Статистическая физика Основные положения

1. Объект изучения – равновесный идеальный газ из независимых частиц, находящихся в объемеV в термодинамическом равновесии:

газ атомов или молекул;

электроны в металле;

электроны и дырки в полупроводнике;

тепловое излучение в полости;

фононы в кристалле.

2. Основное понятие – микросостояние системы – совокупность координат и импульсов всех частиц. Движение каждой частицы описывается уравнением Гамильтона.

3. Для исследования микросостояний используется фазовое пространство с размерностью . Каждая точка пространства представляет микросостояние системы, т. е. учитывает положения в пространстве и импульсы всех частиц газа. С течением времени микросостояние изменяется и точка перемещается по фазовому пространству.

4. Система находится в стационарном макросостоянии, т. е. имеет определенные значения макрохарактеристик – температуры, энергии, давления, энтропии, намагниченности и др. Микрохарактеристики изменяются хаотически. Макрохарактеристика получается усреднением микрохарактеристик по фазовому пространству.

5. Задача – связать микросостояния с набором макрохарактеристик. Для этого используется функция распределения микросостояний по фазовому пространству. Функция получается методом Гиббса на основе теории вероятности.

6. Система, изолированная от окружающей среды, т. е. с фиксированной энергией и числом частиц описывается микроканоническим распределением.

7. Система с фиксированной температурой и числом частиц описывается каноническим распределением.

8. Система с фиксированной температурой и переменным числом частиц описывается большим каноническим распределением.

9. Система квантовых частиц с полуцелым спином описывается распределением Ферми–Дирака.

10. Система квантовых частиц с целым спином описывается распределением Бозе–Эйнштейна.

Основы теории вероятностей Вероятность случайного события

Событие – появление определенного признака. Вероятность признака – относительное число появлений признака.

Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r

изменяется с течением времени хаотически.

Событие – наблюдение определенной концентрации .

Если измерение проводится N раз и результат наблюдаетсяраз, товероятность результата

, (1.1)

.

Зависимость называетсяфункцией распределения вероятностей событий с определенным признаком.

Теорема 1. Сложение вероятностей несовместимых событий А₁, А₂,…, А_k, которые не могут произойти одновременно. Например, при бросании кости можно получить результат: или 1, или 2,… Вероятность сложного события с положительным исходом A или B

. (1.2)

Если (А₁, А₂,…, А_k) – полный набор возможных событий, то число измерений

.

Вероятность полного набора событий согласно (1.2) и (1.1)

,

где сделана замена порядка операций суммирования и взятия предела.

Нормировка вероятностей для полного набора событий

. (1.3)

Пример. Движения молекулы газа вдоль и против некоторой оси образуют полный набор независимых направлений движения

W(влево) + W(вправо) = 1.

Если гамильтониан изотропен, то все направления равноправные и

W(влево) = W(вправо) = 1/2.

Теорема 2. Умножение вероятностей независимых событий А₁, А₂,…, А_k, которые не влияют друг на друга. Вероятность сложного события А₁, и А₂,…, и А_k

. (1.4)

Пример. В объеме V₀, все точки которого равноправны, находится одна частица. Объем V₀ разбиваем на N одинаковых ячеек объемом . При обследовании всех ячеек, т.е. приизмерениях, положительный результат будет только в одной ячейке. Вероятность найти частицу в одной произвольной ячейке согласно (1.1)

. (1.4а)

Если в V₀ находится m независимых частиц, то вероятность, что весь газ окажется в объеме V, согласно (1.4) равен

. (1.4б)