Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

MMATAN02

.pdf
Скачиваний:
29
Добавлен:
27.03.2015
Размер:
651.36 Кб
Скачать

Из неравенства | sin(x − x0)| < |x − x0| следует, что функция sin(x −x0) есть бесконечно малая функция при x → x0. А так как | cos(x + x0 3)| ≤ 1, то α(x) также бесконечно малая при x → x0, как произведение ограниченной функции на бесконечно малую

функцию. Откуда следует, что lim sin(2x − 3) = sin(2x0 3).

x→x0

3. В точке x = 5 функция f (x) =

 

определена: f (5) = 3.

x + 4

Зададим ε > 0. Составим разность f (x) − f (5) =

x + 4 3 и

оценим ее по модулю. При малых δ > 0 для значений x, таких, что |x − 5| < δ, будет выполняться неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

5

 

 

x

5

 

 

 

δ

 

 

 

x + 4

 

3

 

=

 

| −

 

 

|

<

| −

 

|

<

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

 

 

 

 

 

|

 

x + 4 + 3

3

 

 

 

3

 

 

Если положить

δ

= ε, т.е. δ = 3ε, то при значениях x, для ко-

 

3

торых |x − 5| < 3ε, выполняется неравенство

 

 

 

 

3| < ε.

|

x + 4

Непрерывность функции f (x) =

 

 

 

 

 

 

= 5 доказана.

 

 

x + 4 в точке x

4.а) Нет, так формулировать нельзя. Если взять ε отрицательным,

то |f (x) − f (x0)| не может быть меньше ε < 0, каким бы ни выбрали δ > 0 и какую бы функцию f (x) ни рассматривали.

б) Нет. В этой формулировке не сказано, что δ > 0. Если мы

положим δ < 0, то множество x, для которых |x − x0| < δ, пусто, а поэтому для всех таких x выполняется любое свойство, в том

числе и |f (x) − f (x0)| < ε. Значит, при таком определении все функции окажутся непрерывными.

5. Возьмем любое значение x R и дадим ему приращение x.

Получим новое значение аргумента x + x. При этом функция x

y = 1 + x2 получит следующее приращение y:

y = f (x + x)

− f (x) =

x + x

 

x

 

 

 

1 + (x + x)2

1 + x2

= x + x3 + x + x2 x − x − x3 2x2

x − xx)2

 

 

[1 + (x + x)2](1 + x2)

 

 

 

 

=

 

 

x − x2 x − xx)2

.

 

 

 

 

[1 + (x + x)2](1 + x2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

=

101

При любом фиксированном x

R

мы имеем

lim

y = 0

. Значит,

 

x 0

 

функция f (x) =

x

 

 

 

 

 

 

непрерывна на всей числовой оси.

1 + x2

6.Прежде всего заметим, что элементарные функции, изучаемые в школе, непрерывны всюду в своей области определения. Поэтому каждое слагаемое в числителе функции

f (x) = (x2 3) · 2x + arctg x · cos x , (x3 + 1) sin3 x

есть непрерывная функция при всех значениях x R как произведение непрерывных функций. Сумма двух непрерывных функций непрерывная функция. Знаменатель тоже непрерывная функция при всех действительных значениях x как произведение непрерывных функций. Знаменатель обращается в нуль x = 1 и x = , k Z. Значит, рассматриваемая функция f (x) будет непрерывной при всех значениях x R, кроме x = 1 и x = , k Z, где она не определена.

7. а) Область определения функции

 

 

1

(2x2 + 3)

при − ∞ < x ≤ 1,

 

 

f (x) =

5

 

 

 

6

5x

при 1 < x < 3,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x − 3 при 3 ≤ x < +∞,

вся числовая ось (−∞, +). На интервалах (−∞, 1), (1, 3), (3, +) функция непрерывна. Поэтому разрывы возможны лишь в точках x = 1 и x = 3, в которых изменяется аналитическое задание функции. Найдем односторонние пределы функции в точке x = 1:

f (1

0)

=

lim

 

1

 

(2x2

+ 3) = 1,

0

5

 

 

 

x

1

 

 

 

 

 

 

 

→ −

(6

 

5x) = 1.

f (1 +

0)

= x

lim

1+0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значение функции f (x) в точке x = 1 определяется первым ана-

литическим выражением, f (1) = 2 + 3 = 1. Так как f (1 0) = 5

f (1 + 0) = f (1), то в точке x = 1 функция f (x) непрерывна.

102

Рассмотрим точку x = 3. Имеем

 

 

 

 

 

f (3 0)

= x

lim

(6

5x) =

9,

3 0

 

 

 

 

 

→ −

 

 

 

 

 

f (3 + 0)

=

lim

 

 

 

 

 

 

x

3+0(x − 3) = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как f (3 0) = f (3 + 0) и конечны, то функция f (x) в точке x = 3 имеет разрыв 1-го рода.

Колебание функции f (x) в точке x = 3 равно

|f (3 0) − f (3 + 0)| = 9.

б) Функция

3x

при x > 3

 

f (x) = 2x2

при x ≤ 3,

определена и непрерывна в интервалах (−∞, 3) и (3 + ). В точке x = 3 имеем

f (3

0)

=

lim

2

) = 18,

 

 

 

 

x 3 0(2x

 

 

 

 

→ −

 

 

f (3 + 0)

=

lim 3x = 9.

 

 

 

 

x→3+0

 

 

Так как f (3 0) = f (3 + 0) и конечны, то функция f (x) в точке x = 3 имеет разрыв 1-го рода.

Колебание функции в точке x = 3 равно

|f (3 + 0) − f (3 0)| = 27.

в) Функция

 

 

 

f (x) =

|2x − 3|

 

 

2x − 3

3

 

 

 

определена и непрерывна при x −∞,

. Рассмотрим точку

 

2

 

 

 

103

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

 

. Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

3

 

0

=

lim

 

|2x − 3|

=

lim

 

(2x − 3)

=

1,

 

 

2

 

 

2x − 3

2x − 3

 

 

 

 

x→2 0

 

 

 

 

 

x→2 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

2x − 3

 

 

 

3

 

2x − 3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

x→2 +0

 

 

 

 

 

x→2 +0

 

 

 

 

 

 

f

3

+ 0

=

lim

|2x − 3|

=

lim

 

2x − 3

= 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

Так как f

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 = f

 

 

+ 0 и конечны, то функция f (x) в

2

2

точке x =

3

 

имеет разрыв 1-го рода.

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Колебание функции в точке x =

3

 

равно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

+ 0

= 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f 2 0 − f

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. При x = 1 функцию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) =

 

 

 

 

 

при x = 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

при x = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

можно переписать в виде: f (x) = x+1, и, следовательно, функция f (x) при любом значении x = 1 будет непрерывной. При x = 1

f (1 0) = f (1 + 0) = 2 = 5 = f (1).

Значит, в точке x = 1 функция f (x) имеет устранимый разрыв. Достаточно переопределить функцию, положив f (1) = 2, и функция станет непрерывной всюду на действительной оси.

9. Функция

 

1

при x = 0,

f (x) =

e x

 

0

при x = 0

 

 

 

104

непрерывна при всех x = 0. При x = 0 имеем

 

 

1

 

1

 

 

f (0) = xlim

0 e

x = 0,

f (+0) = lim

x = +

.

 

x +0 e

 

 

→−

 

 

 

 

 

В точке x = 0 функция имеет разрыв 2-го рода типа бесконечного скачка (бесконечный разрыв).

10. Функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) =

1 + 2x

при x ≤ 0,

 

 

 

sin 1

 

при x > 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x = 0

 

 

x =

0

 

 

 

 

 

 

непрерывна при всех

 

 

 

 

 

 

 

имеем

 

 

 

. При

 

 

f (0) = xlim0(1 + 2x) = 2,

 

 

→−

 

1

 

 

 

 

f (+0) =

lim

 

sin

 

 

— не существует.

 

x

 

 

 

x→+0

 

 

 

 

В точке x = 0 функция имеет разрыв 2-го рода.

Задачи для самостоятельной работы

1. Исходя из определения непрерывности ( lim f (x) = f (x0)), дока-

зать непрерывность функций

x→x0

a) f (x) =

 

x3 + x − 1

 

2x2 + 3x − 5

 

 

б) f (x) =

 

x2 cos x

 

 

 

1 + sin2 x

 

 

sin x

x = 0

в) f (x) =

 

 

x

 

 

1

 

x = 0

 

 

 

 

 

 

в интервале 2 < x < 3,

для всех x (−∞, +),

для всех x (−∞, +).

105

2.Исходя из определения непрерывности по Коши, доказать непрерывность функций

а) f (x) =

 

x + 3

1

 

 

 

 

 

 

в точке x =

 

,

 

2 3x

2

б) f (x) =

 

 

для всех x > 0,

 

 

x

в) f (x) = sin x

для всех x R.

3. Пользуясь определением непрерывности функции через приращение аргумента и функции ( lim y = 0), доказать непрерывность

x→0

функций

а) f (x) =

3

 

 

для

x (−∞, +),

 

x

б) f (x) = arcsin x

для всех x (1, 1),

в) f (x) = 2x

для

x (−∞, +).

4.Исследовать на непрерывность, найти точки разрыва и установить их характер:

а) f (x) = cos

π

,

2 − x

б) f (x) =

 

 

1

,

 

 

x2 9

0 < x ≤ 1,

в) f (x) =

1 − x

 

 

x

x ≤ 0,

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 − x

x > 1.

 

 

 

 

 

 

Ответы

4. а) x = 2 — точка разрыва 2-го рода, б) x = ±3 — точки разрыва 2-го рода, в) x = 1 — точка разрыва 2-го рода, x = 0 — точка разрыва 1-го рода.

106

Занятие 8. Непрерывность функции. Односторонняя непрерывность. Разрывы на графике функции

Задание

1. Исследовать функцию

ln |x| при − ∞ < x < 0,

f (x) =

x при 0 ≤ x ≤ 1,

x2 + 1 при 1 < x ≤ 2,

5 при 2 < x < +

на непрерывность, найти точки разрыва и установить их характер. Построить график функции.

2. Найти точки разрыва функции

f (x) =

|x|x2

x

при x = 0,

 

 

 

 

 

 

 

0

 

при x = 0,

установить их род, исследовать функцию на одностороннюю непрерывность, построить график функции.

3. Исследовать функцию

 

 

 

 

f (x) =

 

1

при x = 0,

x arctg x

 

 

1

 

при x = 0,

 

 

 

на непрерывность, найти точки разрыва и определить их характер. Построить график функции.

4.Функция f (x) не определена в точке x = 0. Определить значение f (0) так, чтобы f (x) стала непрерывной при x = 0, если

107

2 tg x

а) f (x) = 1 + x − 1 ,

3 1 + x − 1

в) f (x) = 23x 1 , x

б) f (x) = ln(1 3x) , x

г) f (x) = arcsin x .

Решения

1. Функция

ln |x| при − ∞ < x < 0,

f (x) =

x при 0 ≤ x ≤ 1,

x2 + 1 при 1 < x ≤ 2,

5 при 2 < x < +

задана различными формулами на нескольких промежутках. В каждом из промежутков x < 0, 0 < x < 1, 1 < x < 2, x > 2 функция непрерывна. Следовательно, разрыв может быть только в точках x = 0, x = 1, x = 2. Рассмотрим каждую точку в отдельности:

1) x = 0

lim f (x) = lim ln |x| = −∞.

x→−0 x→−0

Значит, в точке x = 0 функция f (x) имеет разрыв 2-го рода. При этом

lim f (x) = lim x = 0 = f (0),

x→+0 x→+0

т.е. функция f (x) непрерывна справа в точке x = 0. 2) x = 1

f (1

lim f (x) =

lim x = 1 = f (1),

0) = x 1 0

x 1 0

 

→ −

→ −

f (1 + 0) = lim f (x) =

lim (x2 + 1) = 2.

 

x→1+0

x→1+0

Отсюда следует, что x = 1 есть точка разрыва 1-го рода. Так как предел слева в точке x = 1 равен значению функции в этой точке, то функция f (x) непрерывна слева в точке x = 1.

108

3) x = 2

f (2

lim f (x) =

lim

(x2 + 1) = 5,

0) = x 2 0

x 2 0

 

 

→ −

→ −

 

f (2 + 0) = lim f (x) =

lim

5 = 5,

 

x→2+0

x→2+0

 

f (2) = (x2 + 1) x=2= 5.

Значит, в точке x = 2 функция непрерывна. График функции изображен на рис. 3.1.

y

5

2

1

-1

1

2

x

Рис. 3.1

2.При x < 0 функция f (x) = x2 . При x > 0 f (x) = 0. Отсюда следует, что функция f (x) непрерывна в интервалах (−∞, 0) и (0, +). Найдем односторонние пределы функции f (x) в точке x = 0.

 

x→−0 f (x) = x→−0

x

= +∞,

f ( 0)

=

lim

lim

2

 

 

 

 

 

f (+0)

=

lim f (x) = lim

0 = 0 = f (0).

 

 

x→+0

x→+0

 

 

 

Таким образом, функция f (x) имеет в точке x = 0 разрыв 2-го рода, при этом она является непрерывной справа в точке x = 0. График функции изображен на рис. 3.2.

109

y

 

 

0

 

 

 

 

 

 

x

 

 

Рис. 3.2

 

 

 

 

 

3. В интервалах (−∞, 0) и (0, +) функция

 

 

 

 

 

 

1

при x = 0,

 

 

f (x) = x arctg x

 

 

 

1

 

при x = 0,

 

 

 

 

 

непрерывна. При x = 0 имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

f (0) = xlim0 f (x) = xlim0 x arctg

 

= 0,

x

 

→−

 

 

 

→−

1

 

f (+0) = lim

f (x) =

lim x arctg

= 0.

x

 

x→+0

 

 

x→+0

 

Значение функции f (x) в точке x = 0 равно f (0) = 1, а f (0) = f (+0). Следовательно, функция имеет в точке x = 0 устранимый разрыв.

Отметим также, что график функции f (x) имеет горизонтальную асимптоту y = 1, так как

lim

f (x) =

lim x arctg

1

= 1.

x

x→±∞

x→±∞

 

График функции изображен на рис. 3.3

 

 

4. а) Функция

 

 

 

1

 

 

 

f (x) =

1 + x

 

 

 

 

 

3 1 + x − 1

 

 

110

 

 

 

 

 

 

 

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]