Условие нормировки

,

использован бином Ньютона

.

Среднее число частиц в объеме V

.

Замена и бином Ньютона дают

=

=.

Результат

(1.15)

очевиден, поскольку – средняя концентрация.

Из (1.15) вероятность признака у одного элемента

. (1.16)

Из (1.14) получаем – если в некотором состоянии наблюдается в среднем частиц, то вероятность наблюденияn частиц равна

, (1.17)

причем

, (1.17а)

. (1.17б)

График распределения

а б

Распределения биномиальное (а) и Пуассона (б)для N = 10, , р = 0,45

Распределение Пуассона

При малой вероятности наблюдения в некотором состоянии одной частицы и при большом числе частиц вероятность найти n частиц, если в среднем их , равна

. (1.18)

Распределение следует из биномиального распределения, его получил Симеон Дени Пуассон в 1837 г.

Доказательство:

Записываем биномиальное распределение (1.17)

,

учтено

.

При используем

,

,

,

и получаем (1.18).

Условие нормировки

,

где

.

Частные и рекуррентные соотношения

,

,

,

. (1.18а)

График распределения

а б

Распределения биномиальное (а) и Пуассона (б)для N = 10, , р = 0,45

При вероятность монотонно уменьшается с увеличением n.

нормальное распределение Гаусса

При и относительно малом отклонении от среднего выполняется нормальное распределение

. (1.19)

Распределение получил Карл Фридрих Гаусс в 1809 г.

Доказательство:

Распределение Пуассона

логарифмируем

.

Используем формулу Стирлинга

,

,

тогда

.

Используя

, ,

разлагаем в ряд

.

В результате

.

Заменяя и потенцируя, получаем (1.19).

Условие нормировки

На основании считаем n квазинепрерывным, тогда

,

Условие нормировки получает вид

,

где ;, поскольку,;

.

Среднее значение

,

,

,

где .

Дисперсия

,

где учтено

.

В результате

. (1.20)

Из (1.19) и (1.20) плотность вероятности

. (1.21)

Распределение Гаусса,

Распределение Гаусса в пределе бесконечно малой дисперсии является дельта-функцией

. (1.21а)

Это следует из (1.21) и

Центральная предельная теорема – при суммировании большого числа независимых случайных величин, имеющих различные распределения, результирующее распределение близко к распределению Гаусса.

Теорему доказал Александр Михайлович Ляпунов в 1901 г.

Теорема обосновывает применимость нормального распределения к многочисленным случайным процессам.

Производящая функция

Для дискретного распределения случайной величиныn ()производящая функция

, (1.22)

где |x|  1. Функция распределения

. (1.23)