Математический анализ в примерах и задачах

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

xarctg xdx

.pdf

Скачиваний:

667

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

2.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2118 19 20 21 > Следующая >>>

7.5. Несобственные интегралы

111

Пример. Рассмотрим несобственный интеграл dx lim dx .

x A x

														1		1
				1			A	1		1
				1			A	1
	A				x			A
		dx									,	1
			1					1						. Переходя к пределу, получаем:
	x		1				1	1						. Переходя к пределу, получаем:
	x						1
	1						1
				lnA,			1
						,		1
		1		1
		A		1					1
lim											1
		1												1
									A 1
A							lim		A 1				=		, 1
							lim		1				=		, 1
						A			1					1

lim ln A .

Откуда следует, что dx сходится при 1 и расходится

1 x

при 1.

Пример. Исследуем на сходимость несобственный интеграл:

								dx
								dx		.
								1 x	2	.
							0	1 x
							0
	dx			A	dx						0A lim arctg A 0
			lim				lim arctg x						,

	1 x	2			1 x	2						2
		2				2
0			A	0			A				A

т.е. интеграл сходится.

ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1. Признак сравнения. Пусть даны два несобственных интеграла:

		f (x)dx,	(7.3)
		a

		g(x)dx,	(7.4)
		a
подынтегральные	функции которых удовлетворяют		неравенству:
0 f (x) g(x),	x:	a x . Тогда из сходимости интеграла

(7.4) следует сходимость интеграла (7.3), из расходимости интеграла

(7.3) следует расходимость интеграла (7.4).

112	Г л а в а 7. Определенный интеграл

Пример. Исследуем на сходимость несобственный интеграл:

1 x2 x 1.

Заметим, что	1	1	x [1, ). В силу рассмотренного
	x2 x 1	x2

ранее интеграл dx сходится, так как 2 1. Значит, и ис-

1 x2

ходный интеграл сходится (по признаку сравнения). Пример. Исследуем на сходимость несобственный интеграл:

ln x .

Имеем: ln x x			x [2, ), или	1	1	x [2, ) . Но инте-
Имеем: ln x x			x [2, ), или	ln x	x	x [2, ) . Но инте-
				ln x	x

грал	dx	– расходится, так как 1. По признаку сравнения ис-
грал	x	– расходится, так как 1. По признаку сравнения ис-
2

ходный	несобственный интеграл также расходится.
2.	Признак эквивалентности. Если существует конечный
предел	lim	f (x)	A 0 для подынтегральных функций несобст-

	x g(x)

венных интегралов (7.3) и (7.4), то интегралы (7.3) и (7.4) сходятся или расходятся одновременно.

Пример. Исследуем на сходимость несобственный интеграл:

Рассмотрим

качестве

функции

g(x)

Тогда

lim

f (x)

lim

xarctg x x

Если

то

получаем:

x g(x)

1 x

f (x)

При этом

g(x)

Согласно

lim

lim 3

x g(x)

2 2

xarctg xdx

признаку эквивалентности, несобственные интегралы

1 x

7.5. Несобственные интегралы

113

сходятся или расходятся одновременно. Но последний ин-

3 x

теграл расходится, так как

1. Значит,

исходный интеграл

также расходится.

Пример. Исследуем на сходимость несобственный интеграл:

dx .

Пусть g(x)

. Рассмотрим

lim

f (x)

lim

x13 x

x g(x)

x (x5 x3 1)3

если

2 1. Тогда несобственный интеграл

сходится при

= 2 > 1. По признаку эквивалентности исходный интеграл также сходится.

Несобственный интеграл f (x)dx называется абсолютно схо-

дящимся, если сходится несобственный интеграл f (x) dx. Несоб-

ственный интеграл f (x)dx называется условно сходящимся, если

a

несобственный интеграл f (x)dx сходится,	а интеграл			f (x)	dx –


a			a

расходится. Если несобственный интеграл		f (x)	dx сходится, то
расходится. Если несобственный интеграл

	a

сходится и интеграл f (x)dx (обратное утверждение неверно).

Пример. Исследовать на абсолютную сходимость несобствен-

ный интеграл sinx e xdx .

114

Г л а в а 7. Определенный интеграл

sinx e x

e x

e A 1

Рассмотрим

dx lim

lim

Откуда следует, что исходный интеграл является абсолютно сходя-

щимся.
		3. Признак Дирихле (условной сходимости). Если: 1) функ-
ции		f (x) и g(x)– определены в a x ; 2) f (x)– интегрируема в
					A
[a, A] [a, )				и	F(A) f (x)dx –	ограниченная функция от A:
					a
	A
	A
	f (x)dx		K const, (a A ); 3)			g(x)– не возрастает (убыва-
	a
ет) в		a x		и	lim g(x) 0, то тогда несобственный интеграл
					x

f (x)g(x)dx – сходится.

Пример. Исследуем на сходимость несобственный интеграл:

sinxxdx .

Рассмотрим	sin xdx	cos A cos1			2 A [1, ).	В качест-
	sin xdx	cos A cos1			2 A [1, ).
	1		1
ве функции g(x)	рассмотрим g(x)		1	. Эта функция удовлетворяет
ве функции g(x)	рассмотрим g(x)			. Эта функция удовлетворяет
			x
требованиям признака Дирихле, так как g(x) убывает на						[1, ) и

lim g(x) 0. Поэтому исходный интеграл является условно сходя-

щимся. З а м е ч а н и е. Можно показать, что несобственный интеграл

из последнего примера является расходящимся в смысле абсолютной сходимости. Для этого достаточно заметить, что

	sin x		2	x

		dx	sin		dx . Последний же интеграл является расходя-
	x		x
1		1

щимся.

7.5. Несобственные интегралы

115

7.5.2.НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ВТОРОГО РОДА (ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ)

Пусть функция		f (x)	задана на	[a, b), не ограничена при
		b
x b	и 0		f (x)dx.	Несобственным	интегралом
		a	f (x) на полуинтервале [a, b)		называется
второго рода от функции			f (x) на полуинтервале [a, b)		называется

lim f (x)dx , если он существует, и записывается так:

b b

f (x)dx lim f (x)dx.

0 a a

При этом говорят, что несобственный интеграл сходится, если пре-

дел конечен, и расходится, если он не существует или равен бесконечности.

З а м е ч а н и е. Рассмотренные признаки сходимости верны и для несобственных интегралов второго рода.

Пример. Исследовать на сходимость несобственный интеграл:

		b
			dx	( 0).
			(b x)	( 0).
	1	a
Функция	1	не ограничена при x b. Для любого			0
Функция	(b x)	не ограничена при x b. Для любого			0
	(b x)

исходный интеграл по промежутку [a,b ] является определенным, т.е.

			(b x)1			b
						b
b							, 1,
b			(1 )				, 1,
	dx		(1 )
						a
(b x)


a		ln		b x	b		, 1.
a		ln		b x	b		, 1.
					a
					a

Рассмотрим исходный несобственный интеграл

									1		1
b			b								(b a)		, 1
	dx			dx									, 1
	dx	lim		dx	lim			1			1

(b x)			(b x)
(b x)		0	(b x)		0							1
a			a			ln ln(b a),						1
				(b a)1
							,	1
					(1 )		,	1
					(1 )					.
					,
					,			1

116	Г л а в а 7. Определенный интеграл

Таким образом, исходный интеграл расходится при 1 и сходится при 1.

Аналогично, если функция не ограничена в нижнем пределе интегрирования, то

b b

f (x)dx lim f (x)dx.

a a

Если функция f (x) не ограничена в некоторой промежуточной точке c (a, b), то несобственный интеграл функции от a до b представляет собой сумму двух несобственных интегралов второго рода:

c 1

f (x)dx

f (x)dx .

f (x)dx lim

c 2

Пример. Исследовать на сходимость несобственный интеграл

Заметим, что подынтегральная функция является неограниченной при x 0. Тогда данный интеграл распадается на сумму двух несобственных интегралов:

1	dx			0-ε1	dx			1	dx			1		1		1		1
	dx				dx				dx			1		1		1		1
			lim				lim				lim				lim
	x	2	lim		x	2	lim		x	2	lim		x		lim	x
		2	0			2	0			2	0		x		0	x
			1				2				1			1	2
-1				-1				0 2									2
-1				-1				0 2

	1
lim		1	lim 1
	1
1 0			2 0

Поскольку хотя бы один из пределов равен бесконечности, исходный интеграл будет расходиться.

Пример. Исследовать на сходимость интеграл:

	ln 1 3
1	ln 1 3		x2
				dx.
	ex			dx.
	ex	1
0

Для данного интеграла применим признак эквивалентности. Подынтегральная функция имеет особенность (не ограничена) при

7.5. Несобственные интегралы	117

x 0. Поэтому рассмотрим lim	ln 1 3 x2		lim	3 x2	lim	1	.
x 0	ex 1		x 0	x	x 0 x1/3

Это означает, что если рассмотрим предел отношения подынте-

гральной функции f (x) к функции g(x) 1 , то получим:

x1/3

lim f (x) 1. Поэтому по признаку эквивалентности два несобст- x 0 g(x)

1 1

венных интеграла f (x)dx и	g(x)dx сходятся или расходятся
0	0

одновременно. Но интеграл x1/3 является сходящимся, так как

здесь 1/3 1. Значит, и исходный интеграл сходится.

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

	1			dx							1			dx										dx
57.				dx						58.				dx				59.						dx
						.											.											.
																								2	1)		2
													1 x			4								2			2
	0				x					1/2			1 x							2 (x
	1/2			dx																					dx
60.				dx						61.		e kxdx						62.							dx
							.																				.
				xln x			.																1 x2				.
	0										0
												(k 0).
											/2														dx
63.		e ax cosbxdx ,								64.			ctgxdx.					65.							dx				.
63.		e ax cosbxdx ,								64.			ctgxdx.					65.				x2(x 1)							.
	0			a 0,				b 0.			0								1
				a 0,				b 0.
2,5					dx										2			2		xdx
					dx						x3e x				2			68.		xdx
66.									.	67.					dx .											.
			x2 5x 6
			x2 5x 6																		x 1
	0										0							1
5				x2dx														5					dx
69.				x2dx				.		70.		dx	.					71.					dx							.
		(x 3)(5 x)										x4
		(x 3)(5 x)										x4							(x 2)(5 x)
3										1								2

118	Г л а в а 7. Определенный интеграл

	1	3x		2 2
72.		3x		2 2			dx .
		3
		3			x	2
	1				x
	1
	3		xdx
75.			xdx					.

			2
	2		x		4
	2

78. x2 6x 13.

73. x2 2x 2 .

76. (x 1)(ln(dx x 1)

2
1	dx
79.	dx

	(2 x) 1 x	2
1	(2 x) 1 x
1

74. x dxln x .

. 77. x3 6x2 .

. 80.	xdx
			.

		x 1
1

Исследовать на сходимость несобственные интегралы:

100

81.											dx
																.
						3				4					x3
						3		x		4				x	x3
	0
	2		dx
84.			dx						.
84.		lnx							.
	1
	1						x2dx
87.							x2dx								.
		3
		3			(1 x						2	)		5
	0				(1 x							)
	0
	0					x
90.			e dx							.
90.				x3						.
	1
								dx
93.								dx					.

						1 x					3
						1 x

	1			dx
82.				dx				.

			1 x		4
	0		1 x
	0
	2		4x3dx
85.			4x3dx
						.
			x4 1			.
	2
	1
	1			xdx
88.				xdx			.
88.		esinx 1					.
	0

91. 4 cosx xx dx .

1		x	2dx
94.		x	2dx				.
	3
	3	(1 x		2	)	5
0		(1 x			)
0

				xdx
83.				xdx					.

			1 x					5
	0		1 x
	0
	1			dx
86.				dx				.

		e		x
	0	e				1
	0
	1	x 1
		x 1
89.							dx .
		3
		3	x		5
	1		x
	1

92. ex cosx .

7.6.ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Для определенного класса интегралов не существует первообразных из класса элементарных функций. Поэтому возникает вопрос о приближенных вычислениях определенных интегралов, например,

от функций типа	sin x	,	1	, ex2	,	1	и т.д. В этих случаях

	x		ln x			1 x3

пользуются способами приближенного вычисления определенного

интеграла f (x)dx.

7.6. Приближенные методы вычисления…

119

Способ прямоугольников. Отрезок интегрирования делится на n равных частей точками, включая концы отрезка: a xo x1 x2 x3 xn 1 xn b. Длина каждой такой части

равна h b a . Эта величина называется шагом интегрирования. n

В каждой точке деления вычисляются значения подынтегральной функции f (x), т.е. значения f (xo), f (x1), f (x2), , f (xn 1). В ре-

зультате имеем формулу прямоугольников для приближенного вы-

числения определенного интеграла:

f (x)dx b a f (xo) f (x1) f (x2) f (xn 1) . n

Способ трапеций. В этом способе отрезок интегрирования [a, b] также делится на n равных частей. Тогда определенный интеграл выражается приближенно с помощью формулы трапеций

b a

f (x)dx

f (x ) f (x

) 2 f (x ) f (x

) f (x

n 1

)

b a

1 2 2 ,

1 f (x0) f (xn), 2 f (x1) f (x2) f (xn 1).

Способ парабол (Симпсона). В этом случае отрезок интегри-

рования

делится

на

четное

число равных

частей

точками:

a x0 x1 x2 x2n 2

x2n 1 x2n b

и значения

подынте-

гральной

функции

этих

точках

при

этом

равны:

y0, y1, y2, , y2n 2, y2n 1, y2n . Формула для приближенного вычис-

ления определенного интеграла в этом случае имеет вид:

b		b a	(y y
	f (x)dx	b a					) 4(y y y y										)
	f (x)dx						) 4(y y y y										)
		6n		o		2n	1				3		5			2n 1
				o		2n	1				3		5			2n 1
a
2(y y y				2n 2	)			b a	4			2	2	3	,
2(y y y					)				4				2		,
	2 4							6n		1
1 y0 y2n,		2 y1 y3 y2n 1, 3 y2 y4 y2n 2

и называется формулой Симпсона. Оценка погрешности в данном разделе не рассматривается. При одном и том же шаге разбиения

120	Г л а в а 7. Определенный интеграл

формула Симпсона дает более точный результат, чем формула трапеций.

Пример. Вычислить способами прямоугольников, трапеций

и Симпсона приближенное значение интеграла exdx. Вычисления

производить с пятью десятичными знаками, отрезок интегрирования делить на 8 частей.

Точное значение вычисляемого интеграла с пятью знаками равно

	Способ прямоугольников. Если				n = 8 , то		b a		1 0	0,125,
	Способ прямоугольников. Если				n = 8 , то		n			0,125,
а точками деления будут:							n	8
а точками деления будут:
x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6		x7		x8
0	0,125	0,250	0,375	0,500	0,625	0,750		0,875		1,000.

Значения подынтегральной функции в этих точках:

f (x0)	f (x1) f (x2) f (x3)						f (x4)				f (x5) f (x6)			f (x7) f (x8)
1,000	1,133		1,284	1,454			1,648			1,868			2,117	2,398	2,718.
Так как		f (x0) f (x1) f (x7) 12,90500, то												в результате
получим:		I 0,125 12,90500 1,61312.
Способ трапеций.					Шаг		b a				1 0	0,125. Множитель пе-
Способ трапеций.					Шаг							0,125. Множитель пе-
ред скобкой равен								n		8
ред скобкой равен
				b a		1 0			1	0,0625.
						2 8				0,0625.
				2n		2 8		16
Тогда:
		1	f (x0) f (xn) 1,00000 2,71828 3,71828,
2 f (x1) f (x2) f (xn 1) 1,13315 1,28402 1,45499

1,64872 1,86824 2,11700 2,39888 11,90500. 2 2 23,81000.

В результате имеем:

1 2 2 27,52828. I 0,625 27,52828 1,72052.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2118 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.20151.18 Mб20Матем.-7.doc
#
01.05.2025958.46 Кб0Матем.-7.doc
#
01.05.20252.33 Mб0Матем.-8.doc
#
01.05.2025668.16 Кб0Математика 1,2 к.р..doc
#
27.03.2015183.74 Кб25Математическая логика.docx
#
27.03.20152.2 Mб667Математический анализ в примерах и задачах.pdf
#
01.04.2025185.34 Кб0Материал для самостоят изучения.doc
#
21.07.2019598.66 Кб14материалка.docx
#
01.04.2025759.81 Кб2Материаловедение для электриков.doc
#
27.03.20153.32 Mб67Материаловедение.pdf
#
27.03.20151.79 Mб55Материаловедение_Лаб_раб.doc