MMATAN02

6.Прежде всего заметим, что элементарные функции, изучаемые в школе, непрерывны всюду в своей области определения. Поэтому каждое слагаемое в числителе функции

f (x) = (x2 − 3) · 2x + arctg x · cos x , (x3 + 1) sin3 x

есть непрерывная функция при всех значениях x R как произведение непрерывных функций. Сумма двух непрерывных функций непрерывная функция. Знаменатель тоже непрерывная функция при всех действительных значениях x как произведение непрерывных функций. Знаменатель обращается в нуль x = −1 и x = kπ, k Z. Значит, рассматриваемая функция f (x) будет непрерывной при всех значениях x R, кроме x = −1 и x = kπ, k Z, где она не определена.

7. а) Область определения функции

x − 3 при 3 ≤ x < +∞,

—вся числовая ось (−∞, +∞). На интервалах (−∞, 1), (1, 3), (3, +∞) функция непрерывна. Поэтому разрывы возможны лишь в точках x = 1 и x = 3, в которых изменяется аналитическое задание функции. Найдем односторонние пределы функции в точке x = 1:

Значение функции f (x) в точке x = 1 определяется первым ана-

литическим выражением, f (1) = 2 + 3 = 1. Так как f (1 − 0) = 5

f (1 + 0) = f (1), то в точке x = 1 функция f (x) непрерывна.

102

Так как f (3 − 0) = f (3 + 0) и конечны, то функция f (x) в точке x = 3 имеет разрыв 1-го рода.

Колебание функции f (x) в точке x = 3 равно

|f (3 − 0) − f (3 + 0)| = 9.

определена и непрерывна в интервалах (−∞, 3) и (3 + ∞). В точке x = 3 имеем

Так как f (3 − 0) = f (3 + 0) и конечны, то функция f (x) в точке x = 3 имеет разрыв 1-го рода.

Колебание функции в точке x = 3 равно

|f (3 + 0) − f (3 − 0)| = 27.

можно переписать в виде: f (x) = x+1, и, следовательно, функция f (x) при любом значении x = 1 будет непрерывной. При x = 1

f (1 − 0) = f (1 + 0) = 2 = 5 = f (1).

Значит, в точке x = 1 функция f (x) имеет устранимый разрыв. Достаточно переопределить функцию, положив f (1) = 2, и функция станет непрерывной всюду на действительной оси.

9. Функция

104

2.Исходя из определения непрерывности по Коши, доказать непрерывность функций

3. Пользуясь определением непрерывности функции через приращение аргумента и функции ( lim y = 0), доказать непрерывность

x→0

функций

4.Исследовать на непрерывность, найти точки разрыва и установить их характер:

Ответы

4. а) x = 2 — точка разрыва 2-го рода, б) x = ±3 — точки разрыва 2-го рода, в) x = 1 — точка разрыва 2-го рода, x = 0 — точка разрыва 1-го рода.

106

Занятие 8. Непрерывность функции. Односторонняя непрерывность. Разрывы на графике функции

Задание

1. Исследовать функцию

ln |x| при − ∞ < x < 0,

f (x) =

x при 0 ≤ x ≤ 1,

x2 + 1 при 1 < x ≤ 2,

5 при 2 < x < +∞

на непрерывность, найти точки разрыва и установить их характер. Построить график функции.

2. Найти точки разрыва функции

установить их род, исследовать функцию на одностороннюю непрерывность, построить график функции.

на непрерывность, найти точки разрыва и определить их характер. Построить график функции.

4.Функция f (x) не определена в точке x = 0. Определить значение f (0) так, чтобы f (x) стала непрерывной при x = 0, если

107

3) x = 2

f (2) = (x2 + 1) x=2= 5.

Значит, в точке x = 2 функция непрерывна. График функции изображен на рис. 3.1.

y

5

2

1

Рис. 3.1

2.При x < 0 функция f (x) = −x2 . При x > 0 f (x) = 0. Отсюда следует, что функция f (x) непрерывна в интервалах (−∞, 0) и (0, +∞). Найдем односторонние пределы функции f (x) в точке x = 0.

Таким образом, функция f (x) имеет в точке x = 0 разрыв 2-го рода, при этом она является непрерывной справа в точке x = 0. График функции изображен на рис. 3.2.

109

y

Значение функции f (x) в точке x = 0 равно f (0) = 1, а f (−0) = f (+0). Следовательно, функция имеет в точке x = 0 устранимый разрыв.

Отметим также, что график функции f (x) имеет горизонтальную асимптоту y = 1, так как