Физика гетероструктур

из заполненной валентной зоны в незаполненную зону проводимости. Иными словами, поглощение фотона сопровождается генерацией элек- тронно-дырочной пары. Используя золотое правило Ферми, получаем для темпа междузонных оптических переходов между валентной подзоной hν’ и подзоной зоны проводимости eν (количество переходов в единицу времени на единицу площади структуры)

Здесь I= (nωω2/2πc)A02 – интенсивность света, nω – показатель преломления на частоте ω, s и m - спиновые индексы, vevs,hv'm (k||) скорости, Ehv'mk|| – энергия электрона в валентной подзоне в электронном представлении. Напомним, что она взаимосвязана с соответствующей дырочной энергией соотношением Ehv'mk|| = −Ehjv'm ,−k|| , где j = hh, lh и черта над m означает спин -m. При выводе (10.2) пренебрегалось кулоновским взаимодействием между фотоэлектроном и фотодыркой.

Мы ограничимся переходами в окрестности Γ-точки. Если пренебречь зависимостью матричного элемента оператора скорости от k|| , то

его можно записать как произведение

vevs,hv'm (k|| ) = ivv' ves,hm . (10.3)

Первый множитель – это интеграл перекрытия огибающих

ivv' = ∫ϕev (z)ϕhv' (z)dz . (10.4)

Второй множитель является междузонным матричным элементом оператора скорости, рассчитанным на блоховских функциях ψn0 (r) в Γ-точке:

где Ω0 - объем элементарной ячейки.

В пренебрежении спиновым расщеплением электронных состояний выражение для темпа генерации упрощается:

где α – постоянная тонкой структуры e2/ hc 1/137.04, gev,hv' (E) - приве-

денная плотность состояний, определенная без учета вырождения состояний по спину. Для иллюстрации аппроксимируем дисперсию свободных носителей в подзонах eν и hν’ параболической зависимостью

107

где Ec0, Eh0 - положение дна зоны проводимости и потолка валентной зоны в объемном материале, Eev и Ehv – энергии размерного квантования. При такой зонной структуре приведенная плотность состояний (10.7) есть ступенька

g2 (E) = 2μπehh2 θ(E − Evv0 ' ), (10.7)

где μeh – приведенная эффективная масса, θ(x) – функция, принимающая значения 1 при положительных и 0 при отрицательных x, Evv0 ' – энерге-

тический зазор между подзонами ev и hv’, равный сумме Eg + Eev + Ehv’, и Eg = Ec0 – Eh0. Заметим, что фундаментальный край оптического поглощения в структуре с квантовой ямой

EgQW ≡ E110 = Eg + Ee1 + Eh1 .

В структуре с квантовой ямой, выращенной из полупроводников с изотропными эффективными массами электрона и дырки, в приближении бесконечно высоких барьеров огибающие ϕev и ϕhv идентичны, так как они не зависят от эффективных масс. По определению каждый из этих наборов ортонормирован и мы приходим к правилу отбора

ivv' = δvv' . (10.8)

Следовательно, в этом случае междузонные оптические переходы происходят между подзонами с совпадающими индексами v и v’.

При учете конечной высоты барьеров величина эффективной массы влияет на форму огибающей функции и наборы этих функций для электронов и дырок различаются. Тем не менее, это различие не носит решающего характера и можно пользоваться следующими смягченными правилами отбора

ivv ≈1 и ivv' <<1 при v ≠ v' . (10.9)

В прямоугольных квантовых ямах сверхструктурный квантующий потенциал обладает центром симметрии и междузонные переходы между состояниями с огибающими ϕev и ϕhv’ противоположной четности запрещены точно.

В объемном полупроводнике с простой зонной структурой прямые внутризонные оптические переходы запрещены, так как при таких переходах нельзя одновременно удовлетворить законам сохранения импульса и энергии. Поэтому внутризонное поглощение фотона может происходить при участии «третьей частицы», фонона, другого носителя или статического дефекта. Такой процесс называется непрямым и описыва-

108

ется во втором порядке теории возмущений. Размерное квантование преобразует энергетический спектр свободных носителей в подзоны в квантовых ямах или минизоны в сверхрешетках. В результате появляется дополнительный механизм поглощения, обусловленный прямыми оптическими переходами между подзонами или минизонами. Приведем выражение для темпа прямых межподзонных переходов e1 в e2 в квантовой яме n-типа

Здесь s,s’ – спин электрона в начальном и конечном состоянии, fevsk|| –

функция распределения электрона, остальные обозначения очевидны. Для композиционных полупроводников с простой зонной структу-

рой межподзонный матричный элемент оператора скорости определяется выражением

Прямые межподзонные переходы разрешены в поляризации e||z для подзон разной четности. Следующие из (10.12) правила отбора сохраняются и для барьеров конечной высоты, если эффективные массы mA и mB в материалах ямы и барьера совпадают. Если массы mA, mB различны, то

матричные элементы v' m−1(z) v отличны от нуля не только при v’ = v,

но также при v’ и v одинаковой четности. Тем не менее, вероятность таких межподзонных оптических переходов очень мала и следует учитывать другие малые поправки к (10.11), например поправки, связанные с непараболичностью зоны в объемном полупроводнике.

109

Поляризационные свойства оптических переходов из подзон тяжелых и легких дырок

Перейдем теперь к правилам отбора, определяемым вторым множителем в (10.3) или суммой по s,m в (10.6). В таб. 10.1 представлены междузонные матричные элементы ves,hm , рассчитанные между состоя-

ниями зоны проводимости Γ6 , s = αs S (αs =↑ или ↓) и валентными состояниями Γ8 ,s .

Таблица 10.1 Междузонные матричные элементы оператора скорости v , отнесенные к pcv/21/2m0, где e – вектор поляризации света, pcv –

межзонный матричный элемент объемного материала.

Напомним, что в электронном и дырочном представлениях проекции углового момента валентных состояний различаются знаком. Учтем далее, что в квантовых ямах размерное квантование тяжелых и легких дырок при kx = ky = 0 происходит независимо. Используя табл. 10.1 и изменяя знак у m на противоположный, приходим к следующей поляризационной зависимости темпа генерации электронно-дырочных пар evs;hhvm

и evs;hlvm в структурах с квантовыми ямами

Для циркулярно поляризованного света σ+, распространяющегося вдоль оси z, выполняются соотношения

тогда как для света σ− - поляризации имеем

где nx, ny – единичные векторы, ориентированные в направлениях x и y соответственно. Видно, что при междузонных переходах проекция углового момента на ось z сохраняется,

s +m = M , (10.15)

где M = ± 1 для σ± -поляризации и M=0 для света, линейно поляризованного по оси z.

111

ГЛАВА 11. РЕЗОНАНСНОЕ ОТРАЖЕНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА В СТРУКТУРАХ С КВАНТОВЫМИ ЯМАМИ

§11.1. Линейный отклик одиночной квантовой ямы

Втрехмерных кристаллах состояния фотона и экситона в области пересечения их дисперсионных кривых сильно смешиваются и эти возбуждения превращаются в гибридную квазичастицу, называемую экситонным поляритоном, или светоэкситоном. Природу экситонного поляритона удобно пояснить на языке эффективной двухосцилляционной модели. Несмешанные, или «голые», фотонный и экситонный осцилляторы с одним и тем же волновым вектором q имеют исходные собствен-

ные частоты ωphot(q) = cq/εb1/2 и ωexc(q) = ω0 + hq2/(2 M), где εb - фоновая диэлектрическая проницаемость, ω0 – резонансная частота экситона при q=0 и M - трансляционная эффективная масса экситона. Степень смешивания управляется величиной продольно-поперечного расщепления экситона ωLT, так что дисперсионное уравнение для связанных осцилляторов может быть представлено в виде

(ωphot2 (q) −ω2 )(ωexc2 (q) −ω2 )= 2ω2ωLTω0 . (11.1)

Это есть эквивалентная форма записи более привычной формулы

Проявление экситонных поляритонов в различных оптических явлениях, включая отражение, пропускание и поглощение света, фотолюминесценцию и резонансное рассеяние света, интенсивно изучалось в 60 и 70- е годы. Новый интерес и значительное развитие в этой области было стимулировано созданием наноструктур высокого качества: многослойных гетероструктур, периодических структур с квантовыми ямами, сверхрешеток и т.д. Более того, само понятие экситонного поляритона претерпело существенное изменение в первую очередь применительно к длиннопериодичным структурам с квантовыми ямами.

Задача об отражении света от одиночной квантовой ямы, заключенной между полубесконечными барьерами, была решена в 1991 г. [11.1] и стала важной вехой в развитии квантовой электродинамики, изучающей взаимодействие трехмерных фотонов с низкоразмерными экситонами. Для простоты мы рассмотрим нормальное падение света на структуру с квантовой ямой, выращенную на основе материалов с решеткой цинковой обманки, пренебрежем различием между диэлектрической проницаемостью барьера εb и фоновой диэлектрической проницаемостью материала ямы εa. Затем конечный результат будет обобщен на

112

Здесь E(z) – полное электрическое поле внутри квантовой ямы, aB – боровский радиус для трехмерного экситона, Γ – нерадиационное экситонное затухание, волновая функция состояний размерного квантования экситонов ϕ(с,re ,rh ) определена в Главе 9. Заметим, что для основного со-

стояния экситона e1-h1(1s) Φ(z) – четная функция z. Перепишем уравнение (11.6) в более удобной форме

где q0 = ω/c. Используя метод функций Грина, это же уравнение можно преобразовать к

= iqz + −iqz + π q2 iq z−z' . (11.9)

E(z) E1e E2e 2 i q0 ∫dz'e Pexc (z')

Первые два слагаемых представляют собой пару линейно независимых решений однородного уравнения, т.е. уравнения с Pexc=0. Они описывают плоские волны, падающие на квантовую яму из левого и правого полупространств. Иными словами, амплитуды E1 и E2 задаются внешними условиями. В частном случае световой волны, падающей слева, имеем E1 = E0, E2 = 0. Третье слагаемое в (11.9) есть частное решение неоднородного уравнения (11.8). Оно описывает электрическое поле вторичной световой волны, индуцированное 2D-экситоном.

Из (11.7) и (11.9) следует, что при E1 = E0, E2 = 0 электрическое поле удовлетворяет интегральному уравнению

которое допускает точное решение при произвольной функции Φ(z). Действительно, после почленного умножения на Φ(z) и интегрирования по z получаем линейное алгебраическое уравнение для интеграла Λ = ∫Φ(z)E(z)dz. Опуская промежуточные выкладки, приведем решение этого уравнения

Знаменатель может быть упрощен, учитывая, что

exp(iq z − z' ) = cos qz cos qz'+sin qz sin qz'+i sin(q z − z' ) .

Вводя параметры

114

Γ0 = 12 qωLTπaB3 [∫dzΦ(z)cos qz]2 ,

(11.12)

ω0 = ω0 + 12 qωLTπaB3 ∫∫dzdz'Φ(z)Φ(z')sin(q z − z' ),

получаем окончательно

Λ = E0 (ω0 −ω −iΓ)∫dzΦ(z)cosqz . (11.13)

ω0 −ω −i(Γ+ Γ0 )

Учитывая далее, что вне ямы функция Φ(z) равна нулю, можно представить амплитудные коэффициенты отражения и пропускания в виде

Подставляя сюда Λ из (11.13), находим после некоторых преобразований

Теперь легко пояснить физический смысл параметров (11.12): τ0=(2Γ0)-1 есть радиационное затухание 2D-экситона и ω0 – его перенормированная

резонансная частота. Эти параметры описывают вызванное экситонфотонным взаимодействием преобразование комплексной собственной частоты экситона от ω0 −iΓ к ω0 −i(Γ+ Γ0 ) .

Для типичных структур значения hΓ0 лежат в пределах 0.02-0.2 мэВ, например hΓ0 = 0.12 мэВ в квантовой яме CdTe/Cd0.13Zn0.87Te толщиной 100 Å и hΓ0 = 27 мкэВ в квантовой яме In0.04Ga0.96As/GaAs толщиной 85 Å. Для грубых оценок можно использовать приближение бесконечно высоких барьеров и положить a = aB(2D) = aB / 2 . Тогда имеем

Γ0 = 4qaBωLT . (11.16)

115

ГЛАВА 12. ВТОРИЧНОЕ СВЕЧЕНИЕ КВАНТОВЫХ ЯМ, КВАНТОВЫЕ МИКРОРЕЗОНАТОРЫ

§12.1. Комбинационное рассеяние света

Вобъемных полупроводниках свет может рассеиваться (1) на свободных носителях, включая рассеяние на флуктуациях плотности заряда (одночастичные возбуждения и плазмоны) и флуктуациях спиновой плотности (переходы с переворотом спина), (2) на фононах, оптических (рамановское, или комбинационное, рассеяние) или акустических (ман- дельштам-бриллюэновское рассеяние), и (3) статических дефектах (релеевское рассеяние). В гетероструктурах с квантовыми ямами и сверхрешетках появляются дополнительные возможности: в структурах с квантовыми ямами вклад в рассеяние могут вносить не только внутриподзонные переходы, но и переходы между электронными подзонами размерного квантования (рассеяние на межподзонных флуктуациях плотности заряда или спиновой плотности); комбинационное рассеяние обогащается участием размерно-квантованных и интерфейсных оптиче-

ских фононов (confined and interface optical phonons), а также акустиче-

ских фононов со «сложенным» спектром (folded acoustic phonons) в сверхрешетках.

Мы будем использовать обозначения ω1, q1, e1 и ω2, q2, e2 для частоты, волнового вектора и единичного вектора поляризации у исходной (первичной) и рассеянной (вторичной) электромагнитных волн соответственно. Если частица (или квазичастица), участвующая в процессе рассеяния, сталкивается с фотоном и изменяет свою энергию и волновой вектор E1, k1 на E2, k2, то законы сохранения гласят:

hω1 + E1 = hω2 + E2 , q1 + k1 = q2 + k2 . (12.1)

Если же рассеяние фотона сопровождается испусканием или поглощением элементарного (квазичастичного) возбуждения, характеризуемого частотой Ω и волновым вектором Q, то законы сохранения принимают вид

ω1 = ω2 +Ω, q1 = q2 +Q, (12.2)

ω1 +Ω = ω2 , q1 +Q = q2 .

При испускании (поглощении) возбуждения частота фотона уменьшается (возрастает) на Ω. При этом говорят о рассеянии в стоксову или антистоксову область спектра, а процесс рассеяния называют стоксовым или

116