1.1 Кубиты

Идея квантовых вычислений состоит в том, что квантовая система из L двухуровневых квантовых элементов (квантовых битов, кубитов) имеет 2^L линейно независимых состояний, а значит, вследствие принципа квантовой суперпозиции, пространство состояний такого квантового регистра является 2^L-мерным гильбертовым пространством. Операция в квантовых вычислениях соответствует повороту вектора состояния регистра в этом пространстве. Таким образом, квантовое вычислительное устройство размеромL кубит фактически задействует одновременно 2^L классических состояний.

Физическими системами, реализующими кубиты, могут быть любые объекты, имеющие два квантовых состояния: поляризационные состояния фотонов, электронные состояния изолированныхатомовилиионов,спиновыесостояния ядер атомов, и т. д.

Один классический бит может находиться в одном и только в одном из состояний или. Квантовый бит, называемый кубитом, находится в состоянии, так что |a|² и |b|² — вероятности получить 0 или 1 соответственно при измерении этого состояния; ; |a|² + |b|² = 1. Сразу после измерения кубит переходит в базовое квантовое состояние, соответствующее классическому результату.

Пример:

Имеется кубит в квантовом состоянии 

В этом случае, вероятность получить при измерении составляет:

(4/5)²=16/25=64 %,

(-3/5)²=9/25=36 %.

В данном случае, при измерении мы получили 0 с 64 % вероятностью.

В результате измерения кубит переходит в новое квантовое состояние , то есть, при следующем измерении этого кубита мы получим 0 со стопроцентной вероятностью (предполагается, что по умолчанию унитарная операция тождественна; в реальных системах это не всегда так).

Приведем для объяснения два примера из квантовой механики: 1) фотон находится в состоянии суперпозиции двух поляризаций. Это состояние есть вектор в двумерной плоскости, систему координат в которой можно представлять как две перпендикулярные оси, так чтоиесть проекциина эти оси; измерение раз и навсегда коллапсирует состояние фотона в одно из состоянийили, причём вероятность коллапса равна квадрату соответствующей проекции. Полная вероятность получается потеореме Пифагора.

Перейдем к системе из двух кубитов. Измерение каждого из них может дать 0 или 1. Поэтому у системы есть 4 классических состояния: 00, 01, 10 и 11. Аналогичные им базовые квантовые состояния: . И наконец, общее квантовое состояние системы имеет вид. Теперь |a|² — вероятность измерить 00 и т. д. Отметим, что |a|²+|b|²+|c|²+|d|²=1 как полная вероятность.

Если мы измерим только первый кубит квантовой системы, находящейся в состоянии , у нас получится:

1. С вероятностью первый кубит перейдет в состояниеа второй — в состояние, а

2. С вероятностью первый кубит перейдет в состояниеа второй — в состояние.

В первом случае измерение даст состояние , во втором — состояние

Мы снова видим, что результат такого измерения невозможно записать как вектор в гильбертовом пространствесостояний. Такое состояние, в котором участвует наше незнание о том, какой же результат получится на первом кубите, называют смешанным состоянием. В нашем случае такое смешанное состояние называют проекцией исходного состоянияна второй кубит, и записывают в виде матрицы плотности видагде матрица плотности состоянияопределяется как.

В общем случае системы из L кубитов, у неё 2^L классических состояний (00000…(L-нулей), …00001(L-цифр), … , 11111…(L-единиц)), каждое из которых может быть измерено с вероятностями 0—100 %.

Таким образом, одна операция над группой кубитов затрагивает все значения, которые она может принимать, в отличие от классического бита. Это и обеспечивает беспрецедентный параллелизм вычислений.