Математический анализ в примерах и задачах

7.1. Интегральная сумма. Понятие определенного…

101

у

у = 1 + х

у

11

у = х2

2

х

х

0

1

10

0

a

Здесь x

10 1

9

и

i

x

x

i x

1

9

i ,

i

n

n

i

0

i

n

отсюда

f ( i) 1 1

9

i

2

9

i.

Следовательно,

n

n

n 1

n 1

9

9

Sn f

( i) xi

2

i

n

i 0

n

i 0

18

n

81

(0 1 n 1) 18

81

n(n 1)

n

n2

n2

2

81

1

1

81

lim Sn

1

= 18

1

58

58

.

n

2

2

2n

n

2

104

Г л а в а 7.

Определенный интеграл

Свойство 7.

Если функция

f (x) интегрируема на [a, b], то

верно неравенство:

b

b

f (x)dx f (x) dx .

a

a

Свойство 8. (Оценка интеграла). Пусть функция

f (x) интегри-

руема на [a, b] и m f (x) M, x [a, b]. Тогда

b

m(b a) f (x)dx M(b a).

a

Геометрический смысл оценки интеграла заключается в том,

что площадь криволинейной трапеции (рис. 7.4) aABb ограничена

площадями прямоугольников со

сторонами

(b a)

и

m (снизу),

(b a) и M (сверху), т. е. SaCDb SaABb SaEFb .

у

E

F

M

B

у

A

m

C

D

0

a

х

b

Рис. 7.4

Свойство 9. (Теорема о среднем). Если функция

f (x) непре-

рывна на [a, b], то

[a, b], такая, что верно равенство:

b

f (x)dx

f ( ) a

.

(b a)

2

5 x

Пример. Оценить значение интеграла

9 x2

dx , не вычис-

ляя его.

0

f (x)

5 x

на отрезке [0 , 2]. Для этого найдем стационарные

9 x2

7.2. Основные свойства определенного интеграла

105

точки: f / (x)

x2 10x 9

0

стационарной точкой на отрез-

(9 x2)2

где f (1)

ке [0, 2]

является точка x 1,

0,5.

Вычислим значения

функции на границе отрезка:

f (0)

5

,

f (2) 0,6. Таким образом:

9

m 0,5;

M 0,6. Тогда получим:

b

1,0 0,5 2

f (x)dx 0,6 2 1,2.

a

2

2

9. x3dx .

10.

sin x

dx.

11. xcosxdx .

x

1

0

0

2

2

1

12. x3 2xdx.

13.

xsinxdx .

14. x2 ln xdx.

2

0

1/2

1

1

2

15.

1)

1 x2dx.

16.

1)

x2 sin2 xdx.

17.

1)

ex2dx.

0

0

1

1

1

2

2)

xdx.

2)

xsin2 xdx.

2)

exdx.

0

0

1

2

18.

1)

e x2 cos2 xdx .

2)

e x2 cos2 xdx.

0

0

Найти средние значения функций на указанных отрезках

19.

f (x) x2 ,

0 x 1.

20.

f (x) sin2 x,

0 x .

21.

f (x)

1

,

1 x 4. 22.

f (x)

1

,

1 x 1,5.

x

x

x2 x

1

1

dx

/2

sin x

23.

4 x2dx .

24.

.

25.

dx .

8 x

3

0

1

/4

x

Если функция

f (x)

непрерывна на [a, b], то x [a, b] опре-

x

делена функция:

Ф(x)

f (t)dt , которая называется интегралом

a

с переменным верхним пределом.

Теорема 1. Если f (x)

непрерывна на [a, b], то

x

/

Ф/ (x)

f (t)dt f (x) , x [a, b].

a

2

6

/4

27. (x2 2x 3)dx.

28.

dx.

29.

cos2 xdx .

x 2

1

2

0

2

1

xdx

1

e

x

dx

30. xsinxdx .

31.

. 32.

.

x

2

2x

0

0

3x 2

0

1 e

/2

e

e

2

dx

dx

33.

.

34.

sin(ln x)

dx .

35.

.

2

2

0

1 x

1

x

1 x 1 lnx

7.4.

Основные методы вычисления определенного интеграла

107

7.4.

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ

ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Замена переменной в определенном интеграле. Если

функ-

ция

f (x) непрерывна на отрезке [a , b]

и

x (t)– монотонная и

непрерывная функция вместе со своей производной / (t)

на отрезке

t , где a ( ),

b ( ),

тогда

f ( (t)) определена и не-

b

прерывна на отрезке t

и

f (x)dx f ( (t)) (t)dt .

a

a

Пример. Вычислить x2

a2 x2dx

(a 0).

0

x

Положим x asint;

dx acostdt. Тогда t arcsin

и, сле-

a

довательно, arcsin0 0,

arcsin1

. Поэтому будем иметь:

2

a

/2

x2

a2 x2dx

a2 sin2 t

a2 a2 sin2 t acostdt

0

0

/2

a4 /2

a4 /2

a4

sin2 tcos2 tdt

sin2 2tdt

(1 cos4t)dt

4

4

0

0

0

a4

1

/2

a4

t

sin4t

.

8

4

16

0

Интегрирование по частям. Пусть функции u(x), v(x)– не-

прерывно дифференцируемые на [a, b], тогда:

b

b

u(x)v/(x)dx u(x)v(x)

ba v(x)u/(x)dx.

a

a

1

Пример. Вычислить интеграл: arcsin xdx.

0

1

du

dx

1

xdx

u arcsinx,

1

arcsinxdx

1 x2

xarcsinx

0

1 x2

v x

0

0

dv dx,

1

1arcsin1 0arcsin0

1 x2

1.

0

2

108

Г л а в а 7.

Определенный интеграл

1

Пример. Вычислить интеграл: xarctgxdx .

0

dx

1

u arctgx,

du

1

2

xarctgxdx