Упражнения по основам дискретной математики

1)напишите формулы, реализующие функции f, g, h;

2)составьте таблицы истинности для этих функций;

3)найдите фиктивные переменные и исключите их;

4) постройте таблицу значений для функций f*, g*, h*, двойственных к данным;

5)напишите СДНФ и СКНФ для функций f, g, h;

6)разными способами получите полиномы Жегалкина для функций f, g, h;

7)принадлежат ли данные функции важнейшим замкнутым классам алгебры логики T0,

T1, S, М, L?

8)является ли полной система функций {f, g, h}?

9)из функций f, g, h получите, если возможно, константу, инверсию и конъюнкцию.

14

4.Введение в математическую логику

93.Запишите составные высказывания в виде формул, употребляя высказывательные переменные для обозначения простых высказываний.

а) Если идет дождь, то дует ветер.

б) Дождь начнется, только если подует ветер.

в) Завтра или пойдет дождь, или будет снегопад.

г) Неверно, что ветер дует тогда и только тогда, когда нет дождя.

д) Для того чтобы х было нечетным, достаточно, чтобы х было простым. е) Петя ходит в кино только тогда, когда там показывают новый триллер.

96. Докажите равносильности с помощью законов логики высказываний:

а) (A B) & (A C) & (B D) & (C D) (A & D) (B & C) ; б) A & (A C) & (B С) (A & B) (A & C) .

97. Докажите равносильности методом математической индукции:

б) обобщенные законы де Моргана для и ; в) обобщенные законы дистрибутивности относительно & и & относительно .

98.Пусть А и В – жители острова, обитатели которого относятся либо к “рыцарям”, всегда говорящим только правду, либо к “лжецам”, изрекающим только ложь. А говорит относительно себя и В: “По крайней мере один из нас лжец”. Кто А и кто В?

99.Пусть А и В – жители острова, обитатели которого относятся либо к “рыцарям”, всегда говорящим только правду, либо к “лжецам”, изрекающим только ложь. А говорит: “Если я рыцарь, то В - рыцарь”. Кто А и кто В?

100.Пусть А и В – жители острова, обитатели которого относятся либо к “рыцарям”, всегда говорящим только правду, либо к “лжецам”, изрекающим только ложь. А говорит про себя, В и С: “Мы все лжецы”. В говорит: “По крайней мере, один из нас - рыцарь”. Кто А, кто В и кто С?

101.Обвиняемые А, В, С дали следующие показания:

A: “B виновен, а С невиновен”. В: “A невиновен или С виновен”.

С: “Я невиновен, но хотя бы один из А и В виновен”.

Могут ли эти показания быть верны одновременно? Предполагая, что все показания правдивы, определите, кто виновен.

102.Определите, кто из четырех студентов сдал экзамен по физике, если известно, что

1)если 1-ый сдал, то и 2-ой сдал;

2)если 2-ой сдал, то 3-ий сдал или 1-ый не сдал;

3)если 4-ый не сдал, то 1-ый сдал, а 3-ий не сдал;

4)если 4-ый сдал, то и 1-ый сдал.

15

104. Пользуясь законом контрпозиции A B B A , докажите следующие теоремы: а) Если mn – нечетное число, то m и n – нечетные числа.

б) Если a2 b2 0 , то a 0 или b 0 .

105. Не составляя таблиц истинности, приведите данные формулы к CДНФ или CКНФ и выясните, являются ли они тавтологиями или тождественно ложными.

а) f ((x y) x) x ; б) g (x y) (x ( y & x)) ;

в) h (x y) ((z x) (z y)) .

106.Можно ли на основании посылок “Если предмет интересен, то он полезен” и “Предмет неинтересен” заключить, что предмет бесполезен?

107.Следует ли из предложения “Если студент много занимается, то он успешно сдает экзамены” предложение “Студент, провалившийся на экзамене, мало занимался”?

108.Проверьте правильность следующих рассуждений методом редукций.

1.Если не повысят налоги, то в бюджете возникнет дефицит. Если в бюджете будет дефицит, то сократятся расходы на социальные нужды. Следовательно, если повысят налоги, то расходы на социальные нужды не сократятся.

2.Для того чтобы сдать экзамен по физике, мне необходимо достать учебник или конспект. Я достану учебник только в том случае, если мой приятель не уедет. Он уедет, только если я достану конспект. Значит, я сдам экзамен.

3.Если сегодня вечером будет мороз, то я пойду на каток. Если завтра будет оттепель, то я пойду в кино. Сегодня вечером будет мороз или завтра будет оттепель. Следовательно, я пойду на каток и в кино.

16