Операторы спина электрона. Спиноры

Операторы спина аналогичны операторам момента импульса

, ,,

,

.

Коммутационные соотношения аналогичны (4.5)

,

,

,

,

, . (7.7)

Спин не связан с координатой и импульсом, поэтому коммутирует с ними. Уравнения для собственных функций взаимно коммутирующих операторов спина аналогичны (4.14)–(4.15)

,

. (7.8)

В набор квантовых чисел электрона в атоме кроме n, l, m входит спиновое число . Независимость радиального, углового и спинового движений означает, что функция состояния факторизована

.

Матрицы Паули. Поскольку – двузначная величина, то собственную функцию операторов спинасчитаем двухэлементной матрицей –спинором

.

Операторы спина получают матричную форму

, ,,. (7.9)

Использованы матрицы Паули

, ,,,(7.10)

,

где – единичная матрица. Выражения (7.10) получены из условия выполнения коммутационных соотношений (7.7) для операторов спина. Это следует из соотношений

,

,

,

,

,

,

, ,,

, ,

, ,. (7.11)

Выполняются

,

,

, ,.

Эрмитовое сопряжение «+» матрицы включает комплексное сопряжение * и транспонирование T ее элементов

. (7.12)

Операторы спина и матрицы Паули эрмитовые

, .

Например, для

находим

.

Матрицы Паули унитарные и удовлетворяют

.

Результат следует из эрмитовости и соотношения. Под действием унитарного операторасостояние системы поворачивается в гильбертовом пространстве, при этом сохраняется нормировка и не меняется скалярное произведение состояний.

Нормировка и ортогональность спиноров

, .

Учитываем

, ,.

Определяем скалярное произведение и условие нормировки

, (7.13)

условие ортогональности

. (7.14)

Среднее значение проекции спина на ось k по нормированному состоянию  определяется в виде

. (7.15)

Собственные функции оператора . По определению собственной функции оператора

, .

Решение уравнения ищем в виде

.

Подстановка в уравнение

дает

.

Сравниваем элементы матриц и получаем систему алгебраических уравнений

,

.

При получаем

, ,.

При

, ,.

Нормировка (7.13)

с точностью до постоянного фазового множителя дает взаимно ортогональные собственные функции оператора

, ;

, ;

, . (7.16)

Произвольное спиновое состояние разлагается по этому ортонормированному базису

,

,

. (7.17)

Вероятности обнаружения проекций спина

,

. (7.18)

Свободный электрон со спином, направленным по оси z, с энергией Е и импульсом р описывается спинором

. (7.19)

Плотность тока вероятности. Выражение (2.71)

для спинора записывается в виде

.

Оператор полного момента

описывает частицу со спином , совершающую орбитальное движение с моментом импульса. Гамильтониан коммутирует с операторами

, ,,,

поэтому их собственные значения определены вместе с энергией и характеризуют состояние частицы. Собственные функции и собственные значения полного момента удовлетворяют

.

В состоянии с квантовыми числами

из

получаем

.

Векторная сумма ограничивает возможные значения квантовых чисел

.

Для электрона получаем

.

Проекция полного момента на произвольное направление описывается оператором и квантуется аналогично (4.15)

, .

Состояние электрона в атоме в приближении одночастичных состояний обозначается символом Рассела–Саундерса

,

где n – главное квантовое число; состояния с обозначаются буквамиНапример, при,разрешенные состояния электрона сиобозначаютсяи.

Электронная конфигурация атома. В обозначении перечисляются все занятые электронные оболочки – состояния с определенными числами (n,l) в порядке возрастания вначале n, начиная с , а затемl. Для каждой оболочки указывается вверху справа число заполняющих электронов. Это число не превышает кратность вырождения по спину и проекции орбитального момента . Например, для кремния св основном состоянии электронная конфигурация:.

Состояние атома как целого описывает символ

,

где L – полный орбитальный момент атома; S – полный спиновый момент;

J – полный момент атома.

Множитель Ланде для атома вычисляется по формуле

.