Типовые нормы. Понятов
.pdf23. |
y ex |
ctgx |
|
2 |
2 |
|
3 |
||||
|
5 |
|
5x |
25. |
y 2ex cos x |
|
2 |
|
3 |
|||||
3 |
|
|
|
|||||||
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
27. |
y |
8 |
|
3sin x log5 x 5 |
||||||
|
|
|
||||||||
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
3cos x 8x |
4 |
|
|
|
|||||||||||
29. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3 x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
31. |
y |
x5 |
|
4ln x 7sin x 3 |
||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33. |
y 6x |
|
|
|
4 |
|
8tg x 7 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
35. |
y 43 |
|
x 3ln x arcsin x 5 |
|||||||||||||||||||
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
37. |
y |
|
|
|
|
x 5cos x 3 |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y log2 |
|
|
x 5sin x |
|
4 |
|
|
8 |
|||||||||||||
39. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
24. y arcctg x ln3x 5 x 1
26. y arcsin x 21x2 7x 1
|
y tg x |
|
|
|
3 |
|
|
2ln x 2 |
|||||||||||||||
28. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x5 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||
30. |
y |
|
3 |
|
|
|
|
ln x |
|
arctg x 4 |
|||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||
32. |
y |
|
4x6 |
|
|
ex 4cos x 2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
34. |
y |
|
|
6 |
|
|
3ctg x ex 5 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
36. |
y 9x |
x3 |
|
arctg x 7 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
38. |
y 2 |
|
3 |
|
|
|
|
4arctg x 7x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3 x |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
40. |
y 4 |
|
|
x5 |
|
3tgx 2ex |
2.2. Правила дифференцирования
Найти производную функции.
x |
|
x |
|
|
x2 |
2ln x |
||
1. y sin x |
|
2 |
|
2. |
y |
|
|
|
2 |
arcsin x |
|||||||
|
|
|
|
|
3. |
y arctgx ex |
4. |
y arcctgx cos x |
||||||||||||||
5. |
y ex arccos x |
6. |
y sin x cos x ln x |
||||||||||||||
7. y arcsin x 2x x2 |
8. |
y (x2 sin x)ln x |
|||||||||||||||
9. |
y |
arccos x |
10. |
y |
arctgx |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
x |
2 |
ln x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
11. |
y |
|
ln x 3x4 |
|
12. |
y |
x2 ex |
|
|||||||||
|
arccos x |
arcctg x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
13. |
y |
|
arcsin x 1 |
14. |
y |
x2 sin x |
|||||||||||
|
|
|
e |
x |
1 |
|
ln x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
15. |
y |
ex sin x |
|
x arccos x |
|||
|
|
17. |
y |
tgx |
sin x |
||
|
|
|
|||
x |
|||||
|
|
|
19. |
y (arctg x 1)ex |
|||||||||
21. |
y |
|
sin x 3x |
|
|
|||||
|
|
ctgx |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23. |
y arcsin x ln x |
|
|
|||||||
25. y |
arccos x ex |
x3 |
||||||||
27. y |
tgx cos x |
|
|
|
||||||
|
log3 x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
29. |
y |
arcsin x ex |
|
|
||||||
|
ln x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
31. |
y |
arcctgx x2 |
|
|
||||||
|
2 |
x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33. |
y |
lg x 3x5 |
|
|
|
|||||
arcsin x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
35. |
y x4 |
cos x ex |
|
2ex arcsin x
37.y
1cos x
x arccos x
39.y 7x
16. |
y |
3x 3x |
|
|
|
|
||||||
arctgx |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
18. |
y ln x arcsin x |
|
|
|
||||||||
20. |
y |
|
arcsin x 3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
x |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|||
22. |
y arccos x |
|
|
x |
|
|
||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
24.y ctg x 3x
26.y arctg x ln x
28. |
y |
ex |
2arctgx |
|||
|
|
ctgx |
||||
|
|
|
|
|
||
30. |
y |
|
|
ctgx |
||
|
|
|
|
|
||
|
5 |
x |
2x |
|||
|
|
|
|
32. y arccos x ln x
34. |
y |
ln x arctg x |
|
|||
x2 2 |
||||||
|
|
|||||
36. |
y log5 x arcsin x |
|||||
38. |
y |
2ln x x2 |
|
|||
ctgx |
||||||
|
|
|||||
|
y |
3x5 sin x |
||||
40. |
|
|
|
|
||
log2 x |
||||||
|
|
2.3. Производные сложных функций
Найти производную функции.
1. |
y sin3 |
3x |
|
2. |
y cos2 5x |
||
|
|||||||
|
4 |
|
|
y tg3x cos 2x 2 |
|||
3. |
y sin 3x cos 5x |
4. |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
5. |
y ctg 3 (x 2x2 ) |
6. |
y 3 sin 3x |
7. y |
e2 x e 3x |
8. |
y |
sin 5x |
||
|
|
|
|
|||
|
x 1 |
cos 4x |
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
12 |
|
|
9. y (x2 3x 2)
11. |
y (sin 4x 1)5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
13. |
y |
sin |
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
cos |
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
15. |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(1 |
cos 4x) |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
17. |
y |
|
|
1 sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(x |
x |
2 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
19. |
y |
ln |
|
|
|
|
x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
21. |
y (tg 4x 3)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
23. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
(1 |
|
|
|
|
cos 2x ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 (ln 2x tg3x)4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
27. |
y |
|
|
|
|
1 2x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ln(x x |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
29. |
y |
3 |
|
|
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
e |
3x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
31. |
y x2 |
|
|
1 2x x2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
33. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
x4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
35. |
y x 2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
37. |
y 2x 1 5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
sin x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
39. |
y x2 1 cos2 x |
|
|
|
|
|
10. |
y ln(x4 |
3x 2) |
|
|||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
(2x |
sin 3x)2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
14. |
y |
|
|
|
|
|
x2 |
1 |
|
|
||||||||
|
ln(1 2x) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
16. |
y |
tg 2x 5 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ln(3x |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
18. |
y 4 |
|
|
ax 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 bx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
20. |
y |
sin(2x 1) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
cos x 1 |
|
|||||||||||||
22. |
y sin(3x) e4 x 2 3x |
|
ln 2x 1
24.y sin(3x)
26. |
y |
|
sin(3x 1) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
cos 2x |
|
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
28. |
y |
tg 1 3x2 |
|
|
|||
|
cos 5x |
|
|||||
|
|
|
|
30.y 3 x 1
x2
32. y ln(cos(3x2 2x)) 34. y ln2 3x 1 3x 1 2
36.y x2 2x 1
38.y sin4 2x2 1
40y 1 sin 2x 4
2.4. Производные от неявно заданных функций
Найти производные от неявно заданных функций с помощью: а) дифференцирования сложной функции;
13
б) частных производных.
1. sin y cos x |
|
y x |
3. ln sin y x y2 |
x3 |
5. arcsin y 2x y3 x2
7. yx cos x y tg x
9. arcsin x y2 cos y x
11. ctg xy y2 x4
13. |
arcctg y y x2 cos x |
|||
15. |
cos xy y3 sin y x |
|||
17. |
tg x y x2 |
sin y |
||
19. |
tg x y x ln y x |
|||
21. |
cos y2 x2 x y |
|||
23. |
x xy sin y3 |
|||
25. |
arctg xy x3 y3 |
|||
27. |
y2 cos x tg x y |
|||
29. |
ln x y ex |
sin y |
||
|
|
|
|
|
31. |
ln y cos x |
|
y x |
|
33. |
ln cos y x y3 x3 |
|||
35. |
arctg x2 y x y2 x2 |
|||
37. |
yx ln x y sin x |
|||
39. |
cos x y2 ln y x |
2. cos y x arcsin x y
4. y x cos x y ctg x
6. y2 x y sin y x
8. sin yx |
|
y2 x2 |
10. sin xy y2 cos y x
12.cos y x x y
14.arcsin x y y3 x2
16.sin y x y2 x2
18.y2 x2 cos x y 2x
20.tg x y x2 cos y x
22.y2 x2 cos x y 2x
24.arcctg x y x2 xy
26.xy sin x tg x2 y2
28. |
arcsin xy x3 y2 |
||
30. |
arccos x y x2 cos y |
||
32. |
cos y x 2y x |
||
34. |
y x sin x y tg x |
||
36. |
y3 1 x cos y x |
||
|
2y x |
|
|
38. |
y2 x2 |
||
40. |
cos xy y2 sin y x |
2.5. Производные от функций, заданных параметрически
1. |
x tg t, |
y |
1 |
|
. |
|
||
|
|
|
|
|||||
sin |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
t |
|
||
3. |
x cos 3t, |
|
y sin2 t |
|
||||
5. |
x t2 t3 , |
y cos 2t3 |
|
|||||
7. |
x t 3t2 , |
y cos 3t 5 |
||||||
9. |
x t ln sin t, |
y ln cos t |
||||||
11. x cos2 t, |
y 4sin t |
|
2. x arcсrct,
4. x 2t t2 ,
6. x 2t2 t,
8. x 2 5t2 ,
10. x 3x 1,
12. x 3sin 2t,
14
y 4 cos3 t
y 3t 5 3 y ln2 t
y sin 2t 3 y tg 4t 1
y 3cos2 t
13. |
x 8t3 , |
|
y ln 3t 5 |
|||||
15. x cos3 t, |
|
y ln t |
||||||
17. |
x sin 2 5t , |
y 5 t3 |
||||||
19. |
x t3 t, |
|
y ln(2t 3) |
|||||
21. |
x tg 2 t, |
y sin t. |
||||||
23. |
x cos(5t 2), |
y 2sin t |
||||||
25. |
x t t5 , |
|
y cos 2t2 3 |
|||||
27. |
x cos4 t, |
|
y 2t 3t2 |
|||||
29. |
x 2 ln tg t, |
y ln ctg t |
||||||
31. |
x 2cos3 t, |
y arcsin t |
||||||
33. |
x 2t4 , |
|
|
y ln 5t 7 |
||||
35. x |
1 |
|
|
, |
|
y сtg t. |
||
|
|
|
|
|||||
cos |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
t |
|
|
|
||
37. |
x sin 8 3t , |
y 2 3t2 |
||||||
39. |
x ln(7t 2), |
y t5 3t2 |
14. |
x 1 cos 2t, |
y sin 2t |
||||||||
16. x |
|
1 t |
, |
|
y 2 4t 3 |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
1 t2 |
|
|
|
|
|||||
18. |
x ln2 t, |
y t3 1 |
||||||||
20. |
x t4 |
5t, |
y 5 t 2 |
|||||||
22. |
x cos t, |
y ln3 t |
||||||||
24. |
x 2 t3 , |
y 4t 3 9 |
||||||||
26. |
x t3 3, |
y ln(2t 7) |
||||||||
28. |
x t 8t2 , |
y tg 2t 3 |
||||||||
30. |
x ln 2x 3 , |
y arctg t |
||||||||
32. |
x sin t3 , |
y arccos t |
||||||||
34. |
x 1 cos t, |
y arcsin 2t |
||||||||
|
|
|
|
2 t3 |
|
5 |
||||
36. |
x |
|
|
|
|
|
, |
|
y 9 6t |
|
1 |
t |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
38. |
x ln4 t, |
y t2 3 |
||||||||
40. |
x t7 |
6t, |
y 2 t 9 |
2.6.Правило Лопиталя
Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.
1. lim |
|
4x3 3x2 |
|
2. |
lim |
|
sin 5x |
|
3. |
lim |
|
|
tg3x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
sin |
2 |
|
x |
|
|
tg 6x |
ln(1 x) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
4. lim |
|
ex 1 |
|
|
|
|
5. |
lim |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
6. |
lim |
|
sin 3x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
sin 4x |
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
1 |
ln(x 1) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
x 0 e |
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
7. lim |
e3x |
|
|
|
|
|
|
8. lim |
tgx sin x |
9. |
lim arcsin x ctg x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x sin x |
||||||||||||||||||||||||||
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
10. |
lim |
1 cos x |
11. lim |
|
x 1 |
|
12. lim |
|
ln(2x 3) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
ln x |
|
3x 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x sin x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||
13. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
tg 3x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 xsin x |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
lim |
1 cos 2x |
17. lim |
|
|
e3x e2 x |
|
18. lim |
|
x arctgx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 cos 3x |
|
|
|
sin x |
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
x 0 |
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 tgx
19. lim cos 2x
x
4
22. |
lim |
ln 3x |
|
|
|
|||
ctg 4x |
||||||||
|
x 0 |
|||||||
25. |
lim |
|
2x2 |
|
|
|
||
|
3x |
1 |
||||||
|
x 0 e |
|
||||||
28. |
lim |
1 cos 3x |
||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
4x |
2 |
|
||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
1 2 sin x
31. lim
x 6 1 3tgx
|
|
x2 |
|
|||
34. lim |
|
|
. |
|
|
|
|
2 x |
|
||||
x e |
|
|
|
|
||
lim |
|
ex e x |
|
. |
||
|
ln 1 x |
|||||
37. x 0 |
|
1 e2 x
40. lim ln 1 2x
x 0
|
|
|
|
ex esin x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||
20. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
x 1 x 1 |
|
ln x |
|||||||||||||||||||||||||
23. lim |
|
|
e2 x 1 |
|
|
|
|
24. |
lim |
|
|
sin 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
sin 3x |
|
|
|
|
|
|
ln(x 3) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x arctg3x |
||||||||||||||||||
26. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
27. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
3 |
2x |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x 0 sin 3x |
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgx sin 2x |
||||||||||||||||
29. lim |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
30. |
lim |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4x sin 3x |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|||||||||||||||||||||||
32. lim |
cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
33. lim x ln2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
1 tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35. lim |
1 x2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
36. lim |
x ln 1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ex e x 2x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||
38. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x sin x |
|
1 e |
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
x |
2.7. Частные производные
Найти для функции двух переменных z = f(x, y) все частные производные первого и второго порядков, полный дифференциал и градиент.
1. |
z cos x2 y |
|||||
|
|
|
|
|
||
4. |
z |
2x3 |
|
|||
y |
||||||
|
|
|
||||
7. |
z exy 2 ln x |
10. z 2x3 y2 y 1
13. z |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 y |
|
||
|
|
|
16. z x2 ln x y 19. z arctg x3 y 20. 22. z ex y2
2. z 3x 2 y 2 |
|
3. |
z x ln 2x 3y |
|||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
z |
x y |
||||||||||||
5. |
z |
|
|
|
|
|
3 |
|
6. |
|
|
|
|
|
|
|||
y |
2 |
|
|
x |
y |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
8. |
z sin xy2 |
|
9. |
z y ln 7x 4y |
||||||||||||||
11. z ln 2x 5y |
12. z cos 5x 6y |
|||||||||||||||||
14. z |
|
|
2 y |
|
|
|
|
x3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. z |
|
|
|
|
x2 |
||||
|
2x y |
|
|
y |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
17. z 3xy3 2x |
|
18. z sin 4x 5y |
||||||||||||||||
z x cos x 2y |
21. z y sin 7x y |
|||||||||||||||||
23. z |
|
|
|
|
2 y 2 24. |
z xcos xy |
||||||||||||
|
|
|
x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z x 3y 3 |
|
26. z x sin 2x y |
27. z ex 2 y |
|
|||||||||||||||
25. |
|
y |
||||||||||||||||||
28. |
z sin x2 y |
|
29. z ex 2 y 2 |
30. |
z ctg 5y ln 2x |
|||||||||||||||
31. z |
|
xy |
|
|
|
32. |
z y4 x3 tg 5x |
33. |
z 3y5 x2 y 1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3x y |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z cos x3 6y |
|
|
|
|
|
|||||||||||
34. |
z exy 2 |
2x 35. |
36. |
z 2yx 2 y3 |
||||||||||||||||
|
z |
1 |
|
x |
2 |
|
|
|
38. z |
|
y |
|
z |
ln x y |
|
|
||||
37. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39. |
|
|||||||||
|
x 2 y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x2 y3 |
|
|
3x y |
x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
40. |
z arcctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Раздел 3. Исследование функции
3.1. Исследование функций
Исследовать функции и построить графики.
1. |
y |
|
|
x |
|
|
|
||
x |
2 |
1 |
||
|
|
|
4. y |
|
x2 |
|
x |
2 |
1 |
|
|
|
7.y x2 x12
(x 1)2
10.y (x 1)3
13. y(x3 1) x4
16. y 3 x2 x
19.y 3 x2
x2
22. y 4x x3
3
25. y(x 1) x3
28. y x |
|
1 x |
||||
31. |
y |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
x |
2 |
9 |
||||
|
|
|
|
2. |
y |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. y |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8. |
y |
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
11. |
y |
|
|
2x 1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(x 1) |
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
14. |
y (x2 |
|
1)3 |
||||||||||||||||
17. y |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
||||||||||
2(x 1) |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
20. y |
(x 1)2 |
|
|
|
|||||||||||||||
(x |
2 |
1) |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
23. |
y |
x5 |
|
x4 x3 |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26. y x2 (1 x) |
|||||||||||||||||||
29. x2 y2 |
4(x 1) |
||||||||||||||||||
32. |
y 3x x 2 2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.y 32x2 (x2 1)3
6.y 1x 4x2
9. y 1 3 (x 4)2
12. |
y3 x2 (x2 4)3 |
|||||
15. |
xy (x2 1)(x 2) |
|||||
18. |
y2 x2 x4 |
|||||
21. |
у |
x2 |
6x 13 |
|||
|
x 3 |
|
||||
|
|
|
||||
24. |
y |
|
x |
|||
|
|
|
|
|||
(x 1)(x 4) |
||||||
|
|
|||||
27. |
y x3 (x 2)2 |
30. x2 y2 (x 1)(x 2)
33. y 3x2 x3
34. |
y |
2x |
35. |
y |
|
1 |
36. |
y x |
1 |
|
||
|
|
x2 |
5x 6 |
|
|
|||||||
x 4 |
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
37. |
y x2 2x 4 |
38. |
y 3x x2 1 |
39. |
y x2 x 4 |
|||||||
40. |
y 4x x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2. Наибольшее и наименьшее значение функции
Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=f(x)на отрезке
[a;b].
1. y 3x4 16x3 2, [ 3;1]
3. y 2x3 32 x2 x, [1;2]
5. y x2 4x 3, [0;3]
7. y 6x2 x3 , [ 1;6]
9. y sin 2x x, [ 2 ; 2 ] 11. y x3 3x 1, [0,5;2] 13. y x3 12x 7, [0;3]
15. y x5 53 x3 2, [0;2]
17. y 3x4 6x2 , [ 2;2] 19. y x4 4x, [ 2;2]
21. y arctg 11 xx , [0;1]
23. y 8 0.5x2 , [ 2;2]
25. y x3 3x 3, [ 3;1,5]
27. y xx 11, [0;4]
29. y x4 2x 5, [ 2;2]
2. y 2x3 15x2 24x 5, [0;3]
4. y x3 2x2 3x 1, [ 3;1] 3
6. y x3 3x2 6x 2, [ 1;1]
8. y 3 x 1 3 x 1, [0;1]
10. y 2sin x cos 2x, [0; 2 ]
12. y 2x3 3x2 12x 1, [ 2;4] 14. y x2 6x 13, [0;6]
16.y x2 1, [ 2;3]
x2 1
18. |
y x5 5x4 x3 1, [ 1;2] |
|||||||||||||
|
y x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
20. |
|
|
x, [0;4] |
|||||||||||
22. |
y |
|
1 |
|
x2 |
1 |
x3 , [1;3] |
|||||||
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||
24. |
y 3x4 6x2 1, [ 2;2] |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, [0;3] |
||||||
26. |
y 3 |
|
x2 |
2x 2 |
||||||||||
|
y |
|
x2 x 1 |
|||||||||||
28. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, [0;1] |
|||
1 |
x |
x |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
30. |
y |
|
|
100 x2 , [ 6;8] |
18
Раздел 4. Неопределенный интеграл
4.1. Непосредственное интегрирование
Вычислить неопределенный интеграл, результат проверить дифференцированием.
x2 4
1. x2 5 dx
3. 3 x2 4x 7dx
5. x 2 2 dx x
7. ( x 3 x )dx
x 3
9.x 5 dx
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
e x |
|
|
|
|
|
||||||||||
11. |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
1 |
cos |
x |
dx |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
13. |
|
53 x2 |
|
|
|
|
|
3 dx |
|||||||||||||||||
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
15. |
|
3 2ctg |
|
2 x |
|
dx |
|
|
|||||||||||||||||
|
cos |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
(4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
17. |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
x )2 |
dx |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x3 |
|||||||||||||||||||
19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
21. |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1)2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
23. |
|
(3 |
x2 |
|
|
|
dx |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. ( x 2)2 dx
3
4. 2x2 6 dx
6. |
|
|
x3 |
|
2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
(x2 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
10. |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
12. |
|
(x2 9)2 |
dx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||||||
14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
9 3x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
16. |
|
|
|
x )2 |
dx |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||
18. |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
20. |
4 x2 |
|
|
x3 |
|
|
x5 |
dx |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
22. |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
9 |
3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24. |
|
34 x 24 |
|
x3 |
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19
|
|
|
|
|
5 |
|
|
3 |
|
2 |
|||||
25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
4 x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
x |
2 |
3x |
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
1 sin3 x
29.sin2 x dx
31. x2 43 x dx
x
33. 2 3x3 2 dx
x
3
35. 12 2x2 dx
3
37. 4x2 12 dx
7
39. 3x2 9 dx
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
26. |
|
3 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
33 x 2x5 |
|||||||||||||||
28. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
30. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5
32.x 4 dx
34. |
2 cos3 |
x 3cos2 x |
dx |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2 |
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
36. |
4 tg 2 x |
|
dx |
|
|
|
|||||||||||||
|
sin |
2 |
x |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
38. |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
|
x |
3 |
|
3 dx |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40. |
x |
2 |
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4.2.Интегрирование подстановкой
Вычислить неопределенный интеграл с помощью подстановки (замены переменной), результат проверить дифференцированием.
1. |
(3x 2)4 dx |
2. |
e 3x 2dx |
|
|
|
3. |
|
5 sin3 (4x 1) |
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
sin |
2 |
(4x |
1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
3 5xdx |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
cos |
2 |
4x |
|
|
|
3x |
5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
||||||||||
7. |
|
|
|
|
|
|
8. 3 7x 5dx |
|
9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(6x 1) |
|
|||||||||||||||||||||||
4x 3 |
|
|
|
|
sin |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
3x |
e |
|
11. |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
12. e |
|
|
2 |
|
|
sin 2xdx |
|
||||||||||||||||||
10. e |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos (2 9x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
13. 4 |
|
7x 5 3 dx |
14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
15. |
(5x 1)5 dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
6x |
11 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|