Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ в примерах и задачах

.pdf

Скачиваний:

667

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

2.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 214 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Ответы к задачам главы 3

12. Функция y arctg	1	не определена в точке x 0. Можно ли
	x

так доопределить функцию		f (x) в точке x 0, чтобы функция ста-
ла непрерывной в этой точке? Построить график этой функции.
		1
13. Исследовать характер разрыва функции y 2 2			1 x	в точке
x 1. Можно ли так доопределить y при x 1, чтобы функция ста-

ла непрерывной при x 1?

В задачах 14–18 исследовать на непрерывность функции. Сделать чертеж графика.

	sin x,					x 0;		x,		x 0;
	sin x,					x 0;
14.							15.	y 2x,		0 x 2;
14.	y		2		1,	x 0.	15.	y 2x,		0 x 2;
	x		2		1,	x 0.		4,	x 2.
								4,	x 2.

		e	x	,	x 0;				x 2;
		e		,	x 0;			1,	x 2;
16.						0 x 2 ;	17.			2 x 2.
16.	y cosx,					0 x 2 ;	17.	y 1/ x,		2 x 2.
						x 2 .			4x 9/2,		x 2.
	10 x,					x 2 .		x2	4x 9/2,		x 2.
	ex,				x 0;
18.
18.	y 1 x,если 0 x 1,

1/(x 1), если x 1.

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ГЛАВЫ 3

1. Функция y 1/(x 2) имеет в точке x 2 разрыв второго рода

(бесконечный), y 1/(x 2)2 в точке x 2 также имеет бесконеч-

ный разрыв второго рода.

2. Функция y sin x/ x имеет в точке x 0 устранимый разрыв, y cosx/ x – разрыв второго рода (бесконечный).

3. Если x 0 0 , то y 0; если x 0 0, то y 1. В точке x 0 разрыв первого рода типа скачок.

34		Г л а в а 3. Непрерывность функции
4.	В точке x 0	разрыв второго рода. Предел sin		не существует

			x
при x 0 0 .
5.	Функция имеет три точки разрыва. При x 0 – разрыв устрани-

мый, при x 1– разрывы второго рода (бесконечные).

6.При x 2 – разрывы второго рода (бесконечные).

7.При x 2 – разрывы второго рода (бесконечные).

8.При x 0 и x 1– разрывы второго рода (бесконечные).

9.x 1 – точка разыва второго рода.

10.x 1 – точка разрыва второго рода.

11.x 2 – точка разрыва первого рода.

12. Нет. Если x 0	справа, то f (x) /2, если x 0 слева, то
f (x) /2.
13. Нет. Если x 1 справа, то		y 1, если x 1 слева, то y 0.

14.При x 0 – разрыв первого рода (скачок).

15.При x 0 – разрыв первого рода (скачок), в точке x 2 функ-

ция непрерывна.

16. В точке x 0функция непрерывна, в точке x 2 – разрыв пер-

вого рода (скачок).

17. В точке x 2 – разрыв первого рода (скачок), в точке x 2

функция непрерывна.

18. x 1 – точка разрыва второго рода.

ГЛАВ А4

Г Л А В А 4

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

4.1.ПРОИЗВОДНАЯ. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ЯВНО ЗАДАННЫХФУНКЦИЙ

Пусть

f x0

x f x0

есть

приращение

функции

y f x в точке

x0 , соответствующее приращению аргумента x .

Производной

функции

y f x в

точке

называется предел

f x0 lim

. Числа

f (x0 0)

lim

f (x0 0)

lim

x 0 x

x 0 0 x

называются соответственно левой и правой производными функции y f x в точке x0 . Необходимым и достаточным условием суще-

ствования

f x0

является существование и совпадение

f x0

0 .

Процесс нахождения производной называется диф-

ференцированием.

Таблица производных основных элементарных функций

где

С – const.

х 1.

2. х

lna,

4. loga x

ln x

xlna

sin x

cosx.

6. cosx

sin x.

7. tg x

cos2 x

ctg x

9. arcsin x

arccosx

sin2

1 x2

10.

arctgx

arcctgx

11. sh x

ch x.

1 x2

12.

ch x

sh x.

13. th x

. 14. cth x

ch2 x

sh2 x

Правила дифференцирования функций. Пусть f x и g x –

дифференцируемые функции. Тогда:

Г л а в а 4. Дифференциальное исчисление функции…

f g fg

1. f g f

. 2.

f g f g

где g 0.

y f x

Производная сложной функции. Пусть функция

имеет производную

точке

x0 , а

функция

z g y

–

точке

y0 f x0 . Тогда сложная функция

z g f x имеет производ-

ную в точке x0

и справедливо

равенство z x0 g y0 f x0 ;

zx zy yx .

Пример. Найти производную функции z arctg(2x / x) .

Полагая

z arctg y

имеем z y

1 y2

иy x 2x ln2 x 2x .

Тогда получаем:

		1	2x xln2 1	2x xln2 1
	x 1 (2x / x)2		x2	x2 4x . #
z

Правило дифференцирования сложной функции справедливо для любого конечного числа композиций основных элементарных функций.

Пример. Найти производную функции y earctg 1 sin2 x .

Используя таблицу производных и правила дифференцирования, получаем:

y earctg 1 sin2 x arctg

1 sin2 x

earctg

1 sin2 x

1 1 sin

earctg

1 sin2 x

1 sin

2 sin2 x

2 1 sin2

earctg

1 sin2 x

2sin x sin x

2 2 sin2 x 1 sin2 x

earctg 1 sin2 x

sin xcosx. #2 sin2 x 1 sin2 x

Производная от логарифма функции y f x , т.е. lny y / y

называется логарифмической производной, а операция дифференци-

4.1. Производная. Дифференцирование явно заданных функций

рования – логарифмическим дифференцированием. Применение ло-

гарифмирования часто упрощает взятие производной, а в случае степенно-показательной функции оно необходимо.

Пример. Найти производную функции y sin x (2 x) .

Логарифмируя данное равенство, получаем lny 2 x lnsinx

sin x 0 . Находим производные левой и правой частей равенства:

cosx

ln y

1 lnsin x 2 x

sin x

(2 x)

lnsin x 2 x ctgx

. #

Тогда y y ln y

Пример. Найти производную функции y 3

x 2 x 1 2

ln y 13 ln x 2 2ln x 1 5ln x .

Дифференцируя обе

части равенства, получаем:

10 2x 2x2

x x 2 x 1

x 2

x 1

y 3

x 2 x 1 2 1 10 2x 2x2

5 x x2

. #

3 x x 2 x 1

3 3 x 2 2 x8 x 1

Задачи для самостоятельного решения

Продифференцировать указанные функции.

1. y 3				3			. 2. y			x	. 3. y	1	x	2 .	4. y			3							.
			x			2
									x2 1								1 x2 1 2x3
								tgx
					. 6. y				.	7. y cosx 1cos3 x. 8. y sin												1 .
5. y 3		1

		1 x2						x				3										x
9. y sin sin x .								10.		y sin2 cos3x .					11.		y		1					.

																			arcsin x
12.	y arccos 2x 1.							13.		y arctgx2 .					14.	y				x 1			.

					3													log2 x
																	y			x	.
15.	y lnarccos2x.							16.		y lnarctg		1 x2 .			17.

																				4x

18. y 2lnxx . 19. y 3sin x . 20. y ech2 x . 21. y x x x .

22. y elnx . 23. y 10x tg x . 24. y xe1 cosx .

38			Г л а в а 4. Дифференциальное исчисление функции…
															2
	y earctg		1 ln 2x 3 .				26. y sin x cos x .
25.													27. y x 1			x		.
		x x2 1												2 1
28. y 3						29.	y tg2x		ctg	x		30.	y cos		x

					.				2 .								.
		x2		1 2										1
															x
31.	y cos2 xcos(x2).					32. y		sin3x			.	33.	y xarcsin(ln x).

								2sin2 x

34. y 6cos3 2x ctgx

37. y xex x2

40. y	3	.

	arctge x
	arctge x

. 35. y ctg 31 x2 . 36. y arcsin21/x2 .


.	38. y		lnsin x			.	39. y sh2(1				).
									x

			lncosx
41.	y tg	3		1			42. y arctg			2 5
		cos			.			3 ln					.
				x								x

43. y cos2 ln

1			44. y x3 arctgx3.

	2	x .
	2	x .
x
x

	y log3(e2x				x3).					y ln x				.
45.									46.			1 x2
47.	y	1	tgx	1		ln(tgx).			48.	y sin(tgsin x2						).
															x

	2		2

49.	y ln(sin x					1 sin2 x).			50.	y tgx	1 tg2 x .
										y lncosarctg			ex	e x			.
51.	y arctge2x				ln		e2x 1	.	52.

							e2x 1							2

4.2.ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НЕЯВНО ИЛИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ

Функция	y f x называется заданной неявно уравнением
F x, y 0	на	некотором множестве	D R, если	x D,
F x, f x 0.		Для нахождения производной функции		y f x
необходимо	продифференцировать по x		обе части	уравнения

F(x, y) 0 и затем полученное уравнение разрешить относительно y .

Пример. Найти yx	для функции, заданной неявно:
xy arctg(x/ y).
Дифференцируя по x	обе части равенства xy arctg(x/ y),
получаем:

4.2. Дифференцирование функций, заданных…

y xy

;

y xy

;

x2 y2

y 1 x2 y2

y, y

x2 y2

y x

. #

x 1 x

x x2 y2

Пусть заданы функции x t ,

y ψ t , t ,

и пусть на

интервале ,

функция

x t

имеет обратную t 1 x . То-

гда можно определить функцию y x 1 x , которая называ-

ется параметрически заданной.

Теорема 1 (производная обратной функции). Пусть функция

y f x возрастает (или

убывает) и непрерывна в некоторой ок-

рестности точки

x0 . Пусть также f x0 0 . Тогда в некоторой ок-

рестности точки

y0 f x0

определена обратная функция

x f 1 y ,

причем f 1 y дифференцируема в точке y0

и f 1

f x0

Более простая форма записи для произвольной точки x, в кото-

рой выполнены условия теоремы: xy

. Применяя теорему 1, полу-

xt .

чим для функции, заданной параметрически:

yx t

Пример. Найти yx , если x acos3 t , y

asin3 t .

Так как xt 3acos

tsint , yt 3asin

tcost , то yx

ctgt. #

Задачи для самостоятельного решения

Найти производные от y по x для неявно заданных функций.

53.	x3 y3 3axy 0.		54. x4 y4		x2 y2.
55.	sin xy cos xy tg x y .		56.	2x 2y	2x y .
57.	xy yx .	58. y 1 xey .	59.	y x arctg y.

60. exy x2 y3 0. 61. ey e x xy 0. 62. ln y x C .

Г л а в а 4. Дифференциальное исчисление функции…

Найти производные от y

по x для функций, заданных парамет-

рически.

63.

x acos3 , y bsin3 .

64. x a sin , y a 1 cos .

t 1

1 t3

65.

, y

66. x

, y

t2 1

67.

3at

, y

3at2

68. x lncost, y lnsint.

1 t

1 t3

69.

x 1/cost,

y tgt.

4.3.ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Производной второго порядка от функции

y f x называется

производная от ее первой производной, т.е.

y x y x . Соот-

ветственно производной

n-го порядка называется

производная от

(n–1)-й производной, т.е. y n

x y n 1 x

n 2, 3...

Пример.

Найти производную

порядка

от функции

y ln 1 x .

2 3

, y

1 x

1 x 2

1 x 3

1 x 4

Продолжая дифференцирование функции, получим:

1 n 1 n 1 !

. #

1 x n

Если функции

f x

g x имеют производные до n-го по-

рядка включительно, то справедлива формула Лейбница:

f g

g nf

n 1

n n 1

n 2

g ...

		n n 1 ... n k 1	f n k g k ... f g n .
		k!

4.3. Производные высших порядков

Пример. Найти производную 5-го порядка от функции y sin x e x .

5 4

y 5 sinx e x

sinx (5) e x 5 sinx 4 e x

sinx 3

e x

5 4 3

5 4 3 2

sin x

sin x e

Имеем:

cosx,

sin x

sin x sin x , sin x

sin x

sinx

cosx,

sin x

e x e x, e x

e x ,

e x 3

e x ,

e x 4

e x , e x 5

e x.

Подставляя полученные значения производных, находим:

y 5 e x cosx e x5sin x e x10cosx e x10sin x5cosx e x sin x e x 4e x sin x cosx . #

Пример. Найти производную второго порядка от функции

ytg x y .

Дифференцируя уравнение по x, получаем

1 y .

cos2 x y

Отсюда y 1

или y tg x y

1 tg

x y .

x y

cos

x y

cos

Заменим tg x y

на y

1 y2

из условия:

y2 1. Диффе-

y . Используя

ренцируя последнее уравнение по

имеем:

найденное для y

выражение, получаем y

1 y

. #

Для функции y x , заданной параметрически, x x t , y y t ,

t , производная второго порядка находится по формуле

yx t

yx . Производная порядка n определяется следующим обра- xt

зом: yx n yx n 1 t .

42 Г л а в а 4. Дифференциальное исчисление функции…

Пример. Найти производную второго порядка от функции, за-

данной параметрически: x arctgt, y ln 1 t2 , t , .

Найдем первую производную: yx yt 1 t2 2t . xt 1 1t2

2 1 t

Тогда yx

1 t2

Задачи для самостоятельного решения

70.

f x x6 4x3

4; f 4

1 ?

71.

y x3 ln x;y 4

72.

y sin2 x;y n

73.

y xex;y n

74.

75.

y sin x

y ; y

asin2 ;d 4

76.

x y arctg y;

77. s 1 te

d2s

; dt2

78.

xy e; Найти

0 .

79. x at

, y

;

d2x

dy2

80.

x acos

t, y asin

d3y

dx3

81.

x atcost, y atsint;

d2 y

82. x lnt,

y cost;

yxx

dx2

83.

Применить формулу Лейбница для вычисления производ-

ной: (x

2 1) sin x 20 .

4.4.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Геометрический смысл производной: значение производной функции y f (x) в точке х0 f (x0)есть тангенс угла наклона каса-

тельной (К), проведенной к графику функции в точке M0 , к поло-

жительному направлению оси абсцисс: f (x0) tg (рис. 4.1).

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 214 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.20151.18 Mб20Матем.-7.doc
#
01.05.2025958.46 Кб0Матем.-7.doc
#
01.05.20252.33 Mб0Матем.-8.doc
#
01.05.2025668.16 Кб0Математика 1,2 к.р..doc
#
27.03.2015183.74 Кб25Математическая логика.docx
#
27.03.20152.2 Mб667Математический анализ в примерах и задачах.pdf
#
01.04.2025185.34 Кб0Материал для самостоят изучения.doc
#
21.07.2019598.66 Кб14материалка.docx
#
01.04.2025759.81 Кб2Материаловедение для электриков.doc
#
27.03.20153.32 Mб67Материаловедение.pdf
#
27.03.20151.79 Mб55Материаловедение_Лаб_раб.doc