2003_-_Gmurman__TV_i_MS

Глава десятая

ФУНI(ДИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

СЛУЧААноА ВЕЛИЧИНЫ

§ 1. Определение функции распределения

Вспомним, что дискретная случайная величина

может быть заданаперечнем всех ее возможных значений

и их вероятностей. Такой способ задания не является

общим: он неприменим, например, для непрерывных

случайных величин.

Действительно, рассмотрим случайную величину Х,

u

возможные значения которои сплошь заполняют интервал

(а, Ь). Можно ли составить перечень всех возможных

значений Х? Очевидно, что этого сделать нельзя. Этот

пример указывает на целесообразность дать общий спо­

соб задания любых типов случайных величин. С этой

целью и вводят функции распределения вероятностей

и и

случаинои величины.

Пусть х-действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что Х примет значение, меньшее х, т. е. вероятность события Х < х, обозначим через F (х). Разу­

меется, если х изменяется, то, вообще говоря, изменяется и F (х), т. е. F (х) -функция от х.

Функцuей расnределенuя называют функцию F (х), опре­

деляющую вероятность того, что случайная величина Х

врезультате испытания примет значение, меньшее х, т. е.

F (х) = Р (Х < х).

Геометрически это равенство можно истолковать так: F (х) есть вероятность того, что случайная величина

примет значение, которое изображается на числовой оси

точкой, лежащей левее точки х.

Иногда вместо термина «функция распределению>

используют термин «интегральная функцию>,

Теперь можно дать более точное определение непре­

рывной случайной величины: случайную величину назы­

вают непрерывной, если ее функция распределения есть

непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с не­

прерывной производной.

111

§2. Свойства функции распределения

Св о й с т в о 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [О, 1]:

O~ F (Х) ~ 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Свойство вытекает из опреде­

ления функции распределения как вероятности: вероят­

ность всегда есть неотрицательное число, не превышающее

единицы.

С в о й с т в о 2. F (х)-неубывающая функция, т. е.

F (Х2) ~ F (Х1), если Х2 > X 1 •

Д О К а з а те л ь с т в о. Пусть ХjI > Х1• Событие, состоя­

щее в том, что Х примет значение, меиьшее Х2' можно

подразделить на следующие два несовместных события:

По теореме сложения имеем

Р(Х <х,)=Р(Х <Xl)+P(Xl~X <х,).

Отсюда

или

Так как любая вероятность есть число неотрицатель­

ное, то F (Х2) - F (Х1) ~ О, или F (Xs) ~ F (x1 ), что и тре­

бовалось доказать.

Сл едс т в и е 1. Вероятность того, что случайная величина nри.м.еm значение, заключенное в интервале (а, Ь), равна приращению функции распределения на этом ин­

тервале:

P(a~X < Ь)=Р(Ь)-Р(а).

Эго важное следствие вытекает из формулы (*). если положить ХjI = Ь и Х1 = а.

Пример. Случайная величина Х задана функцией распределения

112

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет эна­ чениtl, принаДJJежащее интервалу (О, 2);

Р(О < х < 2)=Р(2)-Р(О).

Реш е н и е. Так как на интервале (О, 2), ПО условию,

F (х) =х/4+ 1/4,

случайная ееличина Х примет одно определенное значение,

равна нулю.

Устремим /).Х к нулю. Так как Х-непрерывная случай­

ная величина, то функция F (х) непрерывна. В силу

непрерывности F (Х) в точке Х1 разность F (Х1+ /).х)-р (x1 )

также стремится к нулю; следовательно, Р (Х = X 1) = О.

Используя это положение, легко убедиться в справедли­

вости равенств

P(a~X < Ь)=Р (а < Х < Ь)=

Р (а < Х ~ Ь) =Р (а < Х < Ь) + Р (Х = Ь) = Р (а < Х < Ь).

примет одно определенное значение, но имеет смысл рас­

сматривать вероятность попадания ее в интеряал, пусть

даже сколь угодно малый. Этот фак полностью соответ­ ствует требованиям практи\.~ских задач. Например, инте­

ресуются вероятностью того, что размеры деталей не

выходят за дозволенные границы, но не ставят вопроса

овероятности их совпадения с проектным размером.

Заметим, что было бы неправильным думать, что ра­

венство нулю вероятности Р (Х =x1 ) означает, что событие

Х = X 1 невозможно (если, конечно, не ограничиваться

КJIассическим определением вероятности). Действительно,

в результате испытания случайная величина обязательно

примет одно из возможных значений; в частности, это

Х < Х1 невозможно (так как значений, меньших Х1' вели­

чина Х по У<:JIОВИЮ не принимает) и, следовательно,

вероятность его равна НУЛЮ.

2) Пусть Хjl ~ Ь. Тогда событие Х < Х2 достоверно

(так как все возможные значения Х Меньше х2) и, сле­

довательно, вероятность его равна единице.

С л е Д с т в и е. Если возможные значения непрерывной

случайной величины расположены на всей оси х, то спра­

ведливы следующие предельные соотношения:

Доказанные свойства позволяют представить, как

6ЫГЛЯДИТ график функции распределения непрерывной

случайной величины.

График расположен в полосе, ограниченной прямыми

ключены все возможные значения случаинои величины,

график «подымается вверх» (второе свойство).

F(II)

Рис. 2

При х ~ а ординаты графика равиы нулю; при х ~ Ь

ординаты графика равны единице (третье свойство).

График функции распределения непрерывной случай­

ной величины изображен на рис. 2.

3 а м е ч а к к е. График функцни распределения дискретной слу­

чайной величины имеет ступенчатый вид. Убедимся в этом иа примере.

114

Пример. Дискретная случайная величииа Х задана таблицей

распределения

р0,3 0,1 0,6

верно, следовательно, его вероятность равна единице.

Итак, функция распределения аналитически может быть запн­

сана так:

График этой функции приведен на рис. 3.

1. Случайная величииа Х задана функцией распределения

Найти вероятность ТОГО, что в результате НСпытания Х примет зна­

чение, заключенное в интерваJlе (о, 1).

Отв. 1/3.

2. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найтн вероятность того, чТО в результате испытания Х примет зна­

чение, заключенное в интервале (2, 3).

Оmв. 1/2.

з. дискретная случаАная величина Х задана закоНом расп ре­

деnения

Р0,5 0,4 0,1

Построить график фуикции распределеиия этой величииы_

Глава одиннадцатая

ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

§ {. Определение плотности распределения

Выше непрерывная случайная величина задаВ<I­ лась с помощью функцни распределення. Этот способ

задания не является единственным. Непрерывную слу­

чайную величнну можно также задать, используя другую

функцию, которую называют плотностью распределени н или плотностью вероятности (нногда ее называют диф­

ференциальной функцией).

Плотностью распределения вероятностей непреРЫВНО!1 случайной величины Х называют функцию f (х) - первую

производную от функции распределения F (х):

f (х) = Р' (х).

Из :'Toro определения следует, что функция распре­

деления является первообразной ЩIЯ плотности распре­

деления.

Заметим, что для описани~ распределения вероятно­ стей дискретной случайной величины плотность распре­

деления неприменима.

§ 2. Вероятность попадания непрерывноА случаАной величины в заданныА интервал

Зная плотность распределения, можно вычислить

вероятность того, что непрерывная случайная величина

примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

ВЫЧИСJlение основано на следующей теореме.

Теорема. Вероятность того, что неnрерьюная случай­

ная величина Х nри,м,ет значение, принадлежащее интер­

валу (а, Ь), равна Qnределенному интегралу от плотности

116

распределения, взятому в пределах от а до Ь:

ь

р (а < Х < Ь) = ~ f (х)dx.

а

д о к а 3 а т е л ь с т в о. Используем соотношение (**),

(см. гл. Х, § 2)

Р (а ~ Х < Ь) = F (Ь)-Р (а).

По формуле Ньютона-Лейбница,

ьь

Р(Ь)-Р(а)= ~ Р' (x)dx= ~ f(x)dx.

аа

Таким образом,

Геометрически полученный результат можно истолко­

вать так: вероятность того, что непрерывная случайная

величина примет значение, при надлежащее интервалу

(а, Ь), равна площади криволинейной трапеции, ограни­

ченной осью Ох, кривой распределения f (х) и прямыТ'dИ х=а и х=Ь.

НаАтн вероятнос'lЪ того, что в результате испытания Х примет зна­

чение, принадлежащее интервалу (0,5; 1).

Реш е н н е. Искомая вероятность

I

Р(О,5< Х< 1)=2 ~хdх=Х21~,~=I-О,25=О,75.

0,5

tl7

§ 3. Нахождение функции распределения

по известной плотности распределения

Зная плотность распределения f (х), можно найти

функцию распределения F (х) по формуле

х

F (х)= S f (х)dx.

- 00

Действительно, мы обозначили через F (х) вероятиость

того, что случайная величина примет значение, мень­

шее х, т. е.

Р(х)=Р(Х<х).

х

F (х) = ~ t (х) dx.

-ОС)

Таким образом, зная плотность распределения, можно

найти функцию распределения. Разумеется, по известной функции распределения может быть найдена плотность

распределения, а именно:

t (х) = г' (х).

118

График этой функции изображен на рис. 4.

оси.

График плотности распределения называют кривой

распределения.

С в о й с т в о 2. Несо6сmвенный интеграл от плотности

распределения в пределах от - 00 до 00 равен едихице:

- 00

119

том, что случайная величииа примет значение, принад­

лежащее иигервалу ( - 00, (0). Очевидно, такое событие

достоверно, следовательно, вероятиость его равна единице.

Геометрически это означает, что вся площадь криво­

линейной трапеции, ограниченной осью Ох и кривоii

распределения, равна единице.

В частности, если все возможные значения случайной

величины принадлежат интервалу (а, Ь), то

h

~ f (х) dx = 1.

а

Пример. Плотность распределения случайной веmlЧИНЫ Х за.:l,8118:

а

f (х) = e-~ +e~

Найти постоянный параметр а.

Реш е н и е. ПЛОТНОСlЬ распределения ДО.'1жна УДОВ.1етворять ус­

Таким оБР8JО~J. искомыi\ параметр

I 2

а=-=-.

п,/2 п,

120