Основы КомПМ РЭС - Слайды

Анализ cхем во временной области ((11))

Анализ схем во временной области связан прежде всего с анализом переходных процессов и импульсных режимов работы радиотехнических устройств. Рассмотрим уравнение для параллельной RC цепи относительно напряжения на конденсаторе v(t) с правой частью – возбуждением x(t)

C dvdt + R1 v = x(t).

Аналитическое решение во временной области этого неоднородного уравнения известно и при нулевых начальных условиях равно

C

дают полную информацию об импульсном режиме работы данной RC цепи во временной области.

Анализ cхем во временной области ((22))

Однако применение ЭВМ исключает получение решений в аналитическом виде, даже если (как редкий случай) они существуют.

В большинстве программ методы решения уравнений Кирхгофа для схем во временной области предполагают представление системы уравнений равновесия в стандартной форме

dydt = f ( y(t),t) с начальными условиями y(t0) = y0,

где все обозначения f, dy/dt, y(t) – это обычные обозначения функций, производных и некоторой зависимости от времени t. Эти же обозначения используются и для систем уравнений, тогда их надо понимать как векторы. Это стандартное представление системы дифференциальных уравнений в математике называется нормальной формой Коши, а в технике, где придается физический смысл составляющих уравнений, эта форма называется системой уравнений в пространстве состояний.

Анализ cхем во временной области ((33))

В основе машинных (численных) методов решения дифференциальных уравнений стоит замена производных их исходным пониманием, т.е.

В результате получаются так называемые разностные уравнения, для решения которых разработаны различные численные алгоритмы. Наибольшее распространение в программах схемотехнического анализа схем получили методы Рунге-Кутты, которые берут начало от метода Эйлера. Метод решения дифференциальных уравнений Эйлера, как и метод решения нелинейных уравнений Ньютона, основан на замене нелинейной функции y(t) линейной с помощью представления ее первыми двумя членами разложения в ряд Тейлор в точке t0

y(t0+ t) = y(t0) + dy(t0)/dt t + (отброшенные члены)

Подставляя в это разложение значение производной функции dy(t0)/dt = f(t0), известной из исходного уравнения, получим формулу для вычисления функции y(t0 + t = t1) в точке t1 по ее значению в точке t0

y(t1) = y(t0) + f(t0) t

Анализ cхем во временной области ((44))

Принимая значение y(t1) за новое начальное условие, находится значение искомого решения в следующей точке, откуда получается рекуррентная формула метода Эйлера

y(tk+1) = y(tk) + f(tk) t.

Методы Рунге-Кутта эквивалентны представлению решения в методе Эйлера членами ряда Тейлора высших порядков. Для дифференциального уравнения dy/dt = f(y,t) вычисление по методу Рунге-Кутта третьего порядка состоит из вычисления производных через половину временного шага и оценки производной после полного шага h:

k1 = hf(yn,nh); k2 = hf{yn + 0.5k1, (n + 0.5)h}; k3 = hf{yn + 2k2 – k1,(n + 1)h}.

Тогда решение находится как взвешенная сумма всех трех производных по формуле yk +1 = yk + 16 (k1 + 4k2 + k3 ) .

Анализ схем во временной области реализуется стандартными численными методами решения линейных и нелинейных уравнений, которые можно представить в нормальной форме Коши. Численные методы решения всегда имеют погрешности, связанные со сходимостью итерационных методов и погрешностями дискретизации.

Анализ схем в частотной области (11))

Частотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) линейных схем, определяемые как реакции на гармонические испытательные сигналы, определяют поведение схем при любых сигналах на входе. При этом линейные дифференциальные уравнения в частотной области представляются линейными алгебраическими уравнениями с комплексными коэффициентами, что существенно упрощает анализ. Например, дифференциальное уравнение

1 v(t) +C dv(t) R dt

в частотной области преобразуется в алгебраическое уравнение

R1 V ( jw) + jwCV ( jw) =Is ( jw) ,

из которого легко находится частотная характеристика

H(jw) = R/(1+ jwC).

В терминах частотных характеристик просто описываются операции соединений (сумма, композиция и инверсия) для двухполюсников и четырехполюсников. Поэтому анализ установившихся режимов работы линейных схем проводится в частотной области.

Анализ схем в частотной области (22))

Анализ стационарных режимов работы нелинейных схем в частотной области реализуется двумя методами: методом рядов Вольтера и методом гармонического баланса. Опишем только общую схему получения решений каждым методом.

Вметоде рядов Вольтерра решение представляется функциональным полиномом, подставляется в уравнение и выписываются уравнения баланса степеней, которые являются полилинейными уравнениями относительно многомерных передаточных функций и сводятся к алгебраическим уравнениям применением многомерного преобразования Фурье (Лапласа).

Вметоде гармонического баланса входное воздействие представляется, в общем случае, многочастотным колебанием и решение ищется в виде разложения Фурье, которое подставляется в уравнение и выписываются уравнения баланса для частотных составляющих. В результате для определения амплитуд гармонических составляющих получаются нелинейные алгебраические уравнения.

Метод рядов Вольтерра и метод гармонического баланса входят в состав предметного наполнения современных программ схемотехнического проектирования.