Шпаргалка по мат.анализу 2
.pdf
Таблица производных
1. |
|
|
|
C ′ = 0 |
|
|
|
|
|
|
2. |
(arcsin x )′ = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −x 2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. |
|
|
|
x ′ = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
4. |
(arccos x )′ = − |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −x 2 |
||||||||||||
5. |
(xn )′ = n x n −1 |
6. |
′ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
= 1 |
|
+ x 2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(arctg x ) |
|
|||||||||||||
7. |
( |
|
x )′ = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
8. |
(arcctg x )′ = − |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
x |
|
1 + x 2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
9. |
|
(e |
x |
′ |
= e |
x |
10. |
′ |
= ch x |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
(sh x ) |
||||||||||||||||||||||
11. |
(a |
x |
|
) |
′ |
= a |
x |
|
ln a |
12. |
′ |
= sh x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(ch x ) |
||||||||||||||||||||||||
13. |
|
|
|
|
|
′ |
= |
|
1 |
|
|
|
|
14. |
′ |
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(ln x ) |
|
|
|
|
|
|
|
(th x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
|
ch2 x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
15. |
(log |
|
x )′ |
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
16. |
(cth x )′ = − |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
x ln a |
|
|
|
|
|
|
sh2 x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
17. |
(sin x )′ = cos x |
18. |
′ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
= x 2 +1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(arcsh x ) |
||||||||||||||
19. |
( cos x )′ = −sin x |
20. |
(arcch x )′ = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 2 −1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
21. |
(tg x )′ = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
22. |
(arcth x )′ = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
cos2 x |
|
1 |
|
−x 2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
23. |
(ctg x )′ = − |
|
1 |
|
|
|
24. |
(arccth x )′ = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
sin2 x |
|
|
1 −x 2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Правила дифференцирования
1.(k f (x ))′ = k f ′(x ).
2.(f (x ) + g (x ))′ = f ′(x ) + g ′(x ).
3.(f (x ) g (x ))′ = f ′(x ) g (x ) + f (x ) g ′(x ).
|
f |
(x ) ′ |
|
f ′(x ) g (x ) − f (x ) g ′(x ) |
|
|||||
4. |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
( |
x |
) |
2 |
|
|||||
|
g |
|
|
|
|
[g (x )] |
|
|||
5.Производная сложной функции
Если y = F (u ), а u = u (x ), то функция y = f (x ) = F (u (x )) называется сложной функцией от x . Производная сложной функции равна
y ′(x ) = Fu′ ux′ .
6.Производная неявной функции.
Функция y = f (x ) называется неявной функцией, заданной соотношением F (x,y ) = 0 , если F (x, f (x ))≡ 0 . Производная неявной функции вычисляется по формуле
yx′ = −Fx′′.
Fy
7.Производная обратной функции.
Если g (f (x )) = x , то функция g (x ) называется обратной функцией для функции y = f (x ). Производная обратной функции равна
g ′(y ) = |
1 |
. |
|
||
|
f ′(x ) |
|
8.Производная параметрически заданной функции.
Пусть x и y заданы как функции от переменной t : x = x (t ), y = y (t ). Говорят, что y = y (x ) параметрически заданная функция на промежутке
x(a;b ), если на этом промежутке уравнение x = x (t ) можно выразить
в виде t = t (x ) и определить функцию y = y (t (x )) = y (x ) . Ее произ-
водная находится по формуле
yx′ = yt′′. xt
9.Производная степенно-показательной функции.
Производная находится путем логарифмирования по основанию натурального логарифма и определяется по формуле
(u (x )v(x ) )′ = u (x )v(x ) ln u (x ) v′(x ) + v (x ) u (x )v(x )−1 u′(x ).