Математический анализ

Билет 1. Понятие функции и способы ее задания. Обратная функция. Сложная функция.

Понятие функции состоит из 3 частей: 1) Области определения D (совокупность значений x, для которых определяются значения функции у в силу правила f(x)); 2) Множества T, содержащего область значений E; 3) Правила, которое для каждого элемента из области D задаёт единственный элемент из области T.

Таким образом, функция есть зависимость, при которой каждому элементу x (- D соответствует единственный элемент y (- E. y=f(x), где х – независимая переменная, y – зависимая.

Способы задания функции: 1) Аналитический (математическая формула, дающая воз-

можность вычислить значение функции); 2) Графический (Графиком функции y = f(x)

называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют

данному уравнению.); 3) При помощи таблицы; 4) При помощи словесного описания

Обратная функция: Пусть f: XY и g: Y  X такие функции, что при х₁ ≠ x₂  f(x₁) ≠ f(x₂). Тогда каждому y (- f(X) соответствует единственный элемент x (- X Такие образом g(x) является обратной функцией к f(x) и обозначается x=f^-1(y)

Сложная функция: Пусть даны функции f(x): X  Y и g(y): Y  Z. Причём D(g)=E(f). Тогда определена сложная функция φ: X  Z: φ=g(f(x))=gof(x) – композиция, т.е.применяй g, затем применяй f.

Билет 2. Предел функции в конечной точке и на бесконечности. Единственность предела в случае его существования.

В конечной точке: Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x_0. Число А называется пределом f(x) в точке x₀ и пишут lim f(x)=A (x x₀), если для любого ε>0 существует δ(ε)>0 такое, что для любых х, таких что 0<|x- x₀|<δ выполняется |f(x)-A| < ε

На бесконечности: Число А называют пределом f(x) при x  ∞, если для любого ε>0 существует число М(ε)>0 такое, что для любых х, таких что |x| > M, выполняется |f(x)-A| < ε. Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим.

Геометрический смысл: Взяв значение аргумента, принадлежащего интервалу

((х₀-δ); (x₀+δ)), значения функции обязательно попадают в интервал ((А-ε); (A+ε))

Примеры вычисления пределов по определению.

Единственность предела: f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀ и lim f(x)=A,

lim f(x)=B (х  x₀). Тогда А=В, т.е.предел может быть только единственным.

Доказательство: Сначала напишем определение для А и В. Возьмём δ как наименьшее из

2ух чисел, т.е. рассмотрим δ=min(δ₁, δ₂) при |x-x₀|<δ.

|A-B| = |A-f(x)+f(x)-B| = |f(x)-A| + |f(x)-B| <= ε+ε = 2ε  A-B=0, A=B

Билет 3. Односторонние пределы.

Определение: Число А называется лево(право)-сторонним пределом функции y=f(x) в точке х₀, если функция определена на интервале (x₀-γ; x₀) ((x₀; x₀+ γ)) для γ>0 и для всех ε>0 найдётся δ= δ(ε)>0 такая, что 0<x₀-x< δ (0<x-x₀< δ)  |f(x)-A|< ε.

Обозначение: A=lim f(x) (xx_0-0) (A=lim f(x) (xx₀₊₀))

Для левостороннего предела рассматриваются значения аргумента слева от x_0: (x₀-δ; x₀)

Для правостороннего: x (- (x₀; x₀+δ)

Теорема: Для существования конечного предела функции в конечной точке необходимо и достаточно существования односторонних пределов функции в этой точке и их равенства друг другу. При этом сам предел равен каждому из односторонних.

Билет 4. Бесконечно малые величины (б.м.) и бесконечно большие (б.б.) величины. Свойства б.м. Связь б.б. и б.м. величин.

Функция α(х) называется бесконечно малой при х  x0 (б.м.), если lim α(х)=0 (xx0).

Если lim α(х)/β(x) = 0 (xx0), то α(х) называется б.м. более высокого порядка чем β(x), и пишут α(х)=oβ(x), xx0.

Если lim α(х)/β(x) = C (xx0, c<∞), то α(х) и β(x) называются б.м. одного порядка малости.

Если lim α(х)/β(x) = 1 (xx0), то α(х) и β(x) называются называются эквивалентными и это обозначается

α(х) ~ β(x) при хx0.

Если существует число k, такое что lim α(х)/(β(x))^k = C ≠ 0, то α(х) называется б.м. порядка k относительно β(x).

Y=F(x) называется бесконечно большой при xx0, если lim F(x)= ∞ (xx0)

Теорема о взаимосвязи: Пусть α =α(х) – б.м. в точке х0 (на ∞). Тогда β=1/ α(х) – б.б. в точке х0 (на ∞). И наоборот, если β= β(х) –б.б. в точке х0 (на ∞), то α(х)=1/ β(х) – б.м. в точке х0 (на ∞).

Доказательство:

Пусть α(х) определена в некторой точке х0 и б.м. в точке х0. Таким образом, для любого ε>0 найдётся δ =δ(ε) такая, что 0<|x-x0|< δ  | α(х)|< ε. Возьмём М=1/ε и найдётся δ =δ(ε)=δ(М) такая, что 0<|x-x0|< δ  |β(x)| =

|1/ α(х)| > 1/ ε = M  β(x) по опр. б.б.

1ый замечательный предел: это равенство lim sinx/x = 1 (x0)

x~sinx~tgx~arcsinx~arctgx~(e^x-1)~ln(1+x)

1-cosx~x²/2

a^x-1~xlna