Типовые нормы. Понятов
.pdfx3dx
16. |
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1 x8 |
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3 |
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5x |
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1 2 |
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19. |
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dx |
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2 |
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3 |
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2 x |
e |
3x |
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e |
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22. |
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3 |
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dx |
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dx |
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3 |
3x |
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4 |
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25. |
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5 |
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28. |
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dx |
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3 |
8x |
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||||||||||||
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|
x |
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5 |
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31. |
7 |
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2 |
dx |
|||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||
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|
3 |
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34. |
arctgx |
|
dx |
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||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||
|
x |
2 |
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1 |
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x2dx |
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|||||||
37. |
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|||||||||||||||||
x3 4 6 |
|
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||||||||||||||||||
40. |
sin(4x 1)dx |
17. sin |
2x |
dx |
18. |
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|
dx |
3 |
x |
2 |
6x 12 |
|||
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3dx
20.tg (2x 1)dx 21. sin2 (2x 1)
|
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|
dx |
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23. |
5 7x 3 2 dx |
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24. |
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|||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||
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|
(4x 1) |
3 |
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|||||||
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||||||||||
26. |
ex 1 ex dx |
|
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|
27. |
ctg (5x 2)dx |
||||||||||||||||||||||||||||
29. |
|
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|
4dx |
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30. |
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|
|
dx |
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|||||||||||||
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|||||||||||||||||
(3 2x)6 |
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sin2 x 2ctgx 1 |
||||||||||||||||||||||||||||
32. |
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|
sin 2xdx |
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33. |
|
arcsin xdx |
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|||||||||||||||||||||||
5 cos 2x |
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1 x2 |
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||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||
35. |
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3 ln x |
dx |
36. |
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|
cos xdx |
|
|
; |
|
|
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||||||||||||||||
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3 |
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||||||||||||
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|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
8 3sin x |
|
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|||||||||||||||||||
|
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|
x2dx |
|
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|
39. ecos |
2 |
x sin 2xdx |
||||||||||||||||||||||||
38. |
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|||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||
|
1 x6 |
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4.3. Интегрирование по частям
Вычислить неопределенный интеграл, результат проверить дифференцированием.
1. |
x sin xdx |
|
2. |
x cos 2xdx |
|
3. |
(x 4)sin 2xdx |
||||||
4. |
xe3xdx |
|
5. |
xe xdx |
|
6. |
x cos(3x 1)dx |
||||||
7. |
x sin |
x |
dx |
|
8. |
x2 sin 5xdx |
|
9. |
x2 cos(4x 1)dx |
||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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10. |
ln xdx |
11. |
x ln(x 1)dx |
12. |
(x 3)sin xdx |
||||||||
13. |
(x 2) cos xdx |
14. |
(x 5)e2 xdx 15. |
x2 sin(2 5x)dx |
|||||||||
16. |
x2e 2 xdx |
|
17. |
ln(x2 1)dx |
|
18. x2 ln(1 x)dx |
|||||||
19. |
x2 sin |
x |
dx |
|
20. |
(3x 1)e 2 xdx |
21. (2 4x)sin 5xdx |
||||||
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
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|
21 |
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|
xe 4 x |
|
x cos(7x 5)dx |
|
|
x |
arccos x |
dx |
||||||||||||
22. |
|
|
|
|
dx |
23. |
24. |
|
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|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
1 x2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
25. |
|
|
xdx |
26. |
(2x 4)e3x dx |
27. |
(x 3)cos 4xdx |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
sin |
2 |
5x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 cos x dx |
|||||||||||
28. |
(x 4)e 2 xdx |
29. |
(x 1)2 exdx |
30. |
|||||||||||||||||
31. |
|
|
xdx |
32. x arccos |
1 |
dx |
33. |
x2 sin 3xdx |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
cos |
2 |
4x |
x |
|
|||||||||||||||||
34. |
x ln 2 xdx |
35. |
x ln x2 1 dx |
36. |
ex ln 1 ex dx |
|
|||||||||||||||
37. |
x cos 2xdx |
38. |
xarctgxdx |
|
39. |
x2e5 x dx |
|
||||||||||||||
40. |
x2x dx |
|
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|
|
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|
4.4. Интегралы от дробно-рациональных функций
Вычислить неопределенный интеграл.
x2 2x 3
1.(x 2)(x2 3x 7) dx
3. |
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|
x |
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 1)(2x 1) |
||||||||||||||||
5. |
|
|
x4 |
2x2 |
3 |
dx |
||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
16 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
|
x |
3x |
|
dx |
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
|
|
|
x |
|
|
dx |
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
4x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
11. |
|
|
|
2x2 5 |
|
|
|
dx |
||||||||||||
|
x |
4 |
|
5x |
2 |
|
6 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
13. |
|
|
|
3 x2 |
|
dx |
||||||||||||||
x(x2 |
64) |
|||||||||||||||||||
15. |
|
x3 1 |
dx |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
3 |
x |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
17. |
|
x5 |
x4 8 |
dx |
||||||||||||||||
|
|
x |
3 |
4x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
x2 |
4x 1 |
dx |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
3 |
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
2x2 41x 91 |
|
dx |
||||||||||||||||
(x |
1)(x 3)(x |
4) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
6. |
|
|
|
x2 4x |
|
dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
3 |
|
25x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2x |
2 |
3x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
10. |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
4 |
3x |
2 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
12. |
|
|
|
|
x2 3x 2 |
|
dx |
||||||||||||||||||
|
|
x |
3 |
2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x 2 2 |
|
dx |
|
|
|
|
||||||||||||||||
14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1
16.(x 3)(x 2) dx
x2 2x 6 dx(x2 9)(x 1)218.
22
19. |
|
5x3 2x2 4x 1 |
dx |
|||||||||||||
x(x 3)2 (x 2)2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
dx |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
21. |
(x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2)(x 9) |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
23. |
|
3x2 2x 3 |
|
dx |
|
|||||||||||
|
|
x |
3 |
x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
25. |
|
|
|
|
3x2 |
|
dx |
|
|
|
||||||
|
|
x |
3 |
|
27 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
27. |
|
|
2x2 5x 1 |
|
dx |
|
||||||||||
|
x |
3 |
|
2x |
2 |
x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1
29.x4 4x2 4 dx
31. |
|
x 1 dx |
|
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
3 |
2x |
2 |
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
33. |
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
4 |
5x |
2 |
6 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
35. |
|
|
|
xdx |
; |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
4 |
81 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
37. |
(2x 1)dx |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
3 |
27 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
39. |
2x4 5x |
|
dx |
|||||||||
x |
2 |
x 6 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||||||
(x 1)2 (x2 |
1) |
||||||||||||||||||||||||||
22. |
|
|
|
|
|
2x 7 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
2 |
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
24. |
|
|
|
(x 1)3 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
26. |
|
|
|
|
|
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|
5x 2 |
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
2 |
|
2x 10 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
28. |
|
|
|
|
|
|
|
|
7x 15 |
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
3 |
|
2x |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|||||||||||||||
30. |
|
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|
|
x3dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
2 |
|
x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
32. |
|
|
|
x3 x dx |
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x |
4 |
|
|
5x |
2 |
|
6 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
34. |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
3 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
36. |
|
|
|
|
|
x2 x 1 |
dx; |
||||||||||||||||||||
|
|
x |
4 |
|
|
3x |
2 |
|
4 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
38. |
|
|
|
|
|
2x 1 dx |
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
3 |
|
|
3x |
2 |
|
|
|
4x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
40. |
|
|
|
|
x2 3x 2 |
|
|
dx |
|||||||||||||||||||
x(x2 2x 8) |
4.5. Интегралы от дробно-иррациональных функций
Вычислить неопределенный интеграл.
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x |
|
|
dx |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|||||
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x 1 3 x 1 2 |
|
x 3 x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
1 dx |
|
|
|
|||||||||||||||||
3. |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x3 |
x2 |
|
|
|
|
|
x3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
dx |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
4 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2x 1 3 2x 1 2 |
3 x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
7. x 3 x2 3 x dx
x
9. x 3 x2 dx
3x 1
11.1 6 x 1dx
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||||||||
13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|||||||||
x |
|
x 3 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 6 |
|
|
1 dx |
|
||||||||||||||
15. |
|
x |
x |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
x 1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
dx |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
17. |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x2 4 x3 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||
19. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 2 |
|
|||||||
|
x 3 3 |
|
32x
21.2x 3 4x2 dx
62x 3
23.2 3 2x 3dx
|
|
|
|
|
|
3 |
2dx |
|
|
|
|
||||||
25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
3 9x2 |
|
|||||||||||
3x |
3x |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
27. |
|
x |
3 2 |
x |
dx |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||
29. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 2 2 |
|
||||||
3x 2 3 |
|
3x
31.4x3 3 x2 dx
7
33. 2x 3 4x2 3 2x dx
6x 5
8.1 3 x 5dx
10. |
|
|
4 |
3 |
|
dx |
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
x3 3 |
x2 |
|||||
x |
3 5x
12. 5x 3 25x2 dx
4 x
14. 4 x3 3 x2 dx
16. x 3 1 x dx x 1
2
18. x 3 x2 4x dx
1 4x dx
20. 2 x 4x3
4
22. 3x 3 9x2 3 3x dx
5dx
24. 48x3 3 4x2 42x
42x
26.48x3 3 4x2 dx
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
28. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 9x2 4 |
|||||||||||||||||||||
|
|
3x |
3x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
30. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
4x |
3 16x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 3x |
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||
32. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3x |
3 |
|
|
|
9x2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 4 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
34. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
24
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
4 |
|
|
|
|||||||||||
35. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
4x 3 3 |
|
|
|
|
2x 3 4x2 |
2x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
|
dx |
|
|
|
|
|
3 |
6x |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
37. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x 3 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
6x 3 36x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
39. |
|
|
3 5x 3 |
|
|
|
dx |
|
|
40. |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
dx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 6 |
5x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2x |
2x 3 |
|
4.6. Интегралы от тригонометрических функций
Вычислить неопределенный интеграл.
1. sin2 2x dx
3. sin 5x cos 3xdx
dx
5. sin x 2 cos x 1
7. sin 2 x cos3 xdx
dx
9. 5sin 2 x 3cos2 x 4
11. sin3 x cos3 xdx
cos3 x
13. sin 2 x dx
15. cos 2x cos 3xdx
17. sin5 x cos2 xdx
dx
19. 3 2sin x cos x
21. sin 6x cos xdx
sin5 x
23. cos 2 x dx
sin xdx 25. 1 sin x
2. cos4 xdx
cos 2 x
4. sin3 x dx
cos xdx 6. 2 sin x
8. sin 4xsin 7xdx
10. sin 4 xdx
dx
12. cos x 3sin x
14. sin 4 x cos3 xdx
16. sin 4 x cos5 xdx
18. cos3 xdx
20. cos2 x sin3 xdx
dx
22. sin x cos x
dx
24. (sin x cos x)2
dx
26. 5sin x 3cos x 3
25
27. |
sin3 xdx |
|
|
28. |
sin 2x sin 5xdx |
||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
29. |
|
sin x |
dx |
|
|
30. |
sin3 x cos4 xdx |
||||||||||||||
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
31. |
sin x 3 |
dx |
32. |
|
|
|
|
dx |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 3cos x |
||||||||||||||
|
|
1 cos x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
cos8x cos 7xdx |
34. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
33. |
|
|
sin x cos3 xdx |
||||||||||||||||||
35. |
sin2 x cos2 xdx |
36. |
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
4sin 2 x 9cos2 x |
|||||||||||||||||||||
|
3 |
|
sin5 xdx |
|
sin2 x cos5 xdx |
||||||||||||||||
37. |
cos x |
38. |
|||||||||||||||||||
39. |
|
|
cos2 |
xdx |
|
40. |
|
|
|
dx |
|
||||||||||
|
4 3sin |
2 |
x |
3 |
4sin x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Раздел 5. Определенные и несобственные интегралы
5.1. Определенные интегралы
Вычислить определенные интегралы.
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
dx |
3 |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
|
|
xe x dx |
|
2. |
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2x2 |
3x 2 |
|
sin |
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
dx |
||||||
|
|
ln(x 1)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. |
|
5. |
x2 |
7x 12 |
|
|
|
6. |
x2 |
4x 5 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7. |
|
|
|
|
|
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
|
|
x sin xdx |
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
cos |
|
x |
|
x2 |
|
3x 4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
8 |
|
xdx |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
ln(x 3)dx |
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
2 |
6x |
5 |
sin |
2 |
2x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dx |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
13. |
xe 2 dx |
|
14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
3x2 x 2 |
|
|
|
6x |
x 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x cos xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
sin xdx |
|||||||||||||||||||||
16. |
17. |
x2 2x 3 |
|
|
|
18. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
dx |
||||||||
|
|
x2e 2 x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
19. |
20. |
|
3x2 10x 3 |
|
|
|
21. |
x2 |
|
8x 7 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2x2 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
22. |
|
x sin 2xdx |
23. |
|
|
x3 9x |
dx |
|
|
|
24. |
|
ln(x 5)dx |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
e 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
25. |
|
|
|
|
|
|
26. |
|
ln(x 4)dx |
27. |
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3x2 6x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
4x2 |
3x 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 ln x |
dx |
|
2 |
|
dx |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
28. |
|
|
x |
29. |
|
|
(x 1)(x 2)(x 3) |
|
|
30. |
x2 |
|
2x 1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
dx |
|
||||||||||||||
31. |
|
|
|
|
|
32. |
|
(x 1) cos |
|
dx |
|
|
|
33. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x cos x |
||||||||||||||||||||||||||||
1 x4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dx |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x arctgx dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
34. |
|
|
|
x ln xdx |
35. |
|
|
|
36. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
x 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37. |
|
x sin xdx |
38. |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
39. |
|
sin 2x cos2 xdx |
|||||||||||||||||||||||||
x2 2x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40. |
x ln 1 x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.2. Вычисление площади фигуры, ограниченной линиями
1. |
y x2 4, |
y 0 |
|
|
|
||
2. |
x y2 3, |
x 0 |
|
|
|
||
3. |
xy 4, |
x 1, |
x 4, |
y 0 |
|
||
4. |
y x2 2, |
x 1, |
x 2, |
y 0 |
|||
5. |
y sin x, |
x |
, |
x , |
y 0 |
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
6. |
x 5 y2 , |
x 0 |
|
|
|
||
7. |
y2 2x 1, |
x y 1 0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
27 |
8. xy 7, |
y 8 x |
|
|
|
|
|
|||
9. y x2 , |
|
y 2 x |
|
|
|
|
|
||
10. |
y 4 x2 , |
y x 2 |
|
|
|
||||
11. |
x y2 |
4, |
y x 2 |
|
|
|
|||
12. |
xy 4, |
|
y 5 x |
|
|
|
|
||
13. |
y x2 , |
y 2 x2 |
|
|
|
||||
14. |
y2 2x 4, |
x 0 |
|
|
|
||||
15. |
y 2 x3 , |
y 8, |
|
x 0 |
|
|
|
||
16. |
xy 6, |
|
y x 1, |
x 6, |
y 0 |
|
|||
17. |
x 4 y2 , |
y x 2 |
|
|
|
||||
18. |
y 6x x2 , |
y 0 |
|
|
|
||||
19. |
y x2 |
2, |
y 4 x, |
y x 4, |
y 0 |
||||
20. |
xy 5, |
|
x 2, |
x 5, |
y 0 |
|
|||
21. |
y x2 |
2, |
y 4 x, |
y x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
22. |
y |
|
x 1, |
x 0, |
x 3, |
y 0 |
||||||||||
23. |
y x2 1, |
y 5 |
|
|
|
|
|
|||||||||
24. |
x y 2 , |
x 4, |
|
y 0 |
|
|||||||||||
25. |
y x3 , |
x 2, |
|
y 0 |
|
|||||||||||
26. |
y2 4x, |
|
x 6, |
|
|
y 0 |
|
|||||||||
27. |
y x2 3, |
x 4 |
|
|
||||||||||||
28. |
xy 6, |
y 7 x |
|
|
||||||||||||
29. |
x 4 y2 , |
y 2 x |
|
|||||||||||||
29. |
y cos x, |
x |
, |
x , |
y 0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
30. |
y x2 4x, |
y x 4 |
|
|||||||||||||
31. y |
3 |
, |
|
|
y x 4 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
32. y 3x , |
|
y 3 x , |
y 3 |
|
||||||||||||
33. y |
4 |
|
, |
|
|
y |
x2 |
|
, |
x 3 |
|
|||||
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
34. y x2 , |
|
y |
x, |
x 4 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
35. y |
2 |
, |
y x 1 0, |
x 3 |
||
x |
||||||
|
|
|
|
|
||
36. y |
3 |
|
, |
y x 4 0 |
|
|
x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
37. y ex , |
y e x , |
x 1 |
|
||||
38. y x3 , |
y x2 2x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
39. y x2 , |
y x, |
x 4, |
y 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
||
40. y x, |
x y 2, |
y 0 |
|
5.3. Несобственные интегралы
Вычислить несобственные интегралы или сделать вывод об их расходимости.
3dx
1.1 (x 1)3
dx
4. 1 x6
dx
7.
4 x
|
0 |
|
|
|
|
|
10. |
e5 x 1dx |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
dx |
||||
13. |
|
|
|
x |
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
xe 2 xdx |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||
|
|
|
|
|||
19. |
|
|
|
|||
4x2 4x 1 |
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||
|
|
|
|
|||
22. |
|
|
|
|
||
|
x2 6x 8 |
|||||
|
|
|||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
sin 3xdx |
|
|
0 |
|
|
|
|
5. |
e x dx |
|
|
0 |
|
|
|
dx |
|
|
|
8. |
|
|
x2 4x 4 |
||
|
4 |
|
dx
11. 8 3 x
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
e3x dx |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
||||||
|
xe |
|
dx |
|
||||||
17. |
2 |
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||||||
|
13 |
|
|
|
|
|||||
20. |
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
(x 3)5 |
|
|||||||||
|
|
dx |
|
|||||||
23. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x 2 |
|
||||||||
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
3.ex 1dx
6. cos 7xdx
0
9. x2e 3x3 dx
1
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12. |
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||||||||
15. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x2 |
2x |
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||||||||
18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x ln3 x |
|
|||||||||||
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
|
||||||
21. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 (2x 3)4 |
|
||||||||||||
|
|
dx |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
ln x |
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||||||||||
25. |
cos 5xdx |
26. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 x |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
(3x 2)3 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
28. |
e5 x 2dx |
29. |
xe x 2 dx |
|
|
|
30. |
|
(3x 4)7 dx |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
31. |
xe 3 dx |
32. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 2) |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3 |
|
|
(x 3)5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
34. |
|
|
|
|
|
|
|
35. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
5 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
2x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
3 |
x |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xe 2 x |
2 |
dx |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
37. |
|
|
|
|
38. |
|
|
|
|
|
39. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
(x 3)3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4dx
40.3 x2 9
Раздел 6. Дифференциальные уравнения
6.1. Уравнения с разделяющимися переменными
Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.
1. (2x 3) y 1 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2. 2x 2xy2 2 x2 y' 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
1 y |
4. 20xdx 3ydy 3x |
2 |
ydy 5xy |
2 |
dx |
|||||||||||||||||||||
xy |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. |
ydx ctg xdy 0 |
6. y 1 x2 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
7. |
y'cos x ( y 1)sin x |
8. 3(x2 y y)dy |
|
9 y2 dx 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
9. |
xy |
1 x2 |
10. yy |
1 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11. y 10x y |
12. 1 x2 y3dx y2 |
1 x2dy 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x 2y |
14. 1 x |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
13. y cos |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
y |
2 |
9 |
|
|
|
|
|
3y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
15. xy |
|
|
16. 5 x y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
17. x |
2 |
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1 2x y 0 |
18. 3x |
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2 |
dx |
0 |
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y |
1 dy y |
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