m1var02
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант № 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1. |
Найти область определения функции : y = arccos |
1− 2x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Область |
определения |
данной функции |
определяется |
неравенством |
|
1− 2x |
|
≤ 1. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: |
− 3 ≤ 1− 2x ≤ 3 . Из левого |
||||||||||||||||||||||||||||||
неравенства находим − 4 ≤ −2x или |
x ≤ 2. Из правого неравенства − 2x ≤ 2 |
или |
x ≥ −1. |
||||||||||||||||||||||||||||
Объединяя результаты, получим: −1 ≤ x ≤ 2 . Ответ: x [−1, 2]. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2. Построить график функции: y = x − 2 + |
|
x2 − 4x + 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Так |
как |
x2 − 4x + 4 = (x − 2)2 |
≥ 0 |
всегда, |
|
|
|
то |
данная |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
функция определена на всей числовой оси. Преобразуем |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
функцию: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
y = x − 2 + x2 − 4x + 4 = x − 2 + (x − 2)2 = x − 2 + |
|
x − 2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Таким образом, y = |
2(x − 2), |
если x ≥ 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
если x < 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: график представлен на рисунке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. Построить график функции: y = −arctg(2x −1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем функцию. Вынесем |
||||||||||||||||||||||||||||||
за |
скобки |
|
множитель |
2: |
y = −arctg[2(x − |
1 |
)]. |
Последовательно |
строим |
сначала |
|||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
у = arctg(x), |
затем |
у = −arctg(x) |
( переворачивая |
|
|
график |
вокруг |
оси |
ОХ), затем |
«сжимаем» график в два раза по оси ОХ и получаем у = −arctg(2x), затем сдвигаем график вправо по оси ОХ на величину 1/2. Ответ: построения представлены на рисунках (y – в радианах).
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
2 |
0 |
2 |
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
2 |
0 |
2 |
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
2 |
0 |
2 |
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
2 |
0 |
2 |
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = tg t |
|
|
|
4. Построить график функции: |
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
y = cos |
−2 t |
|
|
Исключим |
параметр |
t, |
применяя |
формулу |
|||||
cos2 t = |
|
1 |
. |
|
Подставляя |
это |
во |
вторую |
формулу, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||
1 |
+ tg2t |
|
|
|
|
|
|
||
получим: |
y = 1 |
+ tg2t или y = 1+ x2 . Функция определена |
на всей числовой оси. Ответ: график представлен на рисунке.
5. Построить график функции: ρ = |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1− cosϕ |
|
|
|
|
|
|
||
Перейдём к декартовым |
координатам. |
|
Так |
как |
||||
y = ρ sinϕ, x = ρ cosϕ , то x2 + y2 = ρ 2 , cosϕ |
= |
|
y |
|||||
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x2 |
+ y2 |
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
4
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
4
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Подставим |
это |
в |
функцию: |
|
x2 + y2 = |
|
или |
1 = |
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x / x2 + y2 |
|
|
|
|
|
x2 + y2 − x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Следовательно, |
x2 + y2 |
− x = 2 или |
x2 + y2 = 2 + x . Возведём |
|
обе |
части |
в квадрат: |
x2 + y2 = 4 + 4x + x2 . Окончательно, данная функция в декартовых координатах имеет
вид: x = y2 −1. Это парабола с вершиной в точке (-1;0), пересекающая ось ОY в точках 4
y1=−2 и y2=2. Ответ: график представлен на рисунке.
6. Вычислить предел: lim (3 − n)4 − (2 − n)4 . n→∞ (1− n)4 − (1+ n)4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k! |
|
|
|
||
Воспользуемся формулой бинома Ньютона (a + b)k = ∑Cki |
aibk−i |
|
, где Cki |
= |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i!(k − i)! |
|||||||
Получим: lim |
(3 − n)4 |
− (2 − n)4 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− (1+ n)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n→∞ (1− n)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= lim |
81−108n |
+ 54n2 |
−12n |
3 + n4 |
− (16 − 32n + 24n |
2 − 8n3 + n4 ) |
= lim |
65 − 76n + 30n2 − |
4n3 |
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1− 4n + 6n2 |
− 4n3 |
+ n4 − (1+ 4n + 6n2 + 4n3 + n4 ) |
|
|
|
|
|
− 8n − |
8n3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
65/ n3 − 76/ n2 + 30/ n − 4 |
= |
|
− 4 |
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
(3 |
− n)4 − (2 |
− n)4 |
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 8 |
|
|
|
|
. Ответ: |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
− 8/ n2 − 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− n)4 − (1 |
+ n)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
n→∞ (1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
7. Вычислить предел: lim |
x3 − 5x2 + 7x |
− 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(неопределённость вида (0/0)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Разлагаем числитель на простые множители: lim |
x3 − 5x2 + 7x − 3 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x −1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= lim |
|
x2 (x −1) − 4x(x −1) + 3(x −1) |
|
= lim |
x2− 4x + 3 |
= lim |
(x−1)(x − 3) |
= lim(x − 3) = −2 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x −1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
(x −1) |
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Ответ: lim |
x3 |
− 5x2 + 7x − 3 |
= −2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
(x −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
8. Вычислить предел: lim |
|
|
1− x |
− |
3 |
(неопределённость вида (0/0)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−8 |
2 + 3 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Умножаем |
|
числитель |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
знаменатель |
на |
|
|
сопряжённое |
|
выражение: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
− x −3 |
|
0 |
= lim |
|
( 1− x −3)( |
|
1− x +3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(x + 8) |
|
1 |
|
|
|
(x |
+ 8) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
lim |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x→−8 2 |
+ 3 x |
|
0 |
x→−8 (2 + 3 x)( 1− x + 3) |
|
x→−8 1 |
− x + 3 x→−8 2+ 3 x |
|
|
6 x→−8 2 + 3 x |
. Числитель разложим на множители как сумму кубов двух чисел. Получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− x − 3 |
|
1 |
|
|
|
(2 |
+ 3 x)(4 − 23 x + 3 x2 ) |
|
1 |
|
|
|
|
|
12 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
lim |
|
= − |
lim |
= − |
lim(4 − 23 x + 3 |
x2 ) = − |
= −2 . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x→−8 2 |
+ 3 x |
|
|
6 |
|
x→−8 |
|
|
|
|
2 + 3 x |
|
6 |
x→−8 |
|
|
6 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Ответ: lim |
|
1− x |
− |
3 |
= −2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
x→−8 |
2 + 3 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9. Вычислить предел: lim |
1− cos3x |
(неопределённость вида (0/0)). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→2π |
sin2 7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
|
|
Воспользуемся формулой 1− cos3t = 2sin2 |
3t |
и первым замечательным пределом: |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
sint |
= 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t→0 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1− cos3x |
|
x − 2π = t, x = t + 2π , |
cos3x = cos[3(t + 2π )] = cos3t, |
|
1 |
− cos3t |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
|
|
= |
sin 7x = sin[7(t + 2π )] |
= sin 7t, если |
x → 2π , то t → 0 |
|
= lim |
|
|
= |
||
sin2 7x |
|
sin2 7t |
|||||||||||
x→2π |
|
|
t→0 |
|
|
|
2 3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2sin |
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
1 |
|
7t |
|
2 |
||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= lim |
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
lim |
3t |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
t→0 sin2 7t |
2 |
|
|
|
t→0 |
|
|
|
|
49 t→0 |
sin 7t |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: lim |
1− cos3x |
= |
9 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→2π |
sin2 7x |
|
|
98 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
1 |
|
sin 7t −2 |
|
= |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
49 |
t→0 |
7t |
|
2n + 3 |
n+1 |
|
∞ |
|
10. Вычислить предел: lim |
|
|
(неопределённость вида (1 |
|
)). |
2n +1 |
|
||||
n→∞ |
|
|
|
|
= 9 98
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 z |
= e: |
|||||||
|
|
|
Приведём |
предел |
|
|
ко |
второму |
|
замечательному |
пределу: |
|
|
|
lim 1+ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→∞ |
|
|
z |
|
|
|
|||||
|
|
2n + 3 n+1 |
2n |
+1+ |
2 n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim 1+ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
n→∞ 2n +1 |
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t+1/ 2 |
|
|
|
|
|
1 |
t |
|
|
|
|
|
1 1/ 2 |
= e |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
, если n → ∞, то t → ∞, n = t −1/ 2 |
= lim 1+ |
|
|
= lim 1+ |
|
|
|
|
lim 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2n +1 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→∞ |
|
t |
t→∞ |
|
|
|
t |
|
|
t→∞ |
|
|
|
t |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n + 3 n+1 |
= e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
. Ответ: lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
11. Вычислить предел: lim |
|
|
x2 − x +1 −1 |
|
(неопределённость вида (0/0)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Умножим и поделим на сопряжённое к числителю выражение: lim |
|
|
|
x2 − x +1 |
|
−1 |
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
lim |
( |
|
x2 |
− x +1 −1)( x2 |
− x +1 +1) |
= lim |
|
|
|
|
|
|
x2 |
− x |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
lim |
|
x −1 |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x→1 |
|
|
|
|
[ |
|
|
|
|
x2 − x +1 +1]ln x |
|
|
x→1 [ |
|
|
x2 − x +1 +1]ln x |
x→1 x2 − x +1 +1 x→1 |
|
|
ln x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
1 |
lim |
x −1 |
= |
|
x −1 = t, x = t +1, |
|
|
= |
1 |
lim |
|
|
t |
= | ln(t+1)~t |= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если x → 1, |
то t → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
x→1 |
ln x |
|
|
|
|
2 |
|
|
t→0 ln(t |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: lim |
|
|
|
|
|
x2 |
− x +1 −1 |
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: y = −3x2 −9 . Область определения – все действительные числа, кроме x=−3 и x=3. В точках x=−3
и x=3 функция имеет разрывы, во всех других точках является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в окрестности точек разрыва:
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
− 3x2 −9 |
= −3∞ = −∞, |
lim |
|
− 3x2 −9 |
|
= −3−∞ = 0, |
|
|
|
|
|
x→−3−0 |
|
|
|
|
x→−3+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
6 |
3 |
0 |
3 |
6 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
lim |
|
− 3x2 −9 |
= −3−∞ |
= 0, |
lim |
|
− 3x2 −9 |
= −3∞ = ∞ . Таким образом, в точках x=−3 и x=3 |
||||
x→3−0 |
|
|
|
|
|
|
x→3+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеют место бесконечные разрывы второго рода. Для построения эскиза графика функции
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
рассмотрим поведение функции в бесконечности: lim |
− 3x2 −9 |
= |
lim |
− 3x2 −9 |
= −30 |
= −1. |
||||
x→−∞ |
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: В точках x=−3 и x=3 функция имеет разрывы второго рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.
13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика:
x2 +1, |
x ≤ 1, |
|
< x ≤ 3, . |
y = 2x2 , 1 |
|
x + 2, |
x > 3. |
|
|
Область определения функции: x (−∞,∞) . Ось ОХ разбивается на три интервала, на каждом из которых функция f(x) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точками разрыва могут быть только точки, разделяющие интервалы. Вычислим односторонние пределы:
lim |
f (x) = lim (x2 +1) = 2, |
lim |
f (x) = lim 2x = 2, |
|
|
x→1−0 |
x→1−0 |
|
x→1+0 |
x→1+0 |
|
lim |
f (x) = lim 2x = 6, |
lim |
f (x) = lim (x + 2) = 5. |
Таким |
|
x→3−0 |
x→3−0 |
x→3+0 |
|
x→3+0 |
|
образом, в точке x=1 функция непрерывна, а в точке x=3 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке x=2 равна (−1).
Ответ: В точке x=3 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.
14. Исходя из определения производной, найти f ′(0):
f (x) = sin xcos 5 , x ≠ 0, f (0) = 0. x
6
4
2
1 0 1 2 3 4
По определению f ′(x0) =lim |
f (x0 + |
x) − f (x0 ) |
. Заменим |
x на x-x0: |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f ′(x |
|
) = lim |
f (x) − f (x0 ) |
. Но |
x |
|
|
= 0, |
f (x |
|
) = 0 , поэтому |
f ′(0) = lim |
f (x) |
. В данном |
|||||||||||||
|
0 |
x→x0 |
x − x0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
sin xcos |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
случае f ′(0) = lim |
x |
= lim |
sin x |
limcos |
5 |
= limcos |
5 |
. Этот предел не существует, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→0 |
x |
|
x→0 |
x |
x→0 |
|
|
|
x x→0 |
x |
|
|
|
|
||||||||||
следовательно, не существует и производная в точке x0 = 0 . Ответ: f ′(0) |
не существует. |
||||||||||||||||||||||||||
15. |
|
Найти |
производную |
|
|
показательно-степенной |
функции: |
|
y = (sin x)5ex . |
Прологарифмируем функцию: ln y = 5ex lnsin x . Берём производную, как производную
неявной функции: y′ = 5ex lnsin x + 5ex ctgx = 5ex (lnsin x + ctgx) . Подставляем сюда y: y
y′ = 5ex (sin x)5ex (lnsin x + ctgx) . Ответ: y′ = 5ex (sin x)5ex (lnsin x + ctgx) .
16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить y′xx′ :
4
x |
= |
3 cost |
|
|
t |
= |
π |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= sint |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Уравнения |
|
|
|
касательной |
и |
нормали |
к |
|
кривой |
y = f (x) |
|
имеют |
вид |
||||||||||||||||||
y = y0 |
+ y′x (x0 ) (x − x0 ) |
и |
|
y = y0 |
− (1/ y′x (x0 )) (x − x0 ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
где |
x0 |
и |
y0 |
- координаты точки касания. Вычислим |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сначала эти координаты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
|
= x(π ) = |
3 1= |
|
3 , |
y |
|
= y(π ) = |
3 . |
|
|
|
Найдём |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
|
|
|
|
y′′ : |
|
|
|
y′ |
= yt′ |
= − |
cost |
= − ctg t . |
|
|
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
||||||||
производные |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
xx |
|
|
|
x |
xt′ |
|
|
3sint |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
Тогда |
|
|
y′ |
(π ) = − |
1 |
|
ctg(π ) = − 1 . |
|
|
|
Далее, |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y′′ |
= (yt′)′t |
= − |
|
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
|
|
|
x′ |
|
3sin3 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′ |
= − |
23 |
= − |
|
8 |
|
= − 8 |
3 . |
|
Таким |
|
|
|
образом, |
|
уравнение |
|
касательной |
|||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
3 ( |
3)3 |
|
|
|
9 |
3 |
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y = |
3 / 2 − (1/3) (x − |
3 / 2), |
уравнение |
|
нормали |
|
y = |
3 / 2 + 3 (x − |
3 / 2). |
Или |
|||||||||||||||||||||||||
x + 3y − 2 3 = 0 и 3x − y − 3 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
8 |
|
3 |
|
|
|
|
касательная |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 3y − 2 3 = 0 |
|||||||||||||||
Ответ: (x0 |
, y0 ) = |
|
2 |
, |
2 |
|
|
, y′x (x0 ) |
= − |
|
, y′x′(x0 ) = |
|
|
, |
|
− y − |
3 = 0 |
нормаль |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
27 |
3x |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. Функция y(x), заданная неявно уравнением |
4y /π − tg(x2 |
+ y) = 0, принимает в точке |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
0 |
|
= 0 значение |
|
y |
0 |
= π / 4. Найти |
y′ |
, y′′ |
, y′ (x |
0 |
), y′′ |
(x |
0 |
) . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
xx |
x |
|
|
xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Дифференцируем уравнение по x, предполагая, что y= y(x): |
4y′ − |
|
2x + y′ |
= 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
cos2 (x2 + y) |
|
Из |
этого равенства находим: |
y′ = |
|
|
2πx |
|
|
= |
|
|
2πx |
|
|
|
|
. |
Находим |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4cos2 (x2 + y) − π |
2 + 2cos2(x2 + y) − π |
||||||||||||||||||||||||||
вторую производную: |
y′′ = |
2π (4cos2 (x2 + y) − π ) + 2πx 8cos(x2 |
+ y)sin(x2 |
+ y)(2x + y′) |
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4cos2 (x2 + y) − π )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y′′ = |
2π (4cos2 (x2 |
+ y) − π ) + 8πx(2x + y′) sin 2(x2 |
+ y) |
. Вычислим |
производные |
в точке |
|||||||||||||||||||||
|
(4cos2 (x2 |
+ y) − π )2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
= 0 : y′(0) = 0, |
y′′(0) = |
|
2π |
|
|
. Ответ: y′ = |
|
|
|
2πx |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 − π |
|
|
2 + 2cos2(x2 |
+ y) − π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y′′ = |
2π (4cos2 (x2 |
+ y) − π ) + 8πx(2x + y′) sin 2(x2 |
+ y) |
, |
y′(0) = 0, y′′(0) = |
2π |
. |
|
|
||||||||||||||||||
|
(4cos2 (x2 |
+ y) − π )2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − π |
|
|
|
|
|
||||||||||
18. |
Вычислить |
приближённое |
значение |
функции |
в |
заданной |
точке |
|
с |
помощью |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
дифференциала: |
y = |
x + |
|
5 − x2 |
, x = 0,98. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
По определению дифференциала y(x0 |
+ |
x) = y(x0 ) + dy(x0 ) + o( x) или, в других |
||||||||||||||||||||||
обозначениях, |
y(x) = y(x0 ) + dy(x0 ) + o((x − x0 )), x = dx = x − x0 . |
Отсюда |
получаем |
5
формулу для приближённых вычислений: y(x) ≈ y(x0 ) + y′(x0 )(x − x0 ). В данном случае
x |
|
= 1, y(x |
|
) = y(1) = 1,5, |
|
y′ = |
1 |
(1− |
|
|
x |
|
|
), y′(x |
|
) = |
y′(1) = 0,25, |
x = −0,02. |
Тогда |
||||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
5 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y(0,98) ≈ 1,5 − 0,25 0,02 = 1,495 . Ответ: y ≈ 1,495 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: |
lim (sin x)tg2x . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Это |
|
|
|
неопределённость |
|
|
|
|
вида |
|
|
(1∞). |
Преобразуем |
предел: |
||||||||||||||
lim (sin x)tg2x |
= lim etg |
2 |
|
|
|
|
|
lim tg2x lnsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x lnsin x = ex→π / 2 |
|
. |
Найдём |
предел |
в |
показателе |
степени: |
|||||||||||||||||||||||
x→π / 2 |
|
|
|
|
x→π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
lnsin x |
= |
0 |
= lim |
|
lnsin x |
= lim |
[lnsin x]′ |
= − lim |
cos x |
|
= . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
[ctg2 x]′ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x→π / 2 |
tg−2 x |
|
x→π / 2 |
ctg2 x |
x→π / 2 |
|
|
x→π / 2 sin x (2ctg x)sin−2 x |
|
= − lim |
sin2 x |
|
= − |
1 |
Следовательно, |
|
lim (sin x)tg2x |
|
= e−1/ 2 . Ответ: lim (sin x)tg2x |
|
= e−1/ 2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→π / 2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: lim(e |
|
|
x )/ x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(e |
|
|
|
)′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Это неопределённость вида (∞/∞): lim |
e |
x |
|
|
|
= lim |
|
x |
= lim |
|
|
e x |
|
|
|
= |
1 |
|
|
lim |
|
e x |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ (x2 )′ |
|
|
|
x→∞ 2 x |
2x 4 x→∞ x3/ 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e x |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
e x |
|
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
e |
|
|
|
x |
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
e x 2 x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
= |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
lim |
|
|
|
= |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
4 x→∞ 2 x 3x1/ 2 |
|
|
12 x→∞ x |
|
|
∞ |
|
|
|
24 x→∞ x |
|
∞ |
|
|
24 x→∞ 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
1 |
|
|
|
= ∞ .Ответ: lim(e |
|
|
|
|
|
|
= ∞ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
lime x |
|
x ) / x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
24 x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
21. |
Многочлен |
по |
|
|
степеням |
x представить |
|
|
в |
|
|
виде |
|
многочлена по степеням (x − x0 ) : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) = x4 + 2x2 − x − 3, x |
0 |
= −2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем |
|
|
|
|
формулу |
|
Тейлора |
|
|
для |
|
|
|
|
многочлена |
|
|
|
|
четвёртой |
|
|
|
степени: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) = f (x |
|
|
) + f |
′(x |
|
|
)(x − x |
|
) + |
f ′′(x0 ) |
(x − x |
|
|
)2 |
+ |
|
f ′′′(x0 ) |
(x − x |
|
)3 |
+ |
|
f (4) (x0 ) |
(x − x |
|
)4 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Найдём все производные: |
|
f ′(x) = 4x3 + 4x −1, f ′′(x) = 12x2 |
+ 4, |
|
f ′′′(x) = 24x , |
f (4) (x) = 24 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда f (−2) = 23, |
f ′(−2) = −41, f ′′(−2) = 52, |
f ′′′(−2) = −48, f (4) (−2) = 24 . Подставив это в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формулу, получим: f (x) = 23 − 41(x + 2) + 26(x + 2)2 − 8(x + 2)3 + (x + 2)4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: f (x) = 23 − 41(x + 2) + 26(x + 2)2 − 8(x + 2)3 + (x + 2)4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию |
|
f (x) в окрестности точки x0 с |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точностью до o((x − x |
0 |
)3 ) : |
f (x) = (ex +1)−2 , |
x |
0 |
|
= ln 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Применяем формулу Тейлора: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) = f |
(x |
|
|
) + f |
′(x |
|
|
)(x − x |
|
) + |
f ′′(x0 ) |
(x − x |
|
|
)2 |
+ |
|
f ′′′(x0 ) |
(x − x |
|
)3 |
+ o((x − x |
|
)3 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вычисляем последовательно: f (ln 2) = |
1 |
, |
f ′(x) = −2(ex +1)−3 ex , |
|
f ′(ln 2) = − |
4 |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f ′′(x) = 6(ex +1)−4 e2x |
− 2(ex |
+1)−3 ex = 2(ex +1)−4 ex[2ex |
−1], |
|
f ′′(ln 2) = 4/ 27, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f ′′′(x) = −8(ex +1)−5 e2x [2ex −1] + 2(ex |
|
+1)−4 ex[2ex −1]+ 4(ex |
+1)−4 e2x , |
f ′′′(ln 2) = −4 /81. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: f (x) = |
1 |
− |
4 |
(x − ln 2) + |
2 |
(x − ln 2)2 − |
|
|
|
2 |
|
(x − ln 2)3 + o((x − ln 2)3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
243 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора:
f (x) = 6sin(x − 2) + x3 − 6x2 + 6x + 4, x |
0 |
= 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
Найдём значение функции и её первых пяти производных в заданной точке: |
||||
f (2) = 0, f ′(x) = 6cos(x − 2) + 3x2 −12x + 6, f ′(2) = 0, |
|
|
||
f ′′(x) = −6sin(x − 2) + 6x −12, f ′′(2) = 0, f ′′′(x) = −6cos(x − |
2) + 6, |
f ′′′(2) = 0, |
||
f (4) (x) = 6sin(x − 2), f (4) (2) = 0, f (5) (x) = 6cos(x − 2), f (5) |
(2) = 6. |
По формуле Тейлора |
f (x) = (x − 2)5 / 20 + o((x − 2)5 ). Ответ: В окрестности точки (2, 0) функция ведёт себя как
степенная |
|
функция |
пятой степени. Точка (2, 0) является точкой перегиба: слева – |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интервал выпуклости, справа – интервал вогнутости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x − e |
−x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
По формуле Тейлора e−x2 |
|
= 1+ (−x2 ) + |
1 |
(−x2 )2 |
+ |
1 |
(−x2 )3 + o((−x2 )3 ) = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= 1− x2 + |
1 |
|
x4 − |
1 |
x6 + o(x6 ) . Аналогично, cos2 x = |
1 |
|
(1+ cos2x) = |
1 |
[1+ (1− |
1 |
(2x)2 + |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 |
x − e |
−x2 |
||||
+ |
|
|
(2x)4 + o((2x)4 ))] |
= 1− x2 |
+ |
|
|
x4 + o((2x)4 ). Подставим это в предел: lim |
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1− x2 + |
1 |
x4 + o(x4 ) − (1− x2 + |
1 |
x4 + o(x4 )) |
|
|
|
1 |
x4 − |
1 |
x4 + o(x4 )) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
= lim |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e−x2 − cos( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: lim |
|
|
2x) |
= |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: y = |
|
x3 − 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Область определения функции: x (−∞, − 2/ 3) (2/ |
3, ∞) . Функция непрерывна |
в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в граничных точках
области определения: lim |
|
x3 − 4x |
= ∞, |
|
lim |
x3 |
− 4x |
= −∞, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−2 / |
3 |
−0 3x2 − 4 |
|
|
x→−2 / |
3 |
+0 3x2 − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x3 |
− 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 − 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
= ∞, |
lim |
|
|
|
= −∞ . |
|
Отсюда следует, |
что прямые |
x = −2 3 и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→2 / |
3 |
−0 3x2 |
4 |
|
|
|
x→2 / |
3 |
+0 3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x = 2 3 |
являются |
вертикальными асимптотами. Исследуем |
функцию |
при x → ±∞ : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x3 − 4x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
8x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
− 4x |
|
1 |
|
|
8x |
|
|
|
||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
= lim ( |
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) = −∞, |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim ( |
|
x + |
|
|
) = ∞ . Из этого |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3(3x2 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→−∞ 3x2 − 4 |
|
x→−∞ 3 |
|
4) |
|
|
|
|
|
x→+∞ 3x2 − 4 |
x→+∞ 3 |
|
|
3(3x2 − 4) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
следует, что имеется наклонная асимптота y = kx + b , где k=1/3. Действительно, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k = lim |
f |
(x) |
= lim |
|
x3 − |
4x |
|
= |
lim |
|
|
x3 − |
4x |
|
|
= |
1 |
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x→−∞ |
x |
|
|
x→−∞ x(3x2 |
|
|
x→+∞ x(3x2 |
|
− 4) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b = lim( f (x) − kx) = lim( |
x3 − 4x |
− |
1 |
x) = |
|||
|
|
||||||
x→∞ |
x→∞ 3x2 − 4 |
|
3 |
|
|||
lim |
3(x3 |
− 4x) − 3x3 + 4x |
|
= 0 . |
Таким образом, прямая |
||
|
3(3x2 − 4) |
||||||
x→+∞ |
|
|
|
|
|||
y = x /3 |
является наклонной |
асимптотой. Ответ: Эскиз |
|||||
графика представлен на рисунке. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
6 |
|
|
|
|
3 |
|
|
6 |
3 |
0 |
3 |
6 |
|
|
3 |
|
|
|
|
6 |
|
|
26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график: y = e− x / x2 . 1. Область определения: x (−∞, 0) (0, ∞). 2. Чётность, нечётность, периодичность
отсутствуют. 3. Функция непрерывна во всех точках области определения. Точка x = 0 является точкой разрыва второго рода. Исследуем поведение функции в окрестности
точки разрыва: lim |
e−x |
= lim |
e− x |
= ∞ . Прямая x = 0 является вертикальной асимптотой. |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x→0+0 x2 |
x→0+0 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
−x |
|
− e− x |
|
e− x |
|
4. Исследуем асимптотическое поведение функции: lim |
|
|
= lim |
|
= lim |
|
= ∞ , |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−∞ x2 |
x→−∞ |
2x |
x→−∞ |
2 |
|
||
|
e−x |
|
− e−x |
|
|
e− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
|
= lim |
|
= lim |
|
= 0 , следовательно, прямая |
y = 0 является горизонтальной |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
x→+∞ x2 |
x→+∞ |
2x |
x→+∞ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
асимптотой. Наклонных асимптот нет. 5. Первая производная y′ = |
− e− x x2 − 2xe− x |
|||||||||||||||
|
x4 |
= |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=− e− x (x + 2) . Производная обращается в нуль в точке x = −2, в точке x = 0 производная x3
не существует. В интервале (−∞,− 2) y′ < 0 - функция монотонно убывает, в интервале
(−2,0) y′ > 0 - функция монотонно возрастает, в интервале (0,∞) |
y′ < 0 - функция |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
монотонно убывает. Следовательно, в точке x = −2 имеет место минимум функции, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−x (x + 2) |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
причём y |
|
= y(−2) = e2 |
/ 4. 6. y′′ = |
− |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
min |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= − |
[−e− x (x + 2) + e−x ]x3 − 3x2e−x (x + 2) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
e− x[(x +1)x + 3x + 6] |
= |
e |
− x (x2 + 4x + 6) |
|
. Вторая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x4 |
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
производная нигде в нуль не обращается, в точке x = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вторая производная не существует. Имеем два интервала: |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(−∞, 0) и |
(0, ∞). В обоих интервалах производная y′′ > 0 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интервалы вогнутости. 7. График функции не пересекает осей координат. Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремум в точке (−2, e2 / 4) , точек перегиба нет.
8