Обменное взаимодействие

При отсутствии магнитного и спин-орбитального взаимодействия спин влияет на энергию двухчастичного состояния благодаря обменному взаимодействию, действующему на фоне любого взаимодействия между частицами. Название взаимодействия связано с тем, что в двухчастичном состоянии электроны взаимно перепутаны и самопроизвольно периодически обмениваются местами.

Для двух электронов, находящихся вне неоднородного магнитного поля, спиновая и координатная составляющие волновой функции независимые и входят в волновую функцию сомножителями

.

Функция фермионов _1,2 антисимметричная при перестановке частиц. Следовательно, если координатная функция симметричная при перестановке частиц, то спиновая функция антисимметричная, и наоборот.

Ранее показано, что спиновая функция двухчастичного состояния с полным спином антисимметричная при перестановке частиц, при – симметричная. Переход между и происходит при повороте спина у одной частицы, и это вызывает изменение четности координатной функции. Такое влияние электронов друг на друга при любом расстоянии между ними объясняется их перепутанностью и обменным взаимодействием, действующим между перепутанными состояниями.

Четность координатной функции двух электронов. В сферической системе координат с началом в центре масс угловое состояние описывается сферической функцией , где– орбитальное число системы;– орбитальное число электрона. При взаимной перестановке частиц углы изменяются

, .

Сферическая функция согласно (4.27) получает множитель

.

Следовательно, четность координатной функции двух частиц

(7.40)

совпадает с четностью орбитального числа .

Четность спиновой функции определяется полным спином S.

При

, ,

состояние называется синглетным, от лат. singularis – «одиночный». Как показано ранее спиновая функция (П.11.16)

нечетная при перестановке частиц, тогда координатная функция четная и согласно (7.40)

–четное.

При

,

состояние называется триплетным от лат. triplex – «тройной». Спиновые функции (П.11.14), (П.11.15) и (П.11.17):

,

,

четные при перестановке частиц. Координатные функции нечетные, и

–нечетное.

Существует корреляция между четностью орбитального числа двух электронов и их суммарным спином. Корреляция объясняется наличием перепутанности и обменным взаимодействием.

Координатная часть волновой функции системы двух электронов, записанная в виде

, (8.41)

является четной или нечетной в зависимости от спина системы S. Знак «плюс» соответствует , знак «минус» соответствует. Состояние является перепутанным по положениям частиц.

Обменное взаимодействие. Пусть между электронами существует немагнитное взаимодействие , не зависящее от спина. Тип симметрии координатной части волновой функции влияет на энергию состояния, и она зависит от спина системы. Это влияние спина на энергию состояния является следствием обменного взаимодействия. Рассмотрим взаимодействие в рамках первого порядка теории возмущений.

Энергия системы в состоянии (8.41)

согласно первому порядку теории возмущений (6.10) равна

,

где

.

Подстановка дает

,

где

,

,

,

.

Учтена симметрия интегралов при замене . Поправка к энергии α возникает за счет взаимодействия между электроном 1, находящимся в определенной точке, или, и электроном 2, находящимся в другой точке, или. Поправка β вызвана обменным взаимодействием, когда каждый электрон присутствует одновременно в двух точках.

В результате для состояний с координатными функциями и полным спином получаем

,

,

,

, (8.42)

где

;

–невозмущенная энергия состояния;

α – энергия взаимодействия частиц, одна из которых распределена в пространстве c плотностью вероятности , а другая –c плотностью вероятности .

Обменная энергия

(8.43)

снимает вырождение состояний по спину.

При основному состоянию с минимальной энергией соответствует, спин системы, спины электронов параллельные. Явление наблюдается в ферромагнетизме, где электростатическое взаимодействие между электронами в 3d-оболочках атомов, находящихся на расстоянии около 10 нм, создает спонтанную намагниченность. Энергия обменного взаимодействия порядка (0,1–1) эВ/электрон. Координатная функция

удовлетворяет

.

Следовательно, вероятность обнаружения частиц уменьшается при их сближении, т. е. обменное взаимодействие отталкивает частицы с параллельными спинами.

При основному состоянию с минимальной энергией соответствует ,спин системы , координатная функция

,

удовлетворяет

.

Обменное взаимодействие притягивает частицы с антипараллельными спинами. Явление возникает в ковалентных связях, например, в молекуле водорода с энергией связи 4,5 эВ, где спины двух электронов антипараллельные.

Временнáя зависимость. Координатные функции состояний с определенным полным спином имеет вид

,

, (8.44)

где

описывает электрон 1 в точке r₁ и электрон 2 в точке r₂; описывает электрон 1 в точкеr₂ и электрон 2 в точке r₁.

Для суперпозиции состояний (8.44) с неопределенным полным спином

.

В начальный момент , и электрон 1 находится в точкеr₁, электрон 2 – в точке r₂.

При , где

, (8.45)

получаем

.

В состоянии электрон 1 находится в точкеr₂, электрон 2 – в точке r₁. За время  электроны обмениваются своими положениями благодаря обменному взаимодействию. Чем больше обменная энергия β, тем быстрее происходит обмен. Это согласуется с соотношением неопределенностей между энергией и временем.

ГРАФЕН

Носители тока в микро- и наноэлектронике являются нерелятивистскими частицами и описываются уравнением Шрёдингера. Эта традиционная картина нарушается для графена. Вблизи уровня Ферми графена энергия зависит от модуля импульса по закону

. (8.46)

Следовательно, зона проводимости и валентная зона имеют коническую форму, а не параболическую как у металла, и эти зоны смыкаются в одной точке, как обнаружил Уоллес в 1947 г. Следовательно, запрещенная зона отсутствует. Эффективная масса носителя тока с учетом (8.46)

и он является релятивистским. Роль скорости света выполняет скорость Ферми

,

где С – скорость света в вакууме. Квазичастица со спином 1/2 и нулевой массой описывается уравнением ДиракаВейля. Уникальные особенности графена открывают новые возможности в наноэлектронике.