22. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями.

Определение. Будем называть расстоянием от точки до плоскости минимальное расстояние от данной точки до точек m-плоскости.

Т.к. минимальное расстояние от данной точки до точек всякой прямой, лежащей на m-плоскости, является расстоянием от данной точки до основания перпендикуляра, опущенного из нее на прямую. Расстояние от точки до m-плоскости равно расстоянию от этой точки до основания перпендикуляра, опущенного из нее на m-плоскость.

Найдем расстояние от точки до плоскости, заданной уравнением (4). Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость имеет вид:(12). Подставим (12) в (4):.(13). Т.к. расстояние от точкидо произвольной точки плоскости равно(14). В частности расстояние до плоскости от начала системы равно (15). Когда вектор нормали единичный, формулу (14) можно записать, как (14’), а (15): (15’). В случае, когда вектор нормали единичный, абсолютная величина свободного члена в (4) равна расстоянию до плоскости.

Утверждение. Поскольку у параллельных плоскостей могут быть выбраны одни и те же направляющие векторы, то векторы нормали параллельных плоскостей коллинеарны. Расстояния от всех точек одной из двух параллельных плоскостей до другой из этих плоскостей равны. Действительно, расстояние от произвольной точкик плоскости, проведенной через точкупараллельно данной плоскости(4) с направляющими векторами, в силу(14) равно. Т.е. равно расстояниюот точкидо той же плоскости.

Определение. Будем называть число, равно этим расстояниям, расстоянием между двумя параллельными плоскостями.

Если уравнения двух плоскостей записаны в виде: (17), то расстояние между ними равно расстоянию от точки, лежащей на второй плоскости до первой. В силу соотношения(14), это расстояние равно, но т.к. точкалежит на второй плоскости, то векторудовлетворяет уравнению этой плоскости, т.е.. Получаем:(18).

23. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду с классификацией возможных типов типов в случае δ≠0

Зафиксируем на плоскости прямоугольную систему координат и рассмотрим общее уравнение второй степени.(1)

Def: Множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению 1 называют кривой второго порядка . Группу старших членов (2) можно рассматривать как квадратичную форму от координат (х,у) вектора х. Поскольку матрица А-симметрична, то  ортонормированный базис из собственных векторов а, в котором матрица квадратичной формы диагональна и вещественна. Пусть матрицаP=[p_ij] – матрица перехода от базиса е к базису. Тогда. Тогда(5). С учетом 5 запишем квадратичную форму 2. (6) Причем (легко выводится умножениемP^TAP). Следовательно в базисе квадратичная форма может быть записана в виде. ПосколькуP^TP=I, матрица Р – ортогональная и геометрически переходу от базиса к базису соответствует поворот на некоторый уголφ против часовой стрелки.. В силу справедливости 5,6 перепишем уравнение 1 в новых координатах.(10)

Положим (11). Тогда λ₁λ₂ =detD=det(P^TAP)=detP^T detA detP=detA.

Значит

Разделим случаи:

1)

(13). Причем:,,.

А) Предположим, что, то есть все λ одного знака, тогда геометрическое место точек координаты которых удовлетворяют условию 13 представляет собой:

1. Эллипс, если знак с противоположен знаку λ

2. «Мнимый эллипс», если знак с=знаку λ

3. точку, если с=0

В) Пусть, т.е.λ₁ и λ₂ разных знаков. Тогда 13 будет

a. уравнением гиперболы:, еслиc≠0

b. И пары пересекающихся прямых, если c=0

24. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду с классификацией возможных типов в случае δ=0

3. Пусть.Будем для определенности считать, что λ­₁=0, а λ₂≠0. Тогда уравнение 10 преобразуется к виду:. Полученное уравнение – уравнение параболы. Если жеb₁=0, то уравнение приводится к следующему виду:. Это уравнение:

   1. пары параллельных прямых, если сλ₂<0

   2. совпадающих прямых, если с=0

   3. «мнимых параллельных прямых», если cλ₂>0

24. Инварианты кривой второго порядка. Определение канонического уравнения кривой второго порядка по инвариантам.

Def: Инвариантой кривой называются функции коэффициентов уравнения кривой, которые не меняются при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой.

Теорема. Для кривой второго порядка,,являются инвариантами. В доказательстве рассматривается 2 случая: 1) параллельный перенос (производится замена переменных, открываются скобки, группируется ) 2) Поворот с использованием Р.(с помощью Р приводится к диагональнойD=P^TAP, а затем вычисляются инварианты от D)

Кривая эллиптического типа		- Эллипс
		- Эллипс
		Точка
Кривая гиперболического типа		Гипербола
		Пара пересекающихся прямых
		Парабола
		Пара параллельных прямых

24. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду с классификацией типов в случае, когда все λ_i отличны от нуля.

В случае, когда все λ_i отличны от нуля. Поверхность, путем преобразования квадратичной формы с помощью матрицы перехода Р (как в кривых только для матрицы 3х3) и затем преобразования координат и приведения их к каноническому виду, преобразуется в следующий вид:. Тогда имеем следующее.

С<0	 λi>0		Эллипсоид
	λ1>0 λ2>0 λ3<0		Однополостной гиперболоид
	λ1<0 λ2<0 λ3>0		Двуполостной гиперболоид
	 λi<0		Мнимый эллипсоид
С>0	 λi одного знака		Мнимый конус
	λ1>0 λ2>0 λ3<0		Конус

27. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду с классификацией типов в случае, когда одно из λ_{i ­}равно нулю.

Пусть, для определенности, λ₃=0. Тогда уравнение поверхности примет вид: (4). Если в 4, то уравнение становится уравнением цилиндрической поверхности.(5). Снова будем считать, что с≤0, иначе умножим 5 на -1.

с<0	λ1>0 λ2>0		Эллиптический цилиндр
	λ1>0 λ2<0		Гиперболический цилиндр
	λ1<0 λ2<0		Мнимый эллиптический цилиндр
с>0	λi одного знака		Две мнимые пересекающиеся плоскости	Прямая х=0, y=0
	λi разных знаков
c<0	Если λi одного знака		Эллиптический параболоид
	Если разных знаков		Гиперболический параболоид

27. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду с классификацией типов в случае, когда два из λ_i равны нулю.

Пусть, тогда уравнение поверхности примет вид: (7). Это пара параллельных плоскостей, различных, когда λ₁C<0, совпадающих, когда C=0, мнимых, если λ₁C>0.

Если a₂ ≠ 0 или a₃≠0, делаем замену, полагая:,. Подставляя в 7 получаем:, где. Это кривая второго порядка на плоскости илипараболический цилиндр.

27. Доказать теорему о возможности расщепления пространства X, в котором действует линейный оператор, в прямую сумму корневых подпространств: X = ^(p1) ₊ ^(p2) _{+ … +} ^(pk)

Теорема 1: Пространство R можно разложить в прямую сумму инвариантных подпространств N₀^(p) и M^(p). При этом подпространство N₀^(p) состоит только их собственных и присоединенных векторов, отвечающих собственному значению λ=0, а в подпространстве M^(p) преобразование обратимо (т.е. λ=0 не является собственным значением преобразования A в подпространстве M^(p).

Доказательство: для доказательства первого утверждения нам достаточно показать, что пересечение подпространств N₀^(p) и M₀^(p) равно нулю. Допустим противное, т.е пусть существует вектор y≠0 такой, что yM^(p) и yN₀^(p). Так как yM^(p), то y=A^px.

Далее, так как yN₀^(p), то A^py=0

Но из равенств (8) и (9) следует, что существует такой вектор x, для которого A^px≠0 и в то же время A^2px = A^py = 0

Это значит, что x есть присоединенный вектор преобразования A с собственным значением λ=0, не принадлежащий подпространству N₀^(p) , что невозможно, так как N₀^(p) состоит из всех таких векторов.

Таким образом мы доказали, что пересечение N₀^(p) и M₀^(p) равно нулю. Так как сумма размерностей этих подпространств равна n (это ядро и образ преобразования A^p), то отсюда следует, что пространство R раскладывается в прямую сумму этих подпространств:

R = M^(p) N₀^(p)

Докажем теперь второе утверждение теоремы, т.е. что в подпространстве M^(p) преобразование A не имеет нулевого собственного значения. Действительно, если бы это было не так, то в M^(p) существовал бы вектор x≠0 такой, что A^px=0

Но это равенство означает, что xN₀^(p), т.е. является общим вектором M^(p) и N₀^(p), а мы доказали, что таким вектором может быть только нуль.

Теорема 2: Пусть преобразование A пространства R имеет k различных собственных значений λ₁,….,λ_k. Тогда R можно разложить в прямую сумму k инвариантных подпространств N_λ1^(p1),….,N_λk^(pk):

R = N_λ1^(p1) ….N_λk^(pk)

Каждое из подпространств N_λi^(pi) состоит только из собственных и присоединенных векторов, отвечающих собственному значению λ_i

Другими словами, для каждого i существует такое число p_i, что для всех xN_λi^(pi) :

(A-λ_iI) ^pi x = 0