25

Линейная алгебра.

1. Билинейные формы в вещественном линейном пространстве. Матрица билинейной формы и ее преобразование при изменении базиса.

Def: Линейная функция: В линейном пространстве L над полем R задана линейная функция (линейная форма), если каждому вектору х  L поставлено в соответствие число f(x) так, что при этом выполняется следующее: 1) f(x+y)=f(x)+f(y); 2)f(λx)=λf(x)

Def: А(x;y) называется билинейной формой от векторов x,y  L(вещ.лин.пр-ва), если

1. При фиксированных y A(x;y) – есть линейная функция от х;

   1. A(x₁+x₂;y)=A(x₁;y)+A(x₂;y)

   2. A(λx;y)=λA(x;y)

2. При фиксированных х A(x;y) – есть линейная функция от у

   1. А(х;у₁+у₂)=А(х;у₁)+А(х;у₂)

   2. А(x;λy)=λA(x;y)

Def: Линейная форма называется симметрической, если для все x,yL выполняется: A(x;y)=A(y;x) (Скалярное произведение в Евкл. Пространстве является примером симметрической формы).

Выберем в линейном пространстве L базис e₁,e₂,…,e_n и выразим билинейную форму через координаты α_i и β_i векторов x,y соответственно в этом базисе. Тогда. Гдеa_ij=A(e_i;e_j). Тогда. Где матрица – матрица билинейной формыA(x;y) в базисе e₁,...,e_n

Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса.

Пусть в n-мерном пространстве даны 2 базиса e₁,...,e_n и f₁,...,f_n и векторы f выражаются через векторы e с координатами с_ij. Тогда матрица С=[с_ij] (i,j=1..n) – матрица перехода от базиса e к базису f. С-невырожденная, С^-1 – матрица перехода от f к e. Пусть А=[a_ik] – матрица билинейной формы в базисе е, а B=[b_ik] – матрица той же билинейной формы, но в базисе f. Найдем по матрице А матрицу В.. То естьB=C^TAC.

2. Квадратичные формы Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.

Def: Пусть А(х;у) – симметрическая билинейная форма. Функция А(х;х), которая получается их а(х;у) путем подстановки y=x называется квадратичной формой. При этом А(х;у) называется билинейной формой, полярной к А(х;х). Таким образом каждой симметрической билинейной форме соответствует одна квадратичная форма. Справедливо и обратное. При заданном базисе всякая квадратичная форма выражается формулой:, гдеa_ik – значение билинейной формы A(e_i;e_k).

Def: Квадратичная форма называется положительно определенной, если для  x≠0 A(x;x)>0.

Пусть А(х;х) – положительно определенная квадратичная форма, а А(х;у) ее полярная форма. Тогда: 1) А(х;у)=A(y;x) 2)A(x₁+x₂;y)=A(x₁;y)+A(x₂;y) 3)A(λx;y)=λA(x;y) 4)A(x;x)=0  x=0;

Приведение к сумме квадратов методом Лагранжа.

Покажем как привести квадратичную форму к сумме квадратов, т.е. выбрать такой базис в котором квадратичная форма имеет наиболее простой(канонический) вид. А именно:. [Смысл заключается в поочередном выделении полных квадратов вида (a²+2ab+b²) и сворачивании их в (a+b)², а потом замене на другую переменную.

Теорема: Пусть в n-мерном вещественном пространстве L задана произвольная квадратичная форма А(х;х). Тогда в L  базис e₁,...,e_n, в котором эта квадратичная форма примет канонический вид. Доказательство: вытекает из самого метода Лагранжа.

3. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов методом Якоби.

В отличие от метода Лагранжа мы получим формулы, выражающие искомый базис e через базис f сразу. Пусть мы имеем симметричную форму А(х;у) с матрицей А=||a_ij||=||A(f_i;f_j)||. Предположим, что все главные миноры А отличны от нуля(1).(Δ₁≠0,...,Δ_n≠0) Необходимо найти базис e, в котором (2) А(ei;ek)=0 при i≠k. Процесс, с помощью которого это будет сделано напоминает процесс ортогонализации, где в качестве скалярного произведения (х,у) будет выбрано А(х;у). Будем искать векторы e_i в виде: e_i=α_i1f₁ + α_i2f₂+...+α_inf_n. Заметим, что если A(e_k;f_i)=0, i=1..k-1, то A(e_i,e_k)=0. Наша задача свелась к нахождению коэффициентов α_ki(i=1..k). Т.е. чтобы вектор e_k­ удовлетворял условию (4) A(e_k;f_i)=0; Этим условиям удовлетворяет вектор ek с точностью до постоянного множителя, который мы зафиксируем условием (5) A(e_k;e_k)=1. Подставив соотношения 4,5 в выражения для e_k получим СЛАУ относительно α_ki. Определитель этой системы равен Δk и по условию отличен от нуля. Поэтому решение системы существет и единственно. Таким образом задача нахождения вектора e_k нами решена для k ; Теперь найдем матрицу В=[b_ik], которые b_ik=A(e_i;e_k) в новом базисе e₁,...,e_n. Во первых, по построению A(ei;ek)=0 при i≠k. Вычислим диагональные элементы b_kk. b_kk=α_kk, где α_kk – решения СЛАУ, которые находятся по формуле α = Δ_k-1/Δ_k.

Теорема 1.  базис e₁,...,e_n в котором А(х;у) записывается в виде суммы квадратов следующим образом(7):, гдеα₁,...,α_n координаты вектора в базисе e₁,...,e_n.

Теорема 2. Число отрицательных коэффициентов при квадратах координат в каноническом виде 7 квадратичной формы равно числу перемен знака в последовательности определителей Δ₀,...,Δ_n .

4. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Определители Грамма.

Критерий Сильвестра.

Пусть А(х;у) – симметричная билинейная форма и f₁,...,f_n – базис n-мерного вещественного пространства L. Для того, чтобы квадратичная форма А(х;х) была положительно определена  главные миноры были положительны.

Доказательство: -> Пусть А(х;х) – положительно определенная квадратичная форма. Покажем, что главный минор Δk>0. Предположим, что Δk=0. Тогда одна из строк есть лиейная комбинация остальных. То есть их линейная комбинация может быть равна нулю при неравных нулю коэффициентах μ_i . Тогда (выписывая коэффициенты при μ) μ₁A(f₁;f_i)+...+μ_kA(f­_k,f_i)=0 для  i=1..k.

A(μ₁f₁+...μ_kf_k;f_i)=0

A(μ₁f₁+...μ_kf_k; μ₁f₁+...μ_kf_k)=0. Значит μ₁f₁+...μ_kf_k=0. Противоречие, значит Δk ≠ 0 и А(x;x) можно привести к каноническому виду. Где. Отсюда,λ₁>0(Δ₁>0), λ₂>0(Δ₁>0,Δ­₂>0),...

<- Если Δ₁>0,... то  базис e₁,...,e_n в котором квадратичная форма имеет канонический вид. Причем все λ_i >0/ Следовательно А(х;х)>0 для всех х. Т.е. Ах;х) – положительно определенная квадратичная форма.

Определители Грамма.

Выберем в качестве квадратичной формы скалярное произведение А(х;х)=(х,х). Пусть e₁,...,e_n – векторы в пространстве E. Тогда- определитель Грамма.

Теорема. Определитель Грамма любой системы векторов всегда ≥0. Причем =0  e₁,...,e_k - линейно зависимы.

Доказательство: Пусть e₁,...,e_k - линейно независимы. Рассмотрим А(х;у)=(х,у). Тогда определитель Грамма есть определитель матрицы B=[α_ij]=[A(e_i;e_j)]. ΔB = Δk. Т.к. А(х;х) – положительно определенная квадратичная форма, то из критерия Сильвестра: Δk>0. Если e₁,...,e_k – линейно зависимы, то одна из строк есть линейная комбинация всех остальных, значит определитель Грамма равен нулю.

5. Закон инерции квадратичной формы. Ранг квадратичной формы.

Теорема. Если квадратичная форма приведена двумя различными способами (в двух различных базисах) к сумме квадратов, то число положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов в обоих случая одно и то же.

Доказательство. Пусть в базисе квадратичная формаимеет вид:(1), где - координаты вектора х, т.е.. Пусть в базисеэта квадратичная форма имеет вид:(2), где - координаты вектора х в базисе. Нужно доказать, что . Докажем это от противного. Предположим, что. Рассмотрим подпространство,. Т.к., то существует ненулевой вектор х, принадлежащий пересечению:. Тогда. В базисе е вектор х имеет координаты, а в базисеf -. Подставляя эти представления в формулы(1, 2), мы получаем с одной стороны, что (т.к. не все числаравны нулю). Если подставить в формулу(2), то имеем, что (Т.к. хотя среди чиселесть отличные от нуля, возможно, что). Противоречие, следовательно, неравенствоневерно. Аналогично доказывается, что невозможны неравенства.

Определение. Число r, отличных от нуля коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы называетсярангом квадратичной формы.

Чтобы найти ранг квадратичной формы нужно вычислить ранг ее матрицы в какой-либо одной системе координат.