full_book

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Факультет вычислительной математики и кибернетики ННГУ

Учебно-исследовательская лаборатория "Математические и программные технологии для современных компьютерных систем (Информационные технологии)"

Учебный курс «Модели и методы конечномерной оптимизации»

Часть 2 «Нелинейное программирование и многоэкстремальная оптимизация»

Нижний Новгород

2003

ННГУ. Учебный курс «Модели и методы конечномерной оптимизации». Часть 2. «Нелинейное программирование и многоэкстремальная иптимизация»

Глава 3. Общие методы учета ограничений в задачах математического программирования ..................................... Ошибка! Закладка не определена.

3.1. Общие методы учета ограничений, обзор методовОшибка! Закладка

3.2.4. Оценки скорости сходимости метода внешнего штрафа... Ошибка! Закладка не

определена.

3.2.5. Недостаточность локальных методов при использовании метода штрафов

.................................................................................................Ошибка! Закладка не определена.

3.3. Метод модифицированных функций ЛагранжаОшибка! Закладка не

определена.

3.3.1.Общая схема метода множителей Лагранжа и ее недостатки. Ошибка! Закладка

не определена.

3.3.2.Преобразование постановки задачи, сведение задач с неравенствами к задачам с

3.3.4. Метод модифицированной функции Лагранжа для задач с ограничениями–

Глава 4. Математические основы построения и анализа алгоритмов

4.2. Принципы построения методов оптимизации...Ошибка! Закладка не

определена.

4.3. Одношагово-оптимальные методы оптимизации ..Ошибка! Закладка

не определена.

4.3.1. Принцип одношаговой оптимальности..........Ошибка! Закладка не определена. 4.3.2. Метод ломаных как одношагово-оптимальный алгоритм . Ошибка! Закладка не

определена.

4.3.3. Информационно-статистический метод Р.Г.Стронгина..... Ошибка! Закладка не

определена.

4.3.4. Одношагово-оптимальный байесовский метод Х.Кушнера.... Ошибка! Закладка

не определена.

4.3.5. Одношагово–оптимальный метод на основе адаптивных вероятностных моделей

ННГУ. Учебный курс «Модели и методы конечномерной оптимизации». Часть 2. «Нелинейное программирование и многоэкстремальная иптимизация»

6.3. Одношагово–оптимальный метод многокритериальной оптимизации на основе адаптивных стохастических моделей.......Ошибка! Закладка не

определена.

6.4. Метод построения равномерной оценки множества слабо эффективных точек............................... Ошибка! Закладка не определена.

Глава 7. Модели и методы поиска локально–оптимальных решений

......................................................................... Ошибка! Закладка не определена.

7.1. Применение принципов оптимальности при построении методов локальной оптимизации выпуклых гладких задач...Ошибка! Закладка не

определена.

7.2.2. Измерения локальной информации и роль модели задачи в их интерпретации

.................................................................................................Ошибка! Закладка не определена.

7.2.3.Классификация траекторных методов локального поиска. Ошибка! Закладка не

определена.

7.2.4.Эффективные стратегии поиска вдоль направлений. Регуляризованные

7.4.1 Расширение области сходимости метода Ньютона за счет регулировки величины

7.5.3. Методы растяжения пространства (R–алгоритмы Н.З. Шора) Ошибка! Закладка

Главный документ

7.8.2. Специальные методы учета линейных неравенств, методы активного набора

определена.

7.8.3.1 Особенности учета двусторонних ограничений на переменные в методах

ННГУ. Учебный курс «Модели и методы конечномерной оптимизации». Часть 2. «Нелинейное программирование и многоэкстремальная иптимизация»

D:\OPT_Optimisation\02_np&mo\Book\optChapter_2_1.doc

D:\OPT_Optimisation\02_np&mo\Book\optChapter_2_2.doc

D:\OPT_Optimisation\02_np&mo\Book\optChapter_2_3.doc

D:\OPT_Optimisation\02_np&mo\Book\optChapter_2_4.doc

D:\OPT_Optimisation\02_np&mo\Book\optChapter_2_5.doc

D:\OPT_Optimisation\02_np&mo\Book\optChapter_2_6.doc

D:\OPT_Optimisation\02_np&mo\Book\optChapter_2_7.doc

D:\OPT_Optimisation\02_np&mo\Book\optReferences_2.doc

ННГУ. Учебный курс «Модели и методы конечномерной оптимизации». Часть 2. Нелинейное программирование и многоэкстремальная оптимизация.

Глава 1. Математические модели оптимального выбора

1.1. Объект и его описание, модель процесса рационального выбора и постановки оптимизационных задач

Книгу по теории и вычислительным методам конечномерной не дискретной оптимизации стоит начать с изложения взгляда авторов на то место, которое занимают подобные задачи по отношению к более общей проблеме рационального выбора1.

При решении реальных прикладных задач, связанных с рациональным выбором, обычно приходится сталкиваться с отсутствием их формальной математической постановки. Как правило, имеется лишь некоторый объект по отношению к параметрам P которого нужно сделать выбор, а также набор числовых характеристик–критериев W(P), определяющих зависимость количественных показатели свойства объекта от значений его параметров. Эти критерии можно назвать характеристиками функционирования объекта. На основе их значений должен происходить выбор параметров P в пределах некоторых ограничений A ≤ P ≤ B, вытекающих из смысла решаемой задачи. При этом объект обычно представлен своей вычислительной моделью (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Основные компоненты математической модели объекта

Постановщик задачи обычно обладает некоторой, точно не формализуемой информацией о целях рационального выбора. Причем цели могут изменяться в зависимости от дополнительной информации, получаемой постановщиком в процессе решения, а это, в свою очередь, может приводить к изменению используемой модели объекта (рис.1.2).

На каждом этапе решения интуитивно понимаемая постановщиком цель формализуется, с участием второго лица — математика–вычислителя, в виде вспомогательной задачи оптимального выбора. Результат ее решения может приводить к изменению постановки этой задачи или даже к изменению принятой модели объекта.

1 В этом разделе авторы используют переработанный материал из их книги [43].

ННГУ. Учебный курс «Модели и методы конечномерной оптимизации». Часть 2. Нелинейное программирование и многоэкстремальная оптимизация.

Рис. 1. 2. Соотношение неформальной цели и задач оптимального выбора

Конкретная постановка задачи оптимального выбора связана с фиксацией части параметров, установкой ограничителей на переменные, оставшиеся свободными (рис.1.3),

Рис. 1. 3. Разделение исходных параметров объекта на переменные и константы

выделением групп оптимизируемых и ограничиваемых характеристик функционирования (рис. 1.4).

Рис. 1. 4. Перераспределение критериев по группам

Множества Jf, Jg, Jh содержат номера критериев функционирования, соответствующих компонентам вектор-функций f, g, h. Кроме того, на значения функций g и h накладываются свои ограничители g+ и h: g(y) ≤ g+, h(y) = h. Чтобы не усложнять запись в дальнейшем, мы будем переносить ограничители в левую часть неравенств и равенств, пряча их в функциях g и h. В результате ограничения примут вид g(y)≤ 0, h(у) =0.

ННГУ. Учебный курс «Модели и методы конечномерной оптимизации». Часть 2. Нелинейное программирование и многоэкстремальная оптимизация.

Задачи такого вида могут быть решены с использованием теории и вычислительных методов конечномерной оптимизации. Именно этим вопросам будем посвящен последующий материал данной книги. Следует подчеркнуть, что решение отдельной экстремальной задачи, вообще говоря, не является решением общей неформальной задачи рационального выбора, а лишь этапом ее решения. Рациональный выбор параметров объекта обычно приводит к решению последовательности экстремальных задач (1.1)-(1.3), вид и количество которых определяется поставщиком общей задачи совместно с математикомвычислителем.

Процесс формулировки экстремальных задач является нетривиальным и не формализуемым элементов всего процесса решения и не является математической задачей, хотя и требует от сторон, принимающих решение, достаточной квалификации в области экстремальных задач. При постановке экстремальных задач (1.1)-(1.3) всегда следует обращать самое пристальное внимание на свойства полученных задач, поскольку они определят в дальнейшем возможность их решения вычислительными методами или же аналитического решения.

В дальнейшем всегда будем предполагать, что задача оптимального выбора (1.1)-(1.3) уже поставлена. Нам предстоит формализовать понятие решения экстремальных задач (это, как будет показано, можно сделать не единственным образом). Далее будет построена теория, предоставляющая инструменты решения поставленных задач. Везде, где это возможно, изложение будет доведено до уровня построения аналитических либо вычислительных методов поиска решения.

1.2. Различные трактовки решения в однокритериальных задачах, примеры

Прежде чем переходить к определению понятия решения в многокритериальных задачах (1.1)–(1.3) с n >1, рассмотрим важный частный случай n=1, т.е. задачи с одним целевым критерием (скалярные задачи). Их обычно называют задачами математического программирования. Введем ряд обозначений и напомним терминологию.

то говорят, что f достигает своей точной нижней грани на Y, а y* называют точкой глобального (абсолютного) минимума, значение f * = f(y*) называют наименьшим или глобально-оптимальным (минимальным) значением f на Y.

Множество всех точек y* Y, удовлетворяющих (1.4) будем обозначать через

Определение 1.2. Точка уо Y называется точкой локального минимума f на Y, если существует такое ε >0, что у Y Οε(yo), где Οε(yo)={y RN: y-yo <ε },

выполняется неравенство f(yo) ≤ f(y).

Даже в случае однокритериальных задач могут использоваться разные трактовки понятия «решение». Выбор зависит, как правило, не от прихоти