Пределы. Сборник Матан

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

а) f (x) = 23 x2 − x +3 x , б) f (x) =

в) f (x) = 2 + 4 3 + 4x , г) f (x) =

.pdf

Скачиваний:

184

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

416 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

60. Верно ли утверждение 1/ x4 = o(β) при x → ∞ , если:

а) β(x) =1/ x2 ; б) β(x) =1/ (x +1)4 ; в) β(x) =1/ x5 ; г) β(x) =1/ (x3 sin x); д) β(x) =1/ ((x −1)arctg (1/x)) .

Пользуясь свойствами символа «о-малое», записать для функций α(x) равенство вида (61-63):

61. α(x) = o(xk ) при x →0 , если:

а) α(x)=o(−5x+x2−x3+o(−5x+x2−x3 )) ;

б) α(x) = o(−5 o(x3 ) + o( x3 )); в) α(x) = x2o( o(x3 ));

г) α(x) = o(xo(x2 ) +o(x4 )) . д) α(x) = o(sin3 x +o(1−cos x)) .

62. α(x) = o(1/ xk ) при x → ∞ , если:

а) α(x) = o(1/ x3 ) −(o(1/ x))3 ,	б) α(x) = o(1/ x2 −1/ x),
в) α(x) = o(1/ x2 −o(1/ x2 )),	г) α(x) = o(1/ x5 −o(1/ x4 )).

д) α(x) = o(ln (1+1/ x)+sin (1/ x)+o(6 / x2 )) .

63. α(x)=o((x−1)k ) при x →1, если:

а) α(x)=(x −1)o((x −1)2 +o(x −1)) ,

б) α(x)=o(3x2−6x+3+o((x−1)3 )) , в) α(x) = o(ln x +(x −1)3 ) ,

г) α(x) = o((x −1)2 (x + 2)+o((x +3)(x −1)3 )) .

д) α(x) = o(x2 + x −2 + o(x3 − x2 − x +1)).

64. Пусть x →0 . Выделить главный член вида Cxn и определить порядок малости относительно переменной x следующих функций:

а)	f (x) = 5x −6x5 +7x8 ,	б)	f (x) = 3sin	2 x2 −5x2 ,
в)	f (x) = 1 − x4 −cos x2 ,	г)	f (x) = 1 −	2x − 3 1−3x ,
д) f (x) = 4 + x − 4 − x ,		е) f (x) = 4 − x2 + x2 −2 ,
ж)	f (x) = tg x −sin x ,	з)	f (x) = 2sin x − tg2x .

65. Пусть x → +∞ . Выделить главный член вида C (1/ x)n и оп-

ределить порядок малости относительно бесконечно малой 1/ x следующих функций:

а) f (x) =	x +1		, б) f (x) = 1 + x − x ,	в) f (x) =		1		sin3		1	,
	x4 +	1				x				x
г) f (x) = x +		2 −2 x +1 + x , д) f (x) =			x3
							.
					1 +5x + 2x5
66. Пусть x →1		. Выделить главный член вида C (x −1)n							и оп-
ределить порядок малости относительно бесконечно малой									x −1
следующих функций:
а) f (x) = x3 −3x + 2 , б) f (x) = 3 1 − x ,
в) f (x) = ln x ,			г) f (x) = ex −e , д) f (x) = xx −1 .

67. Пусть x →0 . Выделить главный член вида C (1/ x)n и определить порядок роста относительно переменной 1/ x следующих

функций
а)	f (x) =	x2			б) f (x) = ctg2 x3 ,
			,
		arctg (x5 )
в)	f (x) =	1−cos x cos 2x		,	г) f (x) =	1 + x2 − 4 1+ 2x2	.
		x5				sin4 x

68. Пусть x → ∞ . Выделить главный член вида Cxn и определить порядок роста относительно бесконечно большой x следующих функций:

д) f (x) = x4 + x +1 .

69. Пусть x →1. Выделить главный член вида C (1/(x −1))n и

определить порядок роста относительно бесконечно большой 1/(x −1) следующих функций:

а) f (x) =		x2	,	б) f (x) =		1+ x	,	в) f (x) =	x	,
		x2 −1							3 1− x2
					1 − x
г) f (x) =	1			, д) f (x) =		ln x		.
	sin (πx)				(x −1)2

2.4.ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА

КВЫЧИСЛЕНИЮ ПРЕДЕЛОВ

70.Вычислить предел, используя асимптотические разложения:

sin x − x +

ax + a−x −2

lim

; 2)

lim

, a > 0 ;

x→0

lim

+3x

4x −

−3x

+ 4

;

x→∞

3 1 + 4 − 4 1 +

−2x2 +

4 x4

lim

;

lim

cos 2x −e

;

x→∞

− 5 1 −

x→0

tgx4

	−2x	2	−	4	x	4
	−2x		−	3	x
6) lim	cos 2x −e			3			;
	cos 2x −e
	tgx4
x→0	tgx4

8) lim	x310 x cos x+sin3x	;
	1 − 1+ x3
x→0

			x arcsin ( x )			73 x
			x arcsin ( x )		e		−1
7)	lim							;
7)	lim		tg3 x ln (1 +3x)					;
	x→+0		tg3 x ln (1 +3x)
9)	lim	x3 cos x −sin x		;
9)	lim		x5	;
	x→0		x5

10)

lim

cos x − 3 cos x

;

11)

lim

2sin

x2 +

x3 +ln(1 + x)

;

sin2 x

x→0

x→+0

x +

x x

sin(x cos x) + x ln 1

− x

12)

lim

1 + x5 −1

x→0

71. Вычислить предел, используя формулу Тейлора:

lim

1−x2 − xctg x

;

lim

sin 2x −2tgx

;

xsin x

ln (1 + x3 )

x→0

lim

arctg (2−x)+sin (x−2)2

;

4) lim

arctg x−arcsin x

;

x2−4

tg x−sin x

x→2

x→0

lim

1 +sin x +ln (1 − x)

;

x→0

tg x −sin x

lim (sin 2x −2 tg x)2 +(1−cos 2x)3

;

x→0

tg7 6x +sin6 x

lim

ex2 cos x−chx−e−x2 chx+cos x

;

x→0

lim

earctg x +ln(1 − x) −1

;

lim

1 + 2x −etg x +6x3 + x2

;

2 − 4 + x3

x→0

ln(1

+ x) −arctg x +

sin x

+ch

−1

1+sin x −

2 tg x +

8 x2 −1

10) lim

;

11) lim

− 1+2x −x

x→0

1+x

x→0

sh x −ln x +

2.5.ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ

72.Найти следующие пределы, используя правило Лопиталя

arcsin x −arctg x

lim

;

lim

xlnln

;

lim

arcctg x

;

ln(1+ x3)

x→0

x→0+

x→−∞

1/ x

sin x 1/(1−cos x)

lim

−arctg x

;

lim

x→+∞

x→0

lim

(

xx −1 ln x ;

lim

(

π−2arctg

)

x ,

x→+0

)

x→+∞

lim (1+ x)

ln x

;

lim

−

x→+0

x→0

sin x

73.Исследовать возможность применения правила Лопиталя к следующим примерам:

x +sin x

x2 sin

x −sin x

lim

;

2) lim

;

3) lim

;

sin x

x→∞

x→0

x→∞ x +sin x

x2 cos

+3sin x

e−2x (cos x +2sin x)+e−x2sin2 x

lim

; 5)

lim

;

x→0

x→+∞

e−x (cos x +sin x)

lim

1+ x +sin xcos x

;

lim

e−4x (sin x −4cos x)

;

(x +sin xcos x)esin x

x→∞

x→+∞ e−3x (sin x −3cos x)

+ sin 2x + sin 4x

lim

sin 2x

sin 4x

x→∞

sin x

2 e

	ОТВЕТЫ
1. 1)	6 . 2) 200 . 3) 12 . 4) 5 .
2. 1) x6 =3 . 2) x3 =1/ 6 . 3) x3 =5/ 64 . 4) x3 =9 /8 .
3. 1)	x4 = −9 . 2) x2 = 4.5 . 3) x5 = log32 5 −log3 5 . 4) x3 =1.43 / 3 .

5) x4 = x5 = 24625 . 9. а) 1 , 5 , 6 . б) 2 , 3 .

15. 1) 1/ 3 . 2) 1 . 3) 35 . 4) 0 . 5) 0 . 6) 1 . 7) 27 . 8) 1 . 9) −1/ 6 16. 1) 0 . 2) 0 . 3) 3 . 4) 1 . 5) −1 . 6) −1 . 7) 23 . 8) 12 . 9) 0 .

10) 12 .

17. 1) 1 . 2) 1 . 3) 1 . 4) −12 . 5) 1 . 6) 1 . 7) 1 . 8) 1 . 9) 3 . 10) 12 . 11) 3 . 12) 1/ 3 . 13) 0 . 14) 0 . 15) 5 . 16) 0 .

17) 0 . 18) 0 . 19) 0 . 20) 0 .

18. 1) e . 2) e . 3) e−1 . 4) e2 . 5) 1 . 6) 1 . 7) e−1 . 8) 1 . 9) e .

10) +∞ .

19. 1) 1 . 2) 1 12 . 3) 1

2 .

20. 1) 1/ 3 . 2) 3 . 3) 1/ 3 .

21. 1) 0 . 2) 1 .

22. 1) 0 ,

= lim x

= 0 . 2) +∞ ,

= lim x = +∞ .

lim

n→∞ n

3) 1 , −1 ,

lim

=1 ;

lim x

= −1 .

n→∞ n

0 , +∞ ,

lim

= +∞;

lim x

= 0 .

n→∞ n

n→∞

0 , ±1/

2 ,

±1,

lim

=1 ;

lim x

= −1 .

n→∞ n

n→∞

0 , ±∞ ,

lim

= +∞;

lim x

= −∞.

n→∞ n

n→∞

±1/ 2 ,

lim

x =1/ 2 ;

lim x

= −1/ 2 .

n→∞ n

±1/ 2 ; ±1;

lim

x =1 ;

lim x

= −1 .

n→∞ n

n→∞

±2 ;

lim

= 2 ; lim x = −2 .

n→∞ n

n→∞

10) 0 ; +∞ ;

lim

=+∞; lim x

= 0 .

n→∞ n

23. 1)

=1 ; lim x

= 0 ; sup{x

}

=1.5 ; inf {x } = −1.

lim

n→∞ n

n→∞

=sup{x

} =3 ;

lim x

=inf {x

} = −3 .

lim

n→∞ n

=sup{x

} = +∞;

lim x

=inf {x

} = −∞ .

lim

n→∞ n

n→∞

=1 ; sup{x

} =1.5 ; lim x

=inf {x } = −∞ .

lim

n→∞ n

n→∞

= 2 ; sup{x

} =9 / 4 ; lim x =inf {x } = −4 .

lim

n→∞ n

n→∞

= 2 ; lim x

= −2 ; sup{x

} =5 ; inf {x } = −7 / 2.

lim

n→∞ n

n→∞

=sup{x

} = 2 ;

lim x

=inf {x

} = 0 .

lim

n→∞ n

=sup{x

} =1 ;

lim x

=inf {x

} = −1/ 2 .

lim

n→∞ n

=sup{x

} = +∞;

lim x

=inf {x

} = −∞ .

lim

n→∞ n

n→∞

10) sup{x

} = −1;

lim x

=inf {x

} = −∞.

lim

n→∞ n

11)

=sup{x

} = +∞;

lim x

=inf {x

} = −0 .

lim

n→∞ n

n→∞

12)

=sup{x

} = +∞;

lim x

=inf {x

} = −∞ .

lim

n→∞ n

n→∞

13)

lim x

= 0 ; sup{x

} =1.25 ; inf {x } = −5 .

lim

n→∞

n→∞ n

24. 1) +∞ ; −∞ . 2) e +1;

−(e +1/ 2 ) . 3) 1 ;

0 . 27. 1) 0 . 2) 0 .

3) 0 . 4) 0 .

28. 1) 1 . 2) 1 . 3) 0 . 4) 5 . 5) 1 . 29. 1) k−1 a . 2) 4 . 3) 3 . 4) 2 .

30. 1) а) – в) 13 . 2) а) – в) −1 . 31. 1 . 32. а) –. в) 1/ 2 .

33. 1) 3 . 2) −1/ 2 . 3) −2 .

34. 1) 0 . 2) 1/ (k +1). 3) +∞ . 4) 1/ 2 . 5) 2k / (k +1) . 6) 2 . 41. 1) π2 . 2) −π2 . 3) 1 . 4) 0 . 5) 0 . 6) 1 .

42. 1) а) 1 , б) 0 . 2) а) не существует, б) π. 3) а) 0 , б) 0 . 4) а) 0 , б) +∞ .

43. 1) а) 3 / 2 , б) 1/ 4 . 2) а) 1 , б) −1 . 3) а) π2 , б) −π2 . 4) а) 0 , б) 1/ 3 .

44. 1) 9 . 2) −3 . 3) 1/ 2 .

45. 1) 0 . 2) ∞ . 3) 1/ 2 . 4) 0 . 5) 1/ 4 . 6) −1/ 2 . 7) 0 . 8) (3/ 2)30 .

46. 1) (3/ 2)10 . 2) 1. 3) 1/ 4 . 4) 1. 5) 1.

47. 1) 7 . 2) 5 . 3) 5 . 4) 1/ 2 . 5) 0 . 6) 1 .

48. 1) а) (a +b) / 2 . б) +∞ . 2) а) 5/ 2 . б) −5/ 2 .

49. 1) 4 / 3 . 2) 5 . 3) 1/144 . 4) 5/ 3 .

50. 1) 5 . 2) 2 . 3) 1/ 3 . 4) 2 / 3 . 5) e−1 . 6) e−1 . 7) n−1 . 8) 5/ 3 .

9) 2 / 3 .

51. 1) (−1)m−n

. 2) α/ β. 3) −1 . 4) 2 . 5) 2 / π. 6) 1/ 2 . 7) 1/ 2 .

−lg e . 14) 7 / 36 .

8) 4 . 9) cos a . 10) 1 . 11) 1/ a . 12) 1/ 5 . 13)

15) 3 / 2 .

52. 1)

− β . 2) ax ln2 a . 3)

α aα−β . 4) −sin a . 5) −3 . 6) 1/ 4 .

4 / 3 . 8) −2 . 9) ln a . 10) 1.

53. 1) 1/ 2 . 2) 2 3 . 3) 0 . 4) e−3 . 5) 1 . 6) e2a . 7) e−1 .

1 . 9) 1 . 10) 0 . 11) e . 12) 1 . 13) 1 .

b1−b2

14) 0 , если a

< a ; +∞, если a

> a ; e

, если a

= a .

54. 1) e−(a+b) . 2) ab . 3) (aabbcc )a+b+c . 4)

55. 1)

а), г) да. б), в), д) нет. 2) а), в), г), д) да. б) нет.

3) а), в), г), д) да. б) нет. 4) а), г), д) да. б), в) нет.

5)а) да. б–д) нет. 6) а), в–д) нет. б) да. 56. 1) а) нет. б–д) да. 2) а–д) нет. 3) а–д) да.

4)а), в) нет. б), г), д) да. 5) а) да. б–д) нет.

6)а), в), г) нет. б), д) да.

57. 1) а), г) нет. б), в), д) да. 2) а–д) да. 3) а), г) нет. б), в), д) да.

4)а–г) нет. д) нельзя ответить однозначно.

5)а), г) да. б), в), д) нет. 6) а), б), г), д) нет. в) да.

58. а) да, б) нет, в) нет, г) да, д) да, е) нет. 59. а) нет, б) нет, в) да. г) нет, д) да, е) нет.

60. а) да, б) нет, в) нет, г) да, д) да.

61. а) k =1 , б) k =3 , в) k =5 , г) k =3 , д) k = 2 .

62. а) k =3 , б) k =1 , в) k = 2 , г) k = 4 , д) k =1 .

63. а) k = 2 , б) k = 2 , в) k =1 , г) k = 2 , д) k =1 .

64. а) 5x , б) −5x2 , в) −															1		x4	, г)				1		x2 , д)							1	x , е)			3	x2	, ж)			1	x3	,
64. а) 5x , б) −5x2 , в) −															2		x4	, г)						x2 , д)						2		x , е)		4		x2	, ж)		2		x3	,
з) −3x3 .															2					2										2				4					2
з) −3x3 .
			1		3			1		1 1/ 2										1 4									1 1				3/ 2				1	1	2
65. а)				, б)											, в)						,				г) −									, д)					.
65. а)				, б)											, в)						,				г) −									, д)			4		.
	x							2 x										x											4 x								4	x
66. а) 3(x −1)2 , б)											1			(x −1)1/ 3 , в) (x −1), г) e(x −1),
66. а) 3(x −1)2 , б)											3 2			(x −1)1/ 3 , в) (x −1), г) e(x −1),
д) (x −1).
			1		3		1			6						3 1				3							1 1
67. а)				, б)					, в)										,				г)							.
67. а)				, б)					, в)										,				г)							.
	x						x									2 x											4 x
68. а) 2x2 / 3 , б)								2x2 , в)							6 212 x , г)											1		x3	, д) x2 .
68. а) 2x2 / 3 , б)								2x2 , в)							6 212 x , г)										2			x3	, д) x2 .
																									2
69. а)	1				1		, б)			5						1				, в)				1 1 1/ 3										г) −			1		1
69. а)							, б)					2								, в)													,	г) −								,
		2 x −1											x −1										3			2 x				−1							π x −1
д)			1			.
д)						.
	x −1

70. 1)	1/120 . 2) ln2 a . 3) 2 . 4) 7 /12 . 5) −8/ 3 . 6) 0 . 7) 7 / 3 .
8) −2 . 9) −1/ 45 . 10) −1/12 . 11) 2 . 12) 7 / 45 .
71. 1)	0 .	2)	−2 . 3) −1/ 4 . 4) −1 . 5) −11/12 . 6) 12 . 7) −4 / 45 .
8)	2 .	9)	9 . 10) 0 . 11) 9 /16 .

72. 1) 1/ 2 . 2) 0 . 3) e1π . 4) 1 . 5) e−13 . 6) 0 . 7) 2 . 8) 1. 9) 0 .

73. 1–4) Правило Лопиталя неприменимо. Предел равен: 1) 1 . 2) 0 . 3) 1 . 4) 3 .

5–8) Формально примененное правило Лопиталя дает неверный результат, равный 0. Предел не существует.

3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

3.1. ЧАСТЬ 1

Вычислить предел последовательности {xn} , если xn равно

(1–31):

(n +1)4

−(n −1)4

(2n +1)4

−(n −1)4

;

(n +1)4 +(n −1)4

(2n +1)4

+(n −1)4

+ n

4. 3 n3 + 2n2 −n

;

3 1 +

−1

;

3 n3 + n + n

6. 4n n ;

7. n2 n ;

8. n 3n −2 ;

9. n n3 +3n ;

10. n

2n2 −5n +3

;

11. n 3n + 2n ;

12. n

n2 + 4n

;

n +5n

n5 +1

log2 (n +3)

13.

14.

15.

log5 (n2 +1)

−

;

1.2n

n −1.3

16.

n −lg n

;

17.

4n + n2 2n −1

;

18.

10n + n!

;

log2 (4n +

n4 +(n!)2

+(n +1)!

19.

(n + 2)!+(n +1)!

;

20.

(n + 2)!+(n +1)!

;

(n + 2)!−(n +1)!

(n +3)!

21.

+ +

n −1

; 22.

+ +

;

(3n

+1) (3n +

+... +

23.

24.

1 3

3 5

+...

(2n −1) (2n +1)

;

1 +

+... +

;

25.

1 + 2 +3 +... + n

; 26.

1 + 2 +3 +... + n

−

27.

2n −1

;

n + 2

2n +1

28. 2n −1 ;

2n +1

1 n

x+1

29.

30.

−

31.

;

lim 1

x→∞

Вычислить предел функции (32–79):

32. а) lim

2x7 +5x6 +7x3

б)

2x7

+5x6 +7x3

;

lim

;

3x7

+ 4x3

3x7 + 4x3

x→0

x→∞

33.

lim

(x +5)5 +(x +6)5 +(x +7)5

;

x5 +55

x→∞

34.

(x +1)2 (3 −7x)2

35.

(2x3 +7x −1)6

lim

;

lim

;

(2x −1)4

x→∞

x→∞ (2x6 −13x2 + x)3

36.

lim

x3 +3x2 + 2x

;

37.

lim

8x3 −1

;

x2 − x −6

6x2

x→−2

x→

−5x +1

38.

−

;

39.

−

;

lim

− x

x→1 1

1 − x3

x→2

x(x −2)2

x2 −3x + 2

40.

−2x +1

41.

x2 −4x +

x −4

lim

;

lim

;

−2x +1

x→1 x8

x→1

x2 −5x +

4 3x2 −9x

42. lim

;

43. lim

6 − x −1

;

3 1

+ x −1

− 4 + x

x→0

x→5

44.

2 x2 + x +1 −2 − x

; 45.

7 + 2x − x2 − 1+ x + x2

lim

;

2x − x2

x→0

x→2

46.

lim

4x4 +13x2 −7 −2x2

;

47. lim

−

21 − x

;

x −13 + 2

x→∞

x→5

48. lim

3 25 + x − 3 29 − x

;

49.

lim

x2 +5x + x

;

x→2

x −

x→−∞

50. а)

lim

+ 2x − x

, б)

lim

+ 2x − x

;

x→+∞

x→−∞

51. lim	1 −cos3 x	;	52. lim	tg x	; 53. lim	tg x −sin x	;
						x3
x→0 x sin (2x)			x→0 3 (1 −cos x)2		x→0

54.

57.

lim		1	−	1	;


x→0	sin x			tgx

lg x −1

lim − ; 58.

x→10 x 10

55. lim	1 −sin x				;
				2
x→π		π
2		2	− x

		10 + x
lim x log		2				;
			5	+ x
x→∞

56.

59.

lim		π
			2	− x tg x ;
x→	π
	2

lim ln cos(5x) ; x→0 ln cos(4x)

60.

2 ln cos

61.

10x −1

62.

(x(31/ x −1));

lim

;

lim

;

lim

−1

x→∞

x→0 2x

x→∞

sin(an )

63.

e7x −e2x

64.

65.

lim

;

lim x

−arctg x ;

lim

;

tg x

x→0

x→+∞

a→0 (sin a)m

66.

lim

(π−arcctg x);

67.

lim

2x −arcsin x

;

2x +arctg x

x→−∞

x→0

3x −4

x+1

2 + 4

68.

69.

; 70.

lim

;

lim

;

−1

−4

x→∞ 3x + 2

x→∞ x

71.

а) lim

x +1 x

б)

x +1 x

lim

;

−1

x→+∞ 2x

−1

x→−∞ 2x

72.

1 x /(2x+1)

73.

1 + x − x)1/ x ;

lim

;

lim (

x→∞

1/ sin2 x

x→0

74. lim (1 +3x

;

75.

lim

(1 +ctg x)

tg x

;

)

x→0

x→π/ 2

76. lim (cos x)−1/ x2 ;

77.

lim

(sin x)tg 2x ;

x→0

x→π/ 2

78. lim (cos6x)ctg2x ;

79. lim (ln(e + x))ctg x .

x→0

Вычислить предел; используя асимптотические разложения

(80–114):

80.

−

81.

lim

;

lim

−

;

x→0

ex −1

x→1 ln x

−1

82.

lim

cos x −e−x2 / 2

;

83.

lim

−

;

x→0

x→0 x

sin x

84.

85.

ln (1 + x)− x

lim

−ctg x

;

lim

;

x→0 x

x→0

86.

lim

−1 − x

;

87.

lim

cos x −1 + x2 / 2

;

x→0

88.

lim

tgx −sin x

;

89.

lim

1 + x + 3 1+ x −2

4 1− x

;

x→0

90.

lim

33 1 + x −44 1 + x +1

;

91.

lim

tg x−x

;

2 −2 1 − x

−x

x→0

x→0 sin x

92. lim

−

1 + 2x

93. lim

−

;

tg4 x

tgx

x→0

sin x

94.

lim

−

;

95.

lim

x−x

ln 1+

;

xtgx

x→0

x→+∞

96.

lim

ln(1 +3x + x2 ) +ln(1−3x + x2 )

;

97.

lim

3 9 + x + x +7

;

3 15 + 2x +1

x→0

x→−8

98.

lim

9x2 +1 − 3 x2 −1

;

99.

lim

3 x3 +

3x2 −

x2 −2x

;

x→∞ 4 x4 +1 − 5 x4 −1

x→+∞

100.

lim

3 x

(x + 4)

−

3 (x −

;

101.

lim (cos x)

ctg2x

;

x→∞

x→0

ex− 3 1 +3x + 9x2

102.

lim

− x

;

103.

lim

;

x→+∞

x→0

1/ 3		2 / 3	−(x −1)	2 / 3	;
104. lim x	(x +1)		−(x −1)		;
x→+∞

105. lim

ln (1 + x3 )−2sin x + 2x cos x2

;

x→0

arctg x3

esin(5x) −esin x

5 4

5 5 4

106. lim

x +x

−

x −x

;

107.

lim

;

ln(1 + 2x)

x→+∞

x→0

108. lim

5 2x2 +10x +1−7 x2 +10x +1

;

109. lim

ax − xa

;

x −a

x→0

x→a

110.

cos x −

4 e−x2

111. lim

ln cos(x2 )+ 6 1 +3x4 −1

lim

;

x→0

112.

lim

1 + x2 + x3 −1

;

113. lim

ex − 1 + 2x

;

ln cos x

x→0

1 +sin x −

ln (1 + x2 )

− x

114.

lim

tg3x

x→0

Используя формулу Тейлора; выписать необходимое количество слагаемых асимптотической формулы и вычислить предел

(115–120):

115.		arctg (2−x)+sin (x−2)2
	lim							;
	lim				x2	−4		;
	x→2				x2	−4
		arctg x		1/ x2
117.	lim	arctg x				;

			x
	x→0		x
119. lim			1		−	1	;
			1			1
						x2
	x→0	xarctg x				x2

116.

118.

120.

								1/ x2
lim	arcsin x									;

				x
x→0				x
lim		1	−				1			;
		1					1

x→0	x					arcsin x
			2						x
lim					arctg x .
lim			π		arctg x .
x→+∞			π

ОТВЕТЫ

1. 0. 2.	15	. 3.	1	. 4.	2	. 5.	1	. 6. 1. 7. 1. 8. 1. 9. 1. 10. 1. 11. 3 .
	17				3		3
		2							1.
12. 4 / 5 . 13. 1. 14. 0 . 15. 0 . 16. 1/ 2 . 17. 0 . 18. 0 . 19. 0 . 20.
21. 1/ 2 .	22. 1/12 . 23. 1/ 2 .						24. 4 / 3 . 25. 1/ 2 . 26. −1/ 2 . 27.		1.
28. 0 . 29.		e . 30. e . 31. 1. 32. а) 7 / 4 , б) 2 / 3 . 33. 3 . 34. −5/ 2 .

35. 8 . 36. −2 / 5 . 37. 6 . 38. −1. 39. ∞ . 40. 1/ 3 . 41. 1. 42. 3 . 43. 3 .

44. 3/ 4 . 45. 7 / 4 . 46. 13/ 4 . 47. 3/ 2 . 48. 4 / 27 . 49. −5/ 2 . 50. а) 1, б) +∞ . 51. 3/ 4 . 52. ∞ . 53. 1/ 2 . 54. 0 . 55. 1/ 2 . 56. 1.

57. 1/ (10ln10). 58.	5 / ln 2 . 59. 25 /16 . 60.	−π2 / 2 . 61.	ln10 / ln 2 .
	0, n > m		−	2
		−1. 67. 1/ 3 .	−	3 .
62. ln 3 . 63. 5 . 64. 1. 65. 1, n = m 66.		−1. 67. 1/ 3 .	68. e	3 .

	∞, n < m	e . 74. e3 . 75. e . 76.
69. e2 . 70. e8 . 71. а) 0 , б) ∞ . 72. 0 . 73. 1/		e . 74. e3 . 75. e . 76.
e .
77. 1/ e . 78. e−18 . 79. e1/ e . 80. 1/ 2 . 81. 1/ 2 . 82. −1/12 . 83.				0 .
84. 1/ 3 . 85. −1/ 2 .	86. 1/ 2 . 87. 1/ 24 . 88. 1/ 2 . 89. 4 / 3 . 90.			0 .

91. −2 . 92. 1. 93. 0 . 94. 1/ 3 . 95. 1/ 2 . 96. −7 . 97. 2 . 98. 3 . 99. 2 .

100.	10 / 3 . 101.	−	1	102.			−1/ 3 .	103.	3/ 2 . 104. 4 / 3 . 105. −4 / 3 .
		e	2 .
106.	2 / 5 . 107. 2 . 108.				4 / 7 . 109.			aa (ln a −1) . 110.		1/ 2 . 111.	0 .
112.	−1/ 2 . 113.	−2 .		114.			−1/ 8 .	115.	−1/ 4 . 116.	1	−1
										e6 . 117. e	3 .
					−	2
118.	0 . 119. 1/ 3 . 120.			e		π .

3.2. ЧАСТЬ 2

Вычислить предел последовательности {xn} , если xn равно

(1–20):

(n +5)4 −(2n −2)4

;

(n + 2)!+(n +1)!

;

+5)4 +(2n

−

2)4

(n +3)!−(n +1)!

3. 3 n3 + n2 + n +1 − 3 n3 −n2 + n −1 ;

4. n

2n3 −5n2 +3

;

n2 + n7

5. n 5n +7n ;

6. n

n2 +7n

;

n −lg n

;

n + 2n

log2 (4n +1)

+ n2 2n −1

(−3)n2 −n

10.

2n / 2

+(n +1)!

;

n4 +(n!)2

n(3n

+ n!)

(n3)!

11.

5n −1

;

12.

+ a3

+... + an

0 <

<1,0 <

<1 ;

b4 +b5

+... +bn

1 −2 +3 −4 +... −2n

13.

;

14.

∑

;

n2 +1

+3k

k =1 k

15.

;

12 14

(5n + 2)

(5n + 4)

16.

+... +

;

		n2 +5				n2 +6					n2 +7					n2 + 2n
17.				1				+			1				+	1		+... +	1		;
17.		(n +1)2 +5						+							+	(n +3)2		+... +			;
		(n +1)2 +5							(n + 2)2 +5							(n +3)2	+5		9n2	+5
18.			1					1				1
	1−				1	−				1	−			.
	1−		2	2	1	−	2			1	−	n	2	.
			2				3					n

Пусть {an}

– арифметическая прогрессия с разностью d ≠ 0 .

Вычислить:

19.

lim

;

n→∞

a1 + a2

+ a3

an +

an+1

20.

+... +

lim

a a

n→∞

n+1

Вычислить предел (21–52):

21.

а)

lim

4x9 +8x8 +5x7 +9x4

, б)

lim

4x9

+8x8 +5x7 +9x4

;

5x9 +6x6 +7x4

x→0

x→∞

22.

lim

;

23.

lim

− x3 + x2 −3x + 2

;

− x2

x3 − x2 − x +1

x→2

x2 −3x + 2

x→1

24. lim

xm −1

;

25.

lim

(x +1)10 +(x + 2)10 +... +(x +100)10

;

x10 +1010

x→1 xn −1

x→∞

26.

lim

x101

−101x +100

;

27.

lim

25x

+ 20x

−7 −5x

;

−2x +1

x→1

x→∞

28. lim

3 192 +8x − 3 240 −8x

;

29. lim

m x −1

;

x − 3x

−1

x→3

x→1 n x

30. а)

lim

2x + x

−

−4x +1

x→+∞

б)

lim

2x + x

−

;

−4x +1

x→−∞

31.

lim

tg (an )

;

32.

lim

1 −cos3 x

;

33.

lim

5 −1

;

2x)

a→0 (tg a)m

x→0 x arcsin (

n→∞ n 3 −

34.

(1 −cos x)2

35.

;

lim

;

lim

x→0 tg3 x −sin3 x

x→∞

36.

37.

39.

а) lim			2x +1			x
							,
				−1			,
x→+∞			x	−1
	x2 +1				x2
lim						;
lim		2				;
		2	−2
x→∞ x			−2

	25 + x
lim x log5		;

x→∞	5 + x

б)

38.


2x +1 x
lim			;
lim			;
x→−∞ x −1
x2		− x +1			x
lim						;
lim	2					;
	2	+ x +1
x→∞ x		+ x +1
40. lim				2		1	ln cos
	cosec
	cosec
x→∞					x

5 x ;

+ 4x

ln cos (

3x)

41.

lim

;

42.

lim

;

5x)

x→0

x→0 ln cos(

43.

lim

1 −ctg (πx)

;

44. lim

−1

;

x→1/ 4 ln (tg (πx))

x→0 5x

−

45.

lim

sin(8x)

−e

sin(5x)

;

46.

lim

−1

;

ln(1

−3x)

1 +sin2 x −1

x→0

(

))

x→0

47.

lim

(

π−arcctg x

;

48.

lim

(1 +ctg x)sec x ;

x→−∞

x→π/ 2

49. lim (cos(6x)+ x2 )cosec(x2 );

50. lim

ex2 −cos x

;

x→0

1/(tg x+x2 )

x→0

sin2 x

51.

lim (ln(e + x + x

;

52.

lim

(sin x)

tg2x

))

x→0

x→π/ 2

Вычислить предел, используя асимптотические разложения

(53–76):

53. lim

3 5x −24 − x + 4

; 54.

32x5 +3 − 7 x3 +7

;

lim

x→5

3 16x −72

−12 + 2x

x→∞

3 x3 +7 − 5 x4

−1

55. lim

+ 2)

−

(x −1)

;

3 x 3 (x

x→∞

56.

lim

+ 2x

−

;

x→+∞

ex − 5 1 + x +

25 x2

58. lim (cos x +sin2 x)1/arcsin

x ;

57. lim

;

x→0

− xa

59.

lim

5x − x

ln 1 +

;

60. lim

, a > 0 ;

−a

x→+∞

x→a

ab ≠ 0 ;

62. lim x2 (41/ x −41/(x+1) ) ;

61. lim

−

x→1 1 − xa

1 − xb

x→∞

63.

lim

ln 1

−

x→+∞

65.

lim

−2x

−

x→+∞

2 −

−(x3 +

67.

lim

x→+∞

2 +

xx −aa

;

64.

lim

a > 0

;

x −a

x→a

+ 2x

;

66.

lim

(tg x)

cos x

;

x→π/ 2−0

x +1)ln 1

;

68. lim

−

−1

;

69. lim

e2x − 4 1 +8x

;

ln cos x

x→+∞

x→0

70.

lim

ex +ln

(1 −sin x)−1

;

71.

lim

1 +sin x +ln (1 − x)

;

x→0

− x

−2

x→0

tg x −sin x

1 +sin x −

ln (1 + x2 )

− x

72.

lim

;

ln (1 + x

)

x→0

1/ x

ln cos2 x+x2 6 1+x2−x 4

73.

lim

x (2e)

−

;

74. lim

;

x→+∞

x→0

75.

lim

cos(sin x) −

1 − x2+ x4

; 76. * lim

(cos x)sin x −

1 − x3

x→0

Используя формулу Тейлора, выписать необходимое количество слагаемых асимптотической формулы и вычислить предел

(77–80):

77.

79.

	2			x
lim			arctg x ;

x→+∞ π
lim	xetg x −sin2 x − x				;
		x	+ x3	− tg x
x→0

78. lim		1	−	1	;


x→0	arctg x			arcsin x
80. lim		x2ex−ln (1+x2 )−arcsin x3				.
			xsin x − x2
x→0

ОТВЕТЫ

1.	−15/17 . 2. 0 . 3.			2 / 3 . 4.			1. 5.	7 . 6.	7 / 2 . 7.	1/ 2 . 8.		0 . 9. 0 .
10.	1. 11. 1. 12. .			a(1 −b)			. 13.	−1. 14. 1/ 4 .		15. 1/14 . 16. 2 .
10.	1. 11. 1. 12. .			b4 (1 −a)			. 13.	−1. 14. 1/ 4 .		15. 1/14 . 16. 2 .
				b4 (1 −a)
17. 2 . 18. 1/ 2 . 19. 1/ d						. 20. (a d )−1 . 21. а) 9 / 7 , б) 4 / 5 .
22.	−1/ 2 . 23.	2 .	24.		m / n .			1		27.	2 . 28. 8/ 27 .
22.	−1/ 2 . 23.	2 .	24.		m / n .	25. 100 . 26. 5050 .				27.	2 . 28. 8/ 27 .
							0, n > m
29.	n / m . 30. а)		3 , б) −3 .					1, n = m 32.		3/ 4 . 33.		log3 5 .
29.	n / m . 30. а)		3 , б) −3 .				31.	1, n = m 32.		3/ 4 . 33.		log3 5 .

							∞, n < m
34. ∞ . 35. eab . 36. а) ∞ , б) 0 . 37. e3 . 38. e−2 . 39.												20 / ln 5 .
40.	−12.5 . 41. 8		42.		9 / 25 .		1 44.	log5 7 . 45. −1. 46. 2 . 47. −1.
48.	e . 49. e−17 . 50.			3/ 2 . 51.			e1/ e . 52. 1/		e . 53.	0.2 . 54. 2 . 55. 2 .
56.	31/15 .	57.	∞ .		58.		e .	59.	12.5 .	60.	aa (ln a −1) .

61. (a −b)/ 2 . 62. ln 4 . 63. 9 . 64. aa (1 +ln a). 65. −4 / 3 . 66. 1.

67. −4 / 3 . 68. 1. 69. −16 . 70. 1/ 2 . 71. −11/12 . 72. −1/ 8 . 73. 2 +ln 2 . 74. 0 . 75. −1/ 6 . 76. −1/ 2 . 77. e−2 / π . 78. 0 . 79. 3/ 4 .

80. −6 .

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2019671 Кб41ПРАКТИКУМ ПО КОНФЛИКТОЛОГИИ.doc
#
01.07.202537 Кб1Практическая работа N1.docx
#
01.04.202540 Кб7Практическое занятие 5 Охрана труда.docx
#
01.07.2025699 Кб1Превосходящее запоминание цифр.doc
#
01.03.2025211 Кб4Пределы функций.doc
#
27.03.2015416 Кб184Пределы. Сборник Матан.pdf
#
16.04.2019299 Кб60Предмет методологии -экз.docx
#
01.05.2025299 Кб1Представление информации в ПК.doc
#
27.03.20154 Мб11ПРЕЗЕНТАЦИЯ ЕДОША-ГУРМАНЫ ОБЩАЯ 02.12.13.pdf
#
01.07.20252 Мб1Преодоление рецидивов заикания.doc
#
17.07.2019139 Кб16При потомках Дмитрия Донского Русское государст....docx