 1996 г. При из (П.11.19) получаем, у частиц 1 и 2 в состоянии (П.11.18) проекции спинов на любое направление полностью коррелированны – имеют противоположные знаки. При, или, из (П.11.19) находими перепутывание отсутствует, в (П.11.18) остается одно слагаемое, волновая функция факторизуется, проекции спинов частиц однозначные.

Перепутывание двух частиц возникает в результате их взаимодействия. Перепутывание по спину, по координате или по импульсу получают путем распада на две частицы системы, первоначально находящейся в определенном по этим параметрам состоянии, и не меняющей эти параметры в силу законов сохранения. Перепутанность исчезает при необратимом процессе декогеренции, вызывающем нарушение фазовой согласованности между частицами. Это происходит при взаимодействии частиц с хаотическим окружением. Для предотвращения декогеренции систему нужно изолировать от окружающих тел и хаотически меняющихся полей посредством охлаждения, вакуумирования и экранирования. В сверхпроводнике куперовские пары электронов находятся в перепутанном состоянии при конечной температуре. Декогеренции препятствует энергетическая щель, отделяющая основное состояние системы от всех возбужденных состояний. Тепловой энергии при низкой температуре не хватает для возбуждения системы. Защищенность перепутанности и сверхпроводимости щелью не только препятствует тепловой декогеренции, но и вызывает эффект Мейснера, когда магнитное поле вытесняется на поверхность сверхпроводника.

Опыт с перепутанными по поляризации фотонами провел А.В. Белинский в 2002 г. Плоскополяризованное излучение лазера направляется на кристалл.

В результате явления нелинейной параметрической конверсии на выходе рождаются пары фотонов с полностью неопределенными, но взаимно перпендикулярными поляризациями, обозначенными точкой и стрелкой, регистрируемые соответственно детекторами a и b. Один фотон рассеивается в канал 1, другой – в канал 2. Состояние пары перепутано по типам поляризации. До регистрации частиц не существует определенной поляризации у каждого фотона пары. Регистратор сигнала в каждом канале содержит анализатор и детектор. В одном из каналов с вероятностью 1/2 срабатывает детектор a или b и определяется поляризация соответствующего фотона. В этот момент происходит редукция состояния – становится однозначным результат срабатывания детекторов в другом канале, на каком бы расстоянии эти детекторы ни находились. Показание каждого детектора не предопределено, но предопределена их корреляция. Эксперимент показал, что скорость передачи корреляции между перепутанными состояниями превышает 10⁴ скорости света в вакууме. Каким образом результат регистрации одного фотона мгновенно становится известен второму фотону, если расстояние между ними произвольно велико? Согласно квантовой нелокальности, или квантовому дальнодействию, распространяющиеся в пространстве фотоны как отдельные частицы отсутствуют до момента их регистрации. Измерение не регистрирует существовавшее до него состояние, но создает физическую реальность. Проведенные эксперименты отвергают в квантовой области представление, сформированное классической физикой, что наблюдаемые свойства объекта не зависят от измерения.

Перепутанность проявляется в корреляции результатов измерений, проведенных в разных местах. Использовать перепутанное состояние для передачи сообщения с неограниченно большой скоростью невозможно. Препятствием является теорема о невозможности клонирования состояния – невозможно унитарным оператором скопировать неизвестное квантовое состояние, не изменив исходного состояния. В результате причинность не нарушается. Использование перепутанных состояний для передачи информации открывают новые технические возможности для шифровки, преобразования и контроля сообщений.

Функция перепутанного состояния (П.11.18)

с условием нормировки является суперпозицией

экспериментально различимых состояний

,

.

Кубит. Перепутанное двухэлектронное состояние Ψ или одноэлектронное спиновое нормированное состояние на сфере Блоха (П.11.7)

,

где ;, является квантовой единицей информации –кубитом (qubit от англ. quantum bit – «квантовый бит»). Термин ввел Бен Шумахер в 1995 г. В отличие от бита, принимающего значения 0 или 1, суперпозиция состояний Ψ несет значение 0 с вероятностью и значение 1 с вероятностью. Поэтому кубит содержит количество информации

в несопоставимо большем объеме, чем бит. Для реализации кубита используют:

двухуровневую квантовую систему;

две взаимно ортогональные поляризации фотона;

направления спина ядра в однородном магнитном поле.

Применяется также кудит (qudit) – перепутанное состояние трех и более уровней энергии. Кубиты и кудиты используются в квантовом компьютере. Его область применения связана с возможностью перебора большого числа вариантов и с моделированием многовариантных систем. К настоящему времени экспериментально реализован алгоритм Шора, позволяющий разложить большое число на простые множители, и алгоритм моделирования. Для обычного компьютера эти задачи не выполнима за разумное время. Преимуществом квантового компьютера является контекстуальность, то есть нелокальность квантового состояния, учет контекста в виде суперпозиции состояний, в которых измеряется бит. Контекстуальность дает возможность устранить частные ошибки и обеспечивает стабильность результата.

165