2.2. Дискретные случайные величины

Из теории меры известно, что любая неубывающая функция F(x) может быть представлена в виде суммы трех функций: абсолютно непрерывной функции , ступенчатой функциии сингулярной функции(непрерывной функции, множество точек роста которой имеет лебегову меру нуль). Следовательно,. В реальных задачах теории вероятностей сингулярная компонента почти не встречается, она представляет собой математическую абстракцию, потому будем полагать. Остановимся на двух крайних случаях:и.

В первом случае F(x) – ступенчатая функция, имеющая в точках cкачки. Величина скачков в этих точках равна соответственното естьСлучайная величина ξ, для которой F(x) является функцией распределения, называется в этом случаедискретной случайной величиной. Числа – это те значения, которые случайная величина принимает при различных, а числа– это вероятности, с которыми сл. величина принимает соответствующие значения

Определение дискретной случайной величины можно дать и не опираясь на ее функцию распределения. Случайная величина ξ называется дискретной, если она каждому элементарному исходу ставит в соответствие одно число из конечного или счетного множества чисел , причем вероятность события

Обычно дискретные случайные величины задаются рядом распределения. Это может быть таблица из двух строк, в первой, верхней, строке перечислены все возможные значения случайной величины , а во второй строке проставлены вероятности

Х	x1	x2	x3	…	xk	…	xn	…
P	р1	р2	р3	…	рk	…	рn	…

Очевидны ограничения на числа :

1) 0; 2)(2.3)

Часто вместо таблицы просто указывают для сл. величины все множество ее значений , k = 1, 2,… , и приводят формулу, по которой можно вычислять вероятности событийдля всех. Такой способ задания дискретной сл. величины также называют рядом распределения сл. величины.

Иначе говоря, рядом распределения сл. величины называют соответствие

Если при описании случайной величины ξ применяют какую-нибудь другую ее характеристику вместо функции распределения и при этом по этой характеристике возможно однозначно восстановить функцию распределения, то такая характеристика называется законом распределения случайной величины ξ или просто распределением случайной величины. Ряд распределения – это один из законов распределения случайных величин. В разделе 1.11 мы уже использовали термин «распределение» – называли гипергеометрическое распределение, распределение Бозе–Эйнштейна и т.д.

По ряду распределения можно однозначно восстановить функцию распределения:

. (2.4)

Пример 1.

Игрок выигрывает очко, если при подбрасывании монеты выпадает герб, и проигрывает очко в противном случае. Записать функцию распределения суммарного выигрыша игрока после двух бросаний монеты.

Решение. Обозначим суммарный выигрыш игрока после двух бросаний монеты через S; возможные значения этой сл. величины –2, 0 и 2, вероятности, с которыми эти значения принимаются сл. величиной, равны соответственно. Иначе говоря, распределение сл. величины S выглядит следующим образом:

S	–2	0	2
P	0.25	0.5	0.25

Тогда

Пример 2. Техническое устройство состоит из трех узлов, работающих независимо друг от друга. Первый узел отказывает с вероятностью 0.1, второй и третий – с равными вероятностями 0.3. Устройство выходит из строя, если откажет первый узел или второй и третий вместе. Производится испытание до первого отказа, но не более четырех раз. Случайная величина Х – число произведенных испытаний. Требуется найти ряд распределения и функцию распределения сл. величины Х.

Решение. Как следует из условия задачи, сл. величина Х может принимать значения Вычислим вероятности:{отказал первый узел или первый узел не отказал, но отказали второй и третий узлы}{прибор не отказал в первом испытании, но отказал во втором испытании}= 0.82 · 0.18 ≈ 0.15;{прибор не отказал в первых двух испытаниях, но отказал в третьем испытании}={прибор не отказал в первых трех испытаниях}

Построим ряд распределения для сл. величины Х:

Х	1	2	3	4
Р	0.18	0.15	0.12	0.55

Найдем по формуле (2.4) функцию распределения

Рассмотрим некоторые дискретные случайные величины, с которыми будем работать в дальнейшем.

1. В качестве самой простой дискретной сл. величины рассмотрим случайную величину, принимающую единственное значение С. Очевидно, что это значение она принимает с вероятностью, равной единице. Тогда функция распределения сл. величины имеет вид:

2. Не менее простой дискретной сл. величиной является функция, называемая индикатором события А:

Рассмотрим сначала один из примеров использования функции . Пусть– дискретное вероятностное пространство и ξ – некоторая сл. величина, принимающая конечное множество значений. Если положить, то ξ можно представить в виде, где событияобразуют разбиение пространства Ω – они попарно не пересекаются и их сумма равна Ω (то есть это полная группа событий – см. также п.1.8).

Ряд распределения сл. величины имеет вид:

	0	1
Р

Функция же распределения выглядит следующим образом:

Пример 3. Выпадение 6 очков при бросании игральной кости назовем событием А. Тогда сл. величина принимает значение 1, если выпадает 6 очков, и 0 – во всех остальных случаях. Ее ряд распределения имеет вид:

	0	1
Р

а функция распределения имеет вид:

3. Распределение Бернулли. Случайная величина ξ имеет распределение Бернулли с параметром , если ξ принимает только два значения 1 и 0 с вероятностями p и q = 1 – p соответственно.

Ряд распределения этой сл. величины имеет вид

ξ	0	1
Р	q	p

а функция распределения: .

Условное обозначение распределения Бернулли – . Тот факт, что сл. величина ξ имеет распределение Бернулли, обозначается символом:или.

4. Биномиальное распределение. Обратимся к схеме Бернулли. Пусть в этом эксперименте случайная величина ξ – число успехов в серии из n независимых испытаний. Тогда случайная величина ξ может принимать значения . Вероятность событияранее обозначалась нами как P(n, k), теперь мы ее будем обозначать просто через. Итак,

. (2.5)

Формула (2.5) определяет распределение дискретной случайной величины, называемое биномиальным законом распределения с параметрами распределения n, p. Для краткости биномиальное распределение обозначают символом В(n,p): имеет место распределение (2.5).

На примере этого закона распределения рассмотрим более подробно, как по нему можно однозначно восстановить функцию распределения F(x). Поскольку , то для всехсобытие– невозможное, значит,. Если, то событиесостоит из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых, следовательно,Если, то событиесостоит из тех элементарных исходов ω, для которыхили, следовательно,, и т. д.

Наконец, при событиедостоверное событие иСведем результаты в одну формулу:

Очевидно, что описание случайной величины формулой (2.5) выглядит проще, чем описание ее с помощью функции распределения.

Пример 4. На зачете студент получил четыре задачи. Вероятность решить каждую задачу правильно равна 0.4. Пусть ξ – число правильно решенных задач. Описать закон распределения сл. величины .

Решение. По содержанию задачи случайная величина ξ может быть описана биномиальным законом распределения, решенная правильно задача – успех. По формуле (2.5) , это ряд распределения сл. величины ξ. Однако в реальной задаче, когда интерес представляют значения вероятностей, ряд распределения удобно представить таблицей:

	0	1	2	3	4
P	0.1296	0.3456	0.3456	0.1536	0.0256

5. Геометрическое распределение. Снова рассмотрим схему Бернулли. Пусть ξ – число испытаний, которое необходимо провести, прежде чем появится первый успех. Предполагается, что в каждом отдельном испытании успех достигается с вероятностью р. Очевидно, что случайная величина ξ может принимать счетное множество значений k = 0, 1, 2, 3,…, n,… Определим вероятность события . Если, то в первых k испытаниях появилась неудача, а в (k+1)-м испытании – успех. Как дальше будут развиваться события при изучении этой случайной величины, нас не интересует. Элементарный исход выглядит в этом случае так:.Следовательно, Проверим равенство :.

Итак,

(2.6)

Случайная величина ξ с законом распределения (2.6) носит название случайной величины, распределенной по геометрическому закону с параметром р. Для краткости закон распределения обозначают символом G(p).

Пример 5. Вероятность успешно провести физический опыт (получить ожидаемый эффект) равна 0.8. Пусть ξ – число «пустых» опытов, прежде чем экспериментатор получит ожидаемый эффект. Описать закон распределения сл. величины .

Решение. ξ – дискретная случайная величина, имеющая геометрическое распределение. Формула (2.6) полностью описывает эту случайную величину при p=0.8, это ее ряд распределения. Изобразим его в виде таблицы:

	0	1	2	3	4	….
P	0.8	0.16	0.032	0.0064	0.00128	….

Замечание. В литературе по теории вероятностей случайную величину ξ – номер первого успеха в серии из n независимых одинаковых испытаний – также считают распределенной по геометрическому закону:

Пусть ξ имеет геометрическое распределение. Тогда

Cвойство сл. величины, выражаемое полученным равенством, называется отсутствием последействия. Его можно интерпретировать следующим образом. Пусть длительность телефонного разговора есть целочисленная величина, и в начале каждой минуты с вероятностью р принимается решение разговор закончить и с вероятностью 1 – р = q принимается решение разговор продолжать. Тогда полученное равенство означает, что условная вероятность того, что разговор будет продолжаться n+m минут, если известно, что он не закончился за n минут, совпадает с вероятностью того, что разговор будет продолжаться m минут. Среди дискретных сл. величин только геометрическое распределение обладает этим свойством.

6. Пуассоновское распределение. В разделе 1.11 мы встречались с формулой Пуассона, ее не надо путать с распределением Пуассона. Случайная величина ξ распределена по закону Пуассона, если она принимает неотрицательные целые значения с вероятностями

(2.7)

где λ > 0 – параметр распределения Пуассона, это среднее значение сл. величины (см. п. 2.5). Обозначается распределение символом Ро(λ).

Равенствовыполняется:Это распределение играет важную роль в теории надежности, теории массового обслуживания и т.д.

Пример 6. При работе аппарата возникают сбои. Количество сбоев за сутки – сл. величина ξ, распределенная по закону Пуассона или Среднее число сбоев за сутки равно 1.5. Определить вероятности событий A = {в течение суток произошел хотя бы один сбой}, В = {за двое суток не будет ни одного сбоя}.

Решение. Из условия задачи и замечания к формуле (2.7) следует, что λ = 1.5,

7. Гипергеометрическое распределение. С этим распределением мы уже встречались – см. примеры 17, 40 раздела 1.