33. Доказать, что нормальная диагональная форма λ – матрицы определяется однозначно.

Теорема: Нормальная диагональная форма данной λ-матрицы A(λ) определяется по ней однозначно. Если D_k(λ) (k=2,3,…,r) – наибольший общий делитель миноров k-го порядка матрицы A(λ), а D_r+1(λ) = … = D_n(λ) = 0, то элементы нормальной диагональной формы определяются по формулам

E_k(λ) = (k=1,2,…,r)

E_r+1(λ) = E_r+2(λ) = … = E_n(λ) = 0

Доказательство: Мы показали, что при элементарных преобразованиях многочлены D_k(λ) не меняются. Поэтому, если матрица A(λ) эквивалентна диагональной нормальной матрице, то D_k(λ) у них совпадают. Так как для матрицы мы получили, что D_k(λ) = E₁(λ)…E_k(λ) (k=1,2,…,r ; r<=n) и что D_r+1(λ) = D_r+2(λ) = … = D_n(λ) = 0, то теорема доказана

34-36. Вычисление функции от матрицы.

Определение. Пусть даны квадратичная матрица А размерностью и функцияскалярного аргумента. Распространимна матричное значение аргумента. Если, тофункция от матрицы приобретает вид.

Теорема Гамильтона. Пусть - минимальный многочлен. Разложим его на множители(1), где - все различные собственные значения матрицы А. Степень жечисел(2) будем называть значениями функции на спектре матрицы А. Очевидно, чтобы значения функциина спектре матрицы А полностью определяют, т.е. все функции, имеющие одни и те же значения на спектре матрицы А имели одно и то же матричное значение. Т.о. для определенияв общем случае достаточно найти многочлен, который принимал бы те же значения на спектре матрицы А, что и, и положить, что.

Определение. Если функция определена на спектре матрицы А, то, где- любой многочлен, принимающий на спектре те же значения, что и, т.е..Среди всех многочленов с комплексными коэффициентами, принимающих те же значения на спектре, что и, существует единственный многочлен, степень которого меньшеm. Этот многочлен однозначно определяется интерполирующими условиями:

(3) – интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра.

Определение. Пусть функция, определена на спектре матрицы А, а- соответствующий интерполяционный многочлен. Тогда.

Замечание. Получили, что если матрицы А не имеет кратных корней (матрица простой структуры) и в равенстве(1), то для того, чтобы имело смысл достаточно, чтобыбыла определена в точках, если же всеимеют кратные корни, то в некоторых точках соотношения(2) должны быть определены и производные до известного порядка.

Свойства функций от матриц:

1. Если - собственные числа матрицы Аn-ого порядка, то - собственные числа матрицы.

2. Если матрицы А и В подобны, т.е., то матрицыитакже подобны, причем.Доказательство. Пусть. Покажем, что, используя метод математической индукции. Дляk=1, это очевидно. Пусть это верно и для k=m. Докажем, что это верно и для k=m+1. Действительно,. Тогда.. Т.о. две подобные матрицы имеют одинаковые минимальные многочлены и аналогичнопринимает одни и те же значение как на спектре матрицы А так и на спектре матрицы В. Поэтому существует интерполяционный многочлен.

3. Пусть А – квазидиагональная матрица, тогда.Доказательство. Обозначим через интерполяционный многочлен функциина спектре матрицы А. (5). Минимальный многочлен является аннулирующим многочленом для матрицы, поэтому из равенства. Поэтому и.

Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра. Пусть - минимальный многочлен матрицы А,.- степень. Представимявляется правильной дробью в виде суммы дробей:(6), где - некоторые числа. Для определения числителя простой дроби умножим обе части(6) на (7), где - рациональная функция, не обращающаяся в бесконечность при. Обозначим через.(8)

Формулы (8) показывают, что числители в правой части(6) выражаются через значения многочлена на спектре матрицы А, а эти значения нам известны. А именно, они равны соответственным значения функциии ее производной:(9’). После того, как всенайдены, мы определимпо следующей формуле, которая получается умножением обеих частей равенства(6) на:(10). Заметим, что в соотношении (10) выражение в квадратных скобках в силу (9’) равно сумме первых членов разложения Тейлора по степенямдля.

Основная формула. Вернемся к (10). Подставив в нее (9’) для коэффициентов и объединив члены, содержащие одно и тоже значениеи какой-либо ее производной, представимв виде(11), где - полиномстепени меньшей степени. Эти полиномы определяются заданиеми не зависит от выбора функции. Число этих полиномов равно числу значенийна спектре матрицы А и равноm, где m – степень минимального многочлена. Из формулы (10) следует основная формула для нахождения функции от матрицы, а именно: (12), матрицы являются компонентами матрицы А. Они вполне определяются заданием матрицы А и не зависят от выбора функции. В правой части формулы(12), функция представлена только своими значениями на спектре матрицы А.