Определение. Назовем число положительных и число отрицательныхкоэффициентов в каноническом виде квадратичной формы соответственноположительными и отрицательными индексами инерции:.

Определение. Если, то квадратичная форма называетсяневырожденной. Разность между положительными и отрицательными индексами инерции называется сигнатурой.

6. Определение и примеры линейных операторов. Действия с линейными операторами. Пространство линейных операторов.

Определение. Пусть Х и У – линейные пространства, заданные на одним и тем же полем F. Правило, по которому каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент, называетсяоператором или преобразованием. Результат применения оператора обозначают.

Определение. Запись значит, что оператор А действует из Х в У илиотображает Х в У. При этом Х называется областью определения оператора А, у – образом элемента х, а х – прообраз у.

Определение. Образ оператора А или область его значений это совокупность всех элементов таких, что:.

Определение. Оператор А с областью определения Х и областью значений У называется линейным оператором, если он линейной комбинацией прообразов ставит в соответствие линейную комбинацию образов..

Определение. Если, то линейный оператор называетсяоператором в Х.

Определение. Операторы А и В называются равными (А=В) тогда и только тогда, когда.

Определение. Суммой операторов А и В называется оператор С=А+В, если (1).

Если.

Эта операция коммутативна и ассоциативна:

1. ;

2. .

В существует нулевой элемент, который каждомуставит в соответствие. Рассмотрим:

3. ;

4. 

Введем операцию умножения оператора на число: (2). Покажем, что оператор С линейный.

Определение. Рассмотрим пространства Х, У и Z, заданные над одним и тем же полем F. Пусть называетсяпроизведением оператора В на А:. Если(3). Произведение линейных операторов также является линейным оператором:

.

Свойства:

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. .

7. Ядро и образ линейного оператора. Связь между дефектом, рангом и размерностью области определения линейного оператора. Обратный оператор. Невырожденный оператор.

Def: Оператор I  W_XX называется тождественным (единичным) Оператором, если Ix=x; хХ.

Def: Оператор B  W_XX называется обратным к А, если AB=BA=I (B=A^-1). Любой линейный оператор переводит θ->θ .

Def: R(A) ={y|y=Ax,xX}– образ А - подмножество Y, замкнутое относительно операций -> подпространство.

Def: Ранг оператора rgA = dimR(A)

Def: Множество всех х, для которых Ах=θ называется ядром оператора А. N(A)={x|xХ, Ax=θ}. Ядро есть подпространство в Х.

Def: Размерность ядра называется дефектом n_A=dimN(A).

Рассмотрим соотношение между rgA и n_A линейного оператора. Пусть А:X->Y. Разложим линейное пространство Х в прямую сумму N(A) + M_A, где M­_A-любое дополнительное подпространство. Значит для  х  Х справедливо единственное представление вида: x=x_n+x_m. x_n­ из ядра, x_m из доп. подпространства. Тогда y = Ax=A(x_n+x_m)=Ax­_n+Ax_m=Ax_m. То есть любой вектор из R(A) имеет хотя бы один прообраз из M_A. На самом деле он единственен. (Доказательство от противного (наличия у двух прообразов).

Таким образом мы установили взаимоднозначное соответствие между M_A и R(A). Можно доказать, что оно является изоморфизмом.

dimX=dimN(A)+dimM_A=n_A-rgA

Def: Линейный оператор А:Х->X называется невырожденным, если его ядро состоит только из θ, в противном случае – оператор вырожденный.

8. Определение и примеры нахождения матриц линейных операторов. Связь между координатами вектора – образа и вектора – прообраза. Изоморфизм пространства линейных операторов пространству прямоугольных матриц соответствующего размера.

Определение.

Пусть дан линейный оператор А:Х->Y, dimX=n. И некоторым базисом Х является e₁,...,e_n. dimY=m; g₁,...,g_m – базис Y. x=α₁e₁+...+α_ne_n . Ax= α₁Ae₁+...+α_nAe_n. Другими словами, лиейный оператор полностью определяется совокупностью образов Ae_i базисных векторов е. y  L(Ae₁,...,Ae_n). Ae_j – вектор, содержащийся в Y и значит его можно разложить по базису Y.(*) Ae_j=a_1jg₁+...+a_njg_n. Коэффициенты a_ij определяют некоторую матрицу, в которой n строчек и n столбцов. Эту матрицу назовем матрицей А в базисах e₁,...,e_n g₁,...,g_n. Столбцами матрицы оператора служат координаты векторов Ае­₁,...,Ае_n в базисе g. Для того, чтобы определить элемент a_ij нужно найти образ Ae_j­­ и взять его i-ую координату.

Связь между координатами образа и прообраза.

Рассмотрим произвольный вектор х  Х и его образ Ах.

(1)..

Тогда (2)y_g=A_gex_e

Таким образом, любой линейный оператор при фиксированных базисах пространств Х и Y порождает соотношение 2, связывающее координаты образа y_g b прообраза x_e.

---------По поводу изоморфизма в лекциях нет, но разбирали на практике-----------

9. Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах. Эквивалентные и подобные матрицы. Критерий эквивалентности двух матриц.

Пусть А:X->Y, dimX=n, dimY=m. e_i – I базис Х, f_i – II базис Х. g_i- I базис Y, h_i – II базис Y. P – матрица перехода от е к f, Q – матрица перехода от g к h. Возьмем произвольный х  Х и разложим его по векторам обоих базисов. x=α₁e₁+...+α_ne_n=β₁f₁+...+β_mf_m=β₁(p₁₁e₁+...+p_n1e₁)+ ... +β_m(p_1me₁+...+p_nme₁)=e₁(p₁₁β₁+...+p_­1nβ_n)+...+e_n(p_n1β₁+...+p_nnβ_n)..(3)x_e=Px_f. матрица Р невырождена, т.к. в противном случае имела бы место линейная зависимость между ее столбцами и следовательно между f₁...f_n. Пусть (4)y_g=A_gex_e, (5)y_n=A_hfx_f, A_ge и A_hf – матрицы оператора А в базисах е,g и f,h соответственно. То есть (6)y_g=Q_yh, где Q-матрица перехода g->h. y_h=Q^-1y_g; y_g=Q^-1A_ge­x_e=Q^-1A­_geP_xf=A_hfx_f. (7)=Q^-1A_geP. Если А: X->X. A_ff=P^-1A­_eeP

Эквивалентные и подобные матрицы.

Def: 2 прямоугольные матрицы А,В одинаковой размерности называются эквивалентными, если  2 невырожденных квадратных матрицы R и S, что B=RAS

Из соотношения 7 |-> две матрицы, соответствующие одному и тому же линейному оператору, эквивалентны между собой. Справедливо и обратное: если А отвечает некоторому оператору А в базисах Х и Y, а матрица В эквивалентна А, то она отвечает тому же линейному опреаторув некоторых других базисах Х и Y.

Теорема. Критерий эквивалентности двух матриц.

Для того, чтобы две прямоугольные матрицы одинаковых размеров были эквивалентными  чтобы они имели один и тот же ранг.

Доказательство : -> Ранг произведения двух матриц не превосходит ранга любой из них. При умножении какой-либо матрицы на невырожденную матрицу ранг ее не меняется, поэтому эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг. Можно показать и обратное, что матрицы одинаковых рангов эквивалентны между собой. Мы докажем, что всякая матрица ранга r эквивалентна I_r(единичной матрице размерности r). Пусть дана прямоугольная матрица размера nxm . Она определяет некоторый линейный оператор А, отображающий пространство Х с базисом е в пространство Y с базисом g. Обозначим через r число линейно независимых векторов среди образов векторов базиса Ae₁,...,Ae_n. Не нарушая общности можно считать, что линейно независимыми являются векторы Ae₁,...,Ae_r. Остальные векторы выражаются через них. Определим новый базис следующим образом:. Тогда, если мы возьмем и рассмотрим образi-го базисного вектора f, то Afi=θ для  i=r+1,n. Векторы h1...hr – линейно независимы, а это векторы из Y. Дополним их некоторыми векторами h_r+1,...,h­­_m До базиса в линейном пространстве Y. И рассмотрим матрицу оператора А в новых базисах f₁...f_n и h₁...h_m. Коэффициенты i-го столбца этой матрицы совпадает с коэффициентами вектора Af_i в базисе h . Согласно соотношениям матрица А будет совпадать с матрицей I_r. Т.к. А и Ir соответствуют одному и тому же оператору, то они эквивалентны.

Def: А называется подобной матрице B если существует такая невырожденная матрица P, что A=P^-1BP. 1) Если А подобна В, то В подобна А. 2)Если А подобна В, а В подобна С, то А подобна С. Поскольку признак подобия удовлетворяет условиям рефлексивности, симметричности и транзитивности, он является отношением эквивалентности.

10. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Доказать, что в комплексном линейном пространстве всякий линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор.

Def: Подпространство L линейного пространства X называется инвариантным, относительно А, если для xL верно: AxL. Всякий линейный оператор имеет по крайней мере 2 тривиальных инвариантных подпространства: 1) Нулевое подпространство 2) Все пространство Х.

Пусть L₁ – одномерное подпространство, порожденное ненулевым вектором Х. Ясно, что для того, чтобы L₁ было инвариантным  Ax  L₁. Ax=λx;

Def: Вектор х ≠ θ, удовлетворяющий Ax=λx называется собственным вектором, а соответствующее ему число λ - собственным значением. Все отличные от нуля векторы инвариантного подпространства являются собственными.

Теорема. В комплексном линейном пространстве Х линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор.

Доказательство. Пусть в линейном пространстве Х выбран базис e₁,...,e_n . В этом базисе А соответствует матрица Ае=[a_ij]. Выберем произвольный х  Х. х = α₁e₁+...+ α_ne_n. А координаты β выражаются формулами:.. Переносим и группируем. Для доказательства теоремы нужо показать, что λ и числа α₁,...,α_n не все равные нулю, удовлетворяющие системе 2. Условием существования ненулевого решения системы 2 является равенство нулю ее определителя. det(A-λI)=0. Мы получили уравнение n-ой степени, относительно λ. Это уравнение имеет хотя бы один корень (в общем случае комплексный) λ₀­. Подставив в систему 2 вместо λ λ₀­ получим однородную СЛАУ с нулевым определителем, имеющую ненулевое решение. Тогда вектор х, удовлетворяющий этому решению будет собственным вектором, соответствующим собственному значению λ_0.

11. Доказать, что а) характеристический многочлен не зависит от выбора базиса; б) система собственных векторов, соответствующих попарно различным собственным значениям, линейно независима; в) собственные векторы линейного оператора, соответствующие одному собственному значению, вместе с нулевым вектором образуют подпространство. Связь между линейными операторами и билинейными формами в унитарном пространстве.

Определение. Многочлен, стоящий в левой части уравнения называетсяхарактеристическим многочленом матрицы оператора А, а само уравнение называет характеристическим или вековым уравнением этой матрицы.

Теорема 2. Характеристический многочлен не зависит от выбора базиса.

Доказательство. Зафиксируем в пространстве Х некоторый базис и обозначим черезматрицу оператора А в этом базисе. Пусть в некотором базисеоператор имеет матрицу. Тогда.

Теорема 3. Если линейный оператор А имеет n линейно независимых векторов (является оператором простой структуры), то, выбрав их в качестве базиса линейного пространства, мы приведем матрицу линейного оператора к диагональной форме. Обратно, если в некотором базисе матрица линейного оператора диагональна, то все векторы этого базиса являются собственными векторами.

Доказательство. Пусть А – линейный оператор, который имеет n линейно независимых векторов, где и пусть- его линейно независимые собственные векторы:. Выберем, как базис Х. В этом базисе матрица оператора будет диагональной, на диагонали будут собственные значения.

Теорема 4. Система собственных векторов, соответствующая попарно различным собственным значениям, линейно независима.

Доказательство. (через математическую индукцию).

1. n=1. Т.е.. Теорема верна.

2. Пусть теорема верна для n-1 векторов, т.е. линейно независимы.

3. Докажем, что теорема верна для n векторов (от противного): (4) - не все коэффициенты в этой линейной комбинации ненулевые. Пусть.. Имеем нулевую комбинацию линейно независимых векторов, а значит и противоречие.

Теорема 5. Если характеристический многочлен линейного оператора А имеет n различных корней, то матрица линейного оператора А может быть приведена к диагональной форме.

Доказательство. Каждому корню характеристического уравнения отвечает хотя один собственный вектор. Т.к. у этих собственных векторов собственные значения различны, то по теореме 4 мы имеемn линейно независимых векторов. Если эти векторы принять за базис, то матрица линейного оператора А в нем будет диагональной.

Теорема 6. Собственные векторы линейного оператора А, соответствующие собственному значению, вместе с нулевым вектором образуют подпространство пространства Х.

Доказательство. Пусть - два собственных вектора линейного оператора А, соответствующие одному собственному значению. Нужно показать, что- тоже собственный вектор:. Указанное подпространство, порожденное собственным значение, является ядром оператора.

Утверждение. Всякому линейному оператору А в линейном пространстве с определенным скалярным произведением отвечает билинейная форма, задаваемая соотношением:.

Проверка на корректность:

1. 

2. .

Проверка на однозначность:

Утверждение. Каждой билинейной форме в линейном пространстве со скалярным произведением отвечает линейный оператор А такой, что:.

12. Операция перехода от оператора A к сопряженному. Свойства операции. Нахождение матрицы сопряженного оператора в ортонормированном (ортогональном) базисе.

Нахождение матрицы сопряженного оператора в ортонормированном базисе. Пусть в линейном пространстве Х выбран ортонормированный базис и.

Матрица сопряженного оператора

Теорема 1. Формула (1) устанавливает в линейном пространстве со скалярным произведением взаимно однозначное соответствие между билинейными формами и линейными операторами. Связь между ними можно установить также другим способом. При этом матрица линейного оператораполучается из матрицы оператора А в ортонормированном базисе путем транспонирования и комплексного сопряжения ее элементов.

Определение. Оператор называетсясопряженным к линейному оператору А, если.

Свойства операции:

1. ; Доказательство.

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

13. Основные свойства самосопряженных операторов.

Определение. Линейный оператор А называется самосопряженным или эрмитовым, если.

Утверждения.

1. Для того, чтобы линейный оператор А был эрмитовым необходимо и достаточно, чтобы соответствующая ему билинейная форма была эрмитовой:.Доказательство. Необходимость.; Достаточность.

2. Всякий линейный оператор А может быть записан в виде.

Замечание. Пусть А и В – самосопряженные линейные операторы. Для того, чтобы оператор АВ был самосопряженным необходимо и достаточно, чтобы АВ=ВА, т.е. чтобы линейные операторы А и В были перестановочными.

Лемма 1. Собственные значения самосопряженного линейного оператора вещественные.

Доказательство. Пусть х – собственный вектор линейного оператора А и - его собственное значение:

Лемма 2. – самосопряженный линейный оператор, а е – его собственный вектор. Тогда совокупностьесть (n-1)-мерное подпространство, инвариантное относительно линейного оператора А.

Доказательство. Х, как ортогональное дополнение к есть (n-1)-мерное подпространство в Х. Покажем, что это подпространство инвариантно относительно оператора А:.

Теорема 1. Для любого самосопряженного линейного оператора в n-мерном унитарном пространстве существует n попарно ортогональных собственных векторов, соответствующие им собственные значения вещественны.

Доказательство. В Х существует хотя бы собственный вектор линейного оператора А. По лемме 2 совокупность векторов ортогональныхобразует (n-1)-мерное инвариантное подпространство. Будем рассматривать линейный оператор. Продолжая этот процесс, мы получим в результатеn попарно ортогональных собственных векторов. Согласно лемме 1, соответствующие собственные значения вещественны.

Теорема 2. А – самосопряженный линейный оператор в n-мерном унитарном пространстве, тогда существует ортогональный базис, в котором матрица линейного оператора А диагональна и вещественно. Верно и обратное.

Доказательство.

Необходимость. Выберем в качестве базиса построенные при доказательстве теоремы 1 собственные векторы и пронормируем их. В этом базисе матрица оператора имеет вид:(1).

Достаточность. Пусть матрица оператора А в ортонормированном базисе имеет вид (1). Итак, в ортонормированном базисе матрица получается из матрицы линейного оператора А транспонированием и заменой каждого элемента комплексным сопряжением. Проделав эти операции над матрицей вида(1), где все - вещественные, мы получим ту же матрицу, следовательно А исоответствует одна и та же матрица, т.е..

Теорема 3. Собственные векторы самосопряженного оператора, соответствующие различным собственным значениям, взаимно ортогональны.

Доказательство. Пусть у линейного оператора А имеются

Определение. Матрица называетсяэрмитовой, если.

Теорема 4. Для того, чтобы линейный оператор А был самосопряженным необходимо и достаточно, чтобы его матрица была эрмитовой.

Теорема 5. Пусть в n-мерном унитарном пространстве Х задана эрмитова билинейная форма. Тогда в Х существует ортонормированный базис, в котором соответствующая билинейная квадратичная форма, записывается в виде: - координаты Х.

Доказательство. Пусть - эрмитова билинейная форма, т.е.. Тогда существует самосопряженный линейный оператор А такой, что. Выберем в качестве базиса Х ортонормированную систему собственных векторов самосопряженного линейного оператора А (по теореме 1). Тогда.

.