Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

m1var02

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

698 Кб

Скачать

☆

Вариант № 2

Найти область определения функции : y = arccos

1− 2x

Область

определения

данной функции

определяется

неравенством

1− 2x

≤ 1.

Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля:

− 3 ≤ 1− 2x ≤ 3 . Из левого

неравенства находим − 4 ≤ −2x или

x ≤ 2. Из правого неравенства − 2x ≤ 2

или

x ≥ −1.

Объединяя результаты, получим: −1 ≤ x ≤ 2 . Ответ: x [−1, 2].

2. Построить график функции: y = x − 2 +

x2 − 4x + 4 .

Так

как

x2 − 4x + 4 = (x − 2)2

≥ 0

всегда,

то

данная

функция определена на всей числовой оси. Преобразуем

функцию:

y = x − 2 + x2 − 4x + 4 = x − 2 + (x − 2)2 = x − 2 +

x − 2

Таким образом, y =

2(x − 2),

если x ≥ 2,

если x < 2

Ответ: график представлен на рисунке.

3. Построить график функции: y = −arctg(2x −1).

Данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем функцию. Вынесем

за

скобки

множитель

y = −arctg[2(x −

)].

Последовательно

строим

сначала

у = arctg(x),

затем

у = −arctg(x)

( переворачивая

график

вокруг

оси

ОХ), затем

«сжимаем» график в два раза по оси ОХ и получаем у = −arctg(2x), затем сдвигаем график вправо по оси ОХ на величину 1/2. Ответ: построения представлены на рисунках (y – в радианах).

		2
		1
4	2	0	2	4
		1
		2

		2
		1
4	2	0	2	4
		1
		2

		2
		1
4	2	0	2	4
		1
		2

		2
		1
4	2	0	2	4
		1
		2

					x = tg t
4. Построить график функции:							.
					y = cos		−2 t
Исключим				параметр	t,	применяя		формулу
cos2 t =	1	.		Подставляя	это	во	вторую	формулу,


1	+ tg2t
получим:	y = 1		+ tg2t или y = 1+ x2 . Функция определена

на всей числовой оси. Ответ: график представлен на рисунке.

5. Построить график функции: ρ =	2	.

	1− cosϕ
Перейдём к декартовым	координатам.			Так		как
y = ρ sinϕ, x = ρ cosϕ , то x2 + y2 = ρ 2 , cosϕ			=		y
							.


					x2	+ y2
	1

		4
		2
2	1	0	1	2

Подставим

это

функцию:

x2 + y2 =

или

1 =

1− x / x2 + y2

x2 + y2 − x

Следовательно,

x2 + y2

− x = 2 или

x2 + y2 = 2 + x . Возведём

обе

части

в квадрат:

x2 + y2 = 4 + 4x + x2 . Окончательно, данная функция в декартовых координатах имеет

вид: x = y2 −1. Это парабола с вершиной в точке (-1;0), пересекающая ось ОY в точках 4

y1=−2 и y2=2. Ответ: график представлен на рисунке.

6. Вычислить предел: lim (3 − n)4 − (2 − n)4 . n→∞ (1− n)4 − (1+ n)4

Воспользуемся формулой бинома Ньютона (a + b)k = ∑Cki

aibk−i

, где Cki

i=0

i!(k − i)!

Получим: lim

(3 − n)4

− (2 − n)4

− (1+ n)4

n→∞ (1− n)4

= lim

81−108n

+ 54n2

−12n

3 + n4

− (16 − 32n + 24n

2 − 8n3 + n4 )

= lim

65 − 76n + 30n2 −

4n3

1− 4n + 6n2

− 4n3

+ n4 − (1+ 4n + 6n2 + 4n3 + n4 )

− 8n −

8n3

n→∞

= lim

65/ n3 − 76/ n2 + 30/ n − 4

− 4

− n)4 − (2

− n)4

− 8

. Ответ:

lim

− 8/ n2 − 8

− n)4 − (1

+ n)4

n→∞

n→∞ (1

7. Вычислить предел: lim

x3 − 5x2 + 7x

− 3

(неопределённость вида (0/0)).

(x −1)2

x→1

Разлагаем числитель на простые множители: lim

x3 − 5x2 + 7x − 3

(x −1)

x→1

= lim

x2 (x −1) − 4x(x −1) + 3(x −1)

= lim

x2− 4x + 3

= lim

(x−1)(x − 3)

= lim(x − 3) = −2 .

(x −1)

x −1

x→1

(x −1)

x→1

Ответ: lim

− 5x2 + 7x − 3

= −2 .

(x −1)2

x→1

8. Вычислить предел: lim

1− x

−

(неопределённость вида (0/0)).

x→−8

2 + 3

Умножаем

числитель

знаменатель

на

сопряжённое

выражение:

− x −3

= lim

( 1− x −3)(

1− x +3)

(x + 8)

+ 8)

= lim

= − lim

lim

x→−8 2

+ 3 x

x→−8 (2 + 3 x)( 1− x + 3)

x→−8 1

− x + 3 x→−8 2+ 3 x

6 x→−8 2 + 3 x

. Числитель разложим на множители как сумму кубов двух чисел. Получим:

− x − 3

+ 3 x)(4 − 23 x + 3 x2 )

lim

= −

lim

= −

lim(4 − 23 x + 3

x2 ) = −

= −2 .

x→−8 2

+ 3 x

x→−8

2 + 3 x

x→−8

Ответ: lim

1− x

−

= −2 .

x→−8

2 + 3

9. Вычислить предел: lim

1− cos3x

(неопределённость вида (0/0)).

x→2π

sin2 7x

Воспользуемся формулой 1− cos3t = 2sin2

и первым замечательным пределом:

lim

sint

= 1:

t→0

1− cos3x

x − 2π = t, x = t + 2π ,

cos3x = cos[3(t + 2π )] = cos3t,

− cos3t

lim

sin 7x = sin[7(t + 2π )]

= sin 7t, если

x → 2π , то t → 0

= lim

sin2 7x

sin2 7t

x→2π

t→0

2 3t

3t 2

2sin

sin

= lim

= 2

lim

t→0 sin2 7t

t→0

49 t→0

sin 7t

Ответ: lim

1− cos3x

x→2π

sin2 7x

	9	1		sin 7t −2
=			lim
=			lim
	2	49	t→0	7t

	2n + 3	n+1		∞
10. Вычислить предел: lim			(неопределённость вида (1		)).
10. Вычислить предел: lim	2n +1		(неопределённость вида (1		)).
n→∞	2n +1

= 9 98

1 z

= e:

Приведём

предел

ко

второму

замечательному

пределу:

lim 1+

z→∞

2n + 3 n+1

+1+

2 n+1

lim

= lim

= lim 1+

n→∞

2n +1

n→∞ 2n +1

n→∞

2n +1

1 t+1/ 2

1 1/ 2

= e

, если n → ∞, то t → ∞, n = t −1/ 2

= lim 1+

lim 1

2n +1 t

t→∞

2n + 3 n+1

= e .

. Ответ: lim

n→∞

2n +1

11. Вычислить предел: lim

x2 − x +1 −1

(неопределённость вида (0/0)).

x→1

ln x

Умножим и поделим на сопряжённое к числителю выражение: lim

x2 − x +1

−1

x→1

ln x

lim

(

− x +1 −1)( x2

− x +1 +1)

= lim

− x

= lim

lim

x −1

x→1

[

x2 − x +1 +1]ln x

x→1 [

x2 − x +1 +1]ln x

x→1 x2 − x +1 +1 x→1

ln x

lim

x −1

x −1 = t, x = t +1,

lim

= | ln(t+1)~t |=

если x → 1,

то t → 0

+1)

x→1

ln x

t→0 ln(t

Ответ: lim

− x +1 −1

x→1

ln x

12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: y = −3x2 −9 . Область определения – все действительные числа, кроме x=−3 и x=3. В точках x=−3

и x=3 функция имеет разрывы, во всех других точках является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в окрестности точек разрыва:

	2			2
lim	− 3x2 −9	= −3∞ = −∞,	lim	− 3x2 −9	= −3−∞ = 0,
x→−3−0			x→−3+0
x→−3−0			x→−3+0
					6	3	0	3	6
							0.5
							1
					3
							1.5
							2

lim

− 3x2 −9

= −3−∞

= 0,

lim

− 3x2 −9

= −3∞ = ∞ . Таким образом, в точках x=−3 и x=3

x→3−0

x→3+0

имеют место бесконечные разрывы второго рода. Для построения эскиза графика функции

		2				2
рассмотрим поведение функции в бесконечности: lim	− 3x2 −9		=	lim	− 3x2 −9		= −30	= −1.
x→−∞				x→+∞

Ответ: В точках x=−3 и x=3 функция имеет разрывы второго рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика:

x2 +1,	x ≤ 1,
	< x ≤ 3, .
y = 2x2 , 1	< x ≤ 3, .
x + 2,	x > 3.

Область определения функции: x (−∞,∞) . Ось ОХ разбивается на три интервала, на каждом из которых функция f(x) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точками разрыва могут быть только точки, разделяющие интервалы. Вычислим односторонние пределы:

lim	f (x) = lim (x2 +1) = 2,		lim	f (x) = lim 2x = 2,
x→1−0	x→1−0		x→1+0	x→1+0
lim	f (x) = lim 2x = 6,	lim	f (x) = lim (x + 2) = 5.		Таким
x→3−0	x→3−0	x→3+0		x→3+0

образом, в точке x=1 функция непрерывна, а в точке x=3 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке x=2 равна (−1).

Ответ: В точке x=3 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

14. Исходя из определения производной, найти f ′(0):

f (x) = sin xcos 5 , x ≠ 0, f (0) = 0. x

1 0 1 2 3 4

По определению f ′(x0) =lim

f (x0 +

x) − f (x0 )

. Заменим

x на x-x0:

x→0

f ′(x

) = lim

f (x) − f (x0 )

. Но

= 0,

f (x

) = 0 , поэтому

f ′(0) = lim

f (x)

. В данном

x→x0

x − x0

x→0

sin xcos

случае f ′(0) = lim

= lim

sin x

limcos

= limcos

. Этот предел не существует,

x→0

x x→0

следовательно, не существует и производная в точке x0 = 0 . Ответ: f ′(0)

не существует.

15.

Найти

производную

показательно-степенной

функции:

y = (sin x)5ex .

Прологарифмируем функцию: ln y = 5ex lnsin x . Берём производную, как производную

неявной функции: y′ = 5ex lnsin x + 5ex ctgx = 5ex (lnsin x + ctgx) . Подставляем сюда y: y

y′ = 5ex (sin x)5ex (lnsin x + ctgx) . Ответ: y′ = 5ex (sin x)5ex (lnsin x + ctgx) .

16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить y′xx′ :

3 cost

= sint

Уравнения

касательной

нормали

кривой

y = f (x)

имеют

вид

y = y0

+ y′x (x0 ) (x − x0 )

y = y0

− (1/ y′x (x0 )) (x − x0 ) ,

где

- координаты точки касания. Вычислим

сначала эти координаты:

= x(π ) =

3 1=

3 ,

= y(π ) =

3 .

Найдём

y′

y′′ :

y′

= yt′

= −

cost

= − ctg t .

производные

xt′

3sint

Тогда

y′

(π ) = −

ctg(π ) = − 1 .

Далее,

y′′

= (yt′)′t

= −

следовательно,

x′

3sin3 t

y′′

= −

= − 8

3 .

Таким

образом,

уравнение

касательной

3 (

3)3

y =

3 / 2 − (1/3) (x −

3 / 2),

уравнение

нормали

y =

3 / 2 + 3 (x −

3 / 2).

Или

x + 3y − 2 3 = 0 и 3x − y − 3 = 0 .

касательная

x + 3y − 2 3 = 0

Ответ: (x0

, y0 ) =

, y′x (x0 )

= −

, y′x′(x0 ) =

− y −

3 = 0

нормаль

17. Функция y(x), заданная неявно уравнением

4y /π − tg(x2

+ y) = 0, принимает в точке

= 0 значение

= π / 4. Найти

y′

, y′′

, y′ (x

), y′′

) .

Дифференцируем уравнение по x, предполагая, что y= y(x):

4y′ −

2x + y′

= 0 .

cos2 (x2 + y)

Из

этого равенства находим:

y′ =

2πx

Находим

4cos2 (x2 + y) − π

2 + 2cos2(x2 + y) − π

вторую производную:

y′′ =

2π (4cos2 (x2 + y) − π ) + 2πx 8cos(x2

+ y)sin(x2

+ y)(2x + y′)

(4cos2 (x2 + y) − π )2

Или

y′′ =

2π (4cos2 (x2

+ y) − π ) + 8πx(2x + y′) sin 2(x2

+ y)

. Вычислим

производные

в точке

(4cos2 (x2

+ y) − π )2

= 0 : y′(0) = 0,

y′′(0) =

2π

. Ответ: y′ =

2πx

2 − π

2 + 2cos2(x2

+ y) − π

y′′ =

2π (4cos2 (x2

+ y) − π ) + 8πx(2x + y′) sin 2(x2

+ y)

y′(0) = 0, y′′(0) =

2π

(4cos2 (x2

+ y) − π )2

2 − π

18.

Вычислить

приближённое

значение

функции

заданной

точке

помощью

дифференциала:

y =

x +

5 − x2

, x = 0,98.

По определению дифференциала y(x0

x) = y(x0 ) + dy(x0 ) + o( x) или, в других

обозначениях,

y(x) = y(x0 ) + dy(x0 ) + o((x − x0 )), x = dx = x − x0 .

Отсюда

получаем

формулу для приближённых вычислений: y(x) ≈ y(x0 ) + y′(x0 )(x − x0 ). В данном случае

= 1, y(x

) = y(1) = 1,5,

y′ =

(1−

), y′(x

) =

y′(1) = 0,25,

x = −0,02.

Тогда

5 − x2

y(0,98) ≈ 1,5 − 0,25 0,02 = 1,495 . Ответ: y ≈ 1,495

19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя:

lim (sin x)tg2x .

x→π / 2

Это

неопределённость

вида

(1∞).

Преобразуем

предел:

lim (sin x)tg2x

= lim etg

lim tg2x lnsin x

x lnsin x = ex→π / 2

Найдём

предел

показателе

степени:

x→π / 2

lim

lnsin x

= lim

lnsin x

= lim

[lnsin x]′

= − lim

cos x

= .

[ctg2 x]′

x→π / 2

tg−2 x

x→π / 2

ctg2 x

x→π / 2

x→π / 2 sin x (2ctg x)sin−2 x

= − lim

sin2 x

= −

Следовательно,

lim (sin x)tg2x

= e−1/ 2 . Ответ: lim (sin x)tg2x

= e−1/ 2 .

x→π / 2

20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: lim(e

x )/ x2 .

x→∞

)′

Это неопределённость вида (∞/∞): lim

= lim

e x

lim

e x

x→∞ x

x→∞ (x2 )′

x→∞ 2 x

2x 4 x→∞ x3/ 2

∞

e x

∞

e x 2 x

lim

∞

4 x→∞ 2 x 3x1/ 2

12 x→∞ x

∞

24 x→∞ x

∞

24 x→∞ 2 x

= ∞ .Ответ: lim(e

= ∞ .

lime x

x ) / x2

24 x→∞

x→∞

21.

Многочлен

по

степеням

x представить

виде

многочлена по степеням (x − x0 ) :

f (x) = x4 + 2x2 − x − 3, x

= −2 .

Запишем

формулу

Тейлора

для

многочлена

четвёртой

степени:

f (x) = f (x

) + f

′(x

)(x − x

) +

f ′′(x0 )

(x − x

f ′′′(x0 )

(x − x

f (4) (x0 )

(x − x

)4 .

Найдём все производные:

f ′(x) = 4x3 + 4x −1, f ′′(x) = 12x2

+ 4,

f ′′′(x) = 24x ,

f (4) (x) = 24 .

Тогда f (−2) = 23,

f ′(−2) = −41, f ′′(−2) = 52,

f ′′′(−2) = −48, f (4) (−2) = 24 . Подставив это в

формулу, получим: f (x) = 23 − 41(x + 2) + 26(x + 2)2 − 8(x + 2)3 + (x + 2)4 .

Ответ: f (x) = 23 − 41(x + 2) + 26(x + 2)2 − 8(x + 2)3 + (x + 2)4 .

22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию

f (x) в окрестности точки x0 с

точностью до o((x − x

)3 ) :

f (x) = (ex +1)−2 ,

= ln 2 .

Применяем формулу Тейлора:

f (x) = f

) + f

′(x

)(x − x

) +

f ′′(x0 )

(x − x

f ′′′(x0 )

(x − x

+ o((x − x

)3 ) .

Вычисляем последовательно: f (ln 2) =

f ′(x) = −2(ex +1)−3 ex ,

f ′(ln 2) = −

f ′′(x) = 6(ex +1)−4 e2x

− 2(ex

+1)−3 ex = 2(ex +1)−4 ex[2ex

−1],

f ′′(ln 2) = 4/ 27,

f ′′′(x) = −8(ex +1)−5 e2x [2ex −1] + 2(ex

+1)−4 ex[2ex −1]+ 4(ex

+1)−4 e2x ,

f ′′′(ln 2) = −4 /81.

Ответ: f (x) =

−

(x − ln 2) +

(x − ln 2)2 −

(x − ln 2)3 + o((x − ln 2)3 )

243

23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора:

f (x) = 6sin(x − 2) + x3 − 6x2 + 6x + 4, x	0	= 2 .
	0
Найдём значение функции и её первых пяти производных в заданной точке:
f (2) = 0, f ′(x) = 6cos(x − 2) + 3x2 −12x + 6, f ′(2) = 0,
f ′′(x) = −6sin(x − 2) + 6x −12, f ′′(2) = 0, f ′′′(x) = −6cos(x −			2) + 6,	f ′′′(2) = 0,
f (4) (x) = 6sin(x − 2), f (4) (2) = 0, f (5) (x) = 6cos(x − 2), f (5)			(2) = 6.	По формуле Тейлора

f (x) = (x − 2)5 / 20 + o((x − 2)5 ). Ответ: В окрестности точки (2, 0) функция ведёт себя как

степенная

функция

пятой степени. Точка (2, 0) является точкой перегиба: слева –

интервал выпуклости, справа – интервал вогнутости.

cos2 x − e

−x2

24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

x→0

По формуле Тейлора e−x2

= 1+ (−x2 ) +

(−x2 )2

(−x2 )3 + o((−x2 )3 ) =

= 1− x2 +

x4 −

x6 + o(x6 ) . Аналогично, cos2 x =

(1+ cos2x) =

[1+ (1−

(2x)2 +

cos2

x − e

−x2

(2x)4 + o((2x)4 ))]

= 1− x2

x4 + o((2x)4 ). Подставим это в предел: lim

x→0

1− x2 +

x4 + o(x4 ) − (1− x2 +

x4 + o(x4 ))

x4 −

x4 + o(x4 ))

lim

= lim

= −

x→0

e−x2 − cos(

Ответ: lim

2x)

x→0

25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: y =

x3 − 4x

3x2

− 4

Область определения функции: x (−∞, − 2/ 3) (2/

3, ∞) . Функция непрерывна

в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в граничных точках

области определения: lim

x3 − 4x

= ∞,

lim

− 4x

= −∞,

x→−2 /

−0 3x2 − 4

x→−2 /

+0 3x2 − 4

− 4x

x3 − 4x

lim

= ∞,

lim

= −∞ .

Отсюда следует,

что прямые

x = −2 3 и

−

− 4

x→2 /

−0 3x2

x→2 /

+0 3x2

x = 2 3

являются

вертикальными асимптотами. Исследуем

функцию

при x → ±∞ :

x3 − 4x

− 4x

lim

= lim (

x +

) = −∞,

lim

= lim (

x +

) = ∞ . Из этого

3(3x2 −

x→−∞ 3x2 − 4

x→−∞ 3

x→+∞ 3x2 − 4

x→+∞ 3

3(3x2 − 4)

следует, что имеется наклонная асимптота y = kx + b , где k=1/3. Действительно,

k = lim

(x)

= lim

x3 −

lim

x3 −

. Тогда

− 4)

x→−∞

x→−∞ x(3x2

x→+∞ x(3x2

− 4)

b = lim( f (x) − kx) = lim(			x3 − 4x	−	1	x) =

x→∞		x→∞ 3x2 − 4			3
lim	3(x3	− 4x) − 3x3 + 4x	= 0 .	Таким образом, прямая
		3(3x2 − 4)
x→+∞
y = x /3		является наклонной		асимптотой. Ответ: Эскиз
графика представлен на рисунке.
					7

		6
		3
6	3	0	3	6
		3
		6

26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график: y = e− x / x2 . 1. Область определения: x (−∞, 0) (0, ∞). 2. Чётность, нечётность, периодичность

отсутствуют. 3. Функция непрерывна во всех точках области определения. Точка x = 0 является точкой разрыва второго рода. Исследуем поведение функции в окрестности

точки разрыва: lim

e−x

= lim

e− x

= ∞ . Прямая x = 0 является вертикальной асимптотой.

x→0+0 x2

−x

− e− x

e− x

4. Исследуем асимптотическое поведение функции: lim

= lim

= ∞ ,

x→−∞ x2

x→−∞

e−x

− e−x

e− x

lim

= lim

= 0 , следовательно, прямая

y = 0 является горизонтальной

x→+∞ x2

x→+∞

асимптотой. Наклонных асимптот нет. 5. Первая производная y′ =

− e− x x2 − 2xe− x

=− e− x (x + 2) . Производная обращается в нуль в точке x = −2, в точке x = 0 производная x3

не существует. В интервале (−∞,− 2) y′ < 0 - функция монотонно убывает, в интервале

(−2,0) y′ > 0 - функция монотонно возрастает, в интервале (0,∞)

y′ < 0 - функция

монотонно убывает. Следовательно, в точке x = −2 имеет место минимум функции,

e−x (x + 2)

′

причём y

= y(−2) = e2

/ 4. 6. y′′ =

−

min

= −

[−e− x (x + 2) + e−x ]x3 − 3x2e−x (x + 2)

e− x[(x +1)x + 3x + 6]

− x (x2 + 4x + 6)

. Вторая

производная нигде в нуль не обращается, в точке x = 0

вторая производная не существует. Имеем два интервала:

(−∞, 0) и

(0, ∞). В обоих интервалах производная y′′ > 0 -

интервалы вогнутости. 7. График функции не пересекает осей координат. Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремум в точке (−2, e2 / 4) , точек перегиба нет.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.2015465 Кб11LR1_Informatika.doc
#
01.07.2025431 Кб0LR1.docx
#
01.07.2025417 Кб0LR1.docx
#
24.09.2019582 Кб28Lyubimaya.docx
#
27.03.2015788 Кб18m1var01.pdf
#
27.03.2015698 Кб24m1var02.pdf
#
27.03.2015688 Кб16m1var03.pdf
#
27.03.2015684 Кб14m1var09.pdf
#
27.03.2015691 Кб14m1var10.pdf
#
27.03.2015676 Кб23m1var14.pdf
#
27.03.2015682 Кб14m1var16.pdf