matem

X1 µ1¶n

Ряд сумма бесконечно убывающей прогрессии. Он схо-

n=1 2

дится. Применяя мажорантный признак сравнения, получаем, что исходный ряд сходится.

П р и м е р 4. Исследовать сходимость ряда

Р е ш е н и е. Ряд сходится согласно мажорантному признаку сравнения, так как

X1 1

а ряд n=1 n2 сходится как гармонический с показателем p = 2 > 1. П р и м е р 5. Исследовать сходимость ряда

Р е ш е н и е. Применим предельный признак сравнения.

Он равен конечному положительному числу (0 < 12 < +1).

В этом случае оба ряда сходятся или расходятся одновременно. Следователь, исходный ряд сходится.

П р и м е р 7. Исследовать сходимость ряда

X1 1 sin 3n :

n=1

Р е ш е н и е. В этом примере сравниваем исходный ряд с рядом

X1 1

бесконечно убывающей геометрической прогрессии n=1 3n , сумма которого равна 12, и, значит, он сходится. Имеем

Следовательно, исходный ряд сходится (предельный признак сравнения).

Признак Даламбера. Пусть дан ряд

X1

an

n=1

172

и существует конечный или бесконечный предел

lim jan+1j = q:

n!1 janj

1.Если q < 1, то ряд сходится.

2.Если q > 1, то ряд расходится.

3.Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых q = 1.

Признак Коши. Пусть дан ряд

X1

an

n=1

и существует конечный или бесконечный предел

p

lim n janj = q:

n!1

1.Если q < 1, то ряд сходится.

2.Если q > 1, то ряд расходится.

3.Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых q = 1.

За м е ч а н и е. Если признак Даламбера или Коши применяем к числовым рядам с положительными членами, то очевидно, что нужно рассматривать пределы

П р и м е р 8. Исследовать сходимость ряда

X1 2n ¡ 1 2n :

n=1

Р е ш е н и е. Здесь

173

p

Здесь использовали табличный предел lim n n = 1. Ряд сходится

n!1

по признаку Коши.

П р и м е р 11. Исследовать сходимость ряда

n=1

сходится, если 1) последовательность абсолютных величин членов ряда моно-

тонно убывает, т. е. cn+1 < cn;

сходится, так как выполнены все условия признака Лейбница.

П р и м е р 13. Исследовать сходимость ряда

X1 (¡1)n¡1 2n + 1 : n(n + 1)

n=1

175

Р е ш е н и е. Ряд знакочередующийся. Проверим условия при-

сходится по признаку Лейбница.

З а м е ч а н и е. Все приведенные здесь признаки сходимости остаются справедливы, если их условия будут выполняться, начиная

снекоторого номера.

Пр и м е р 14. Исследовать сходимость ряда

убывает при n ¸ 101. Все условия признака Лейбница выполняются при n ¸ 101. Ряд сходится по признаку Лейбница.

176

Ответы

29.1. Расходится. 29.2. Сходится. 29.3. Расходится. 29.4. Сходится. 29.5. Сходится. 29.6. Расходится. 29.7. Расходится. 29.8. Сходится. 29.9. Сходится. 29.10. Сходится. 29.11. Сходится. 29.12. Расходится. 29.13. Сходится 29.14. Сходится. 29.15. Расходится. 29.16. Сходится. 29.17. Сходится. 29.18. Сходится. 29.19. Расходится. 29.20. Сходится. 29.21. Расходится. 29.22. Сходится. 29.23. Сходится. 29.24. Сходится. 29.25. Сходится. 29.26. Сходится. 29.27.Сходится. 29.28. Сходится. 29.29. Сходится. 29.30. Сходится.

30. Функциональные и степенные ряды

Пусть un(x), n = 1; 2; 3; : : : функции действительного переменного. Бесконечная сумма

X1

u1(x) + u2(x) + ¢ ¢ ¢ + un(x) + ¢ ¢ ¢ = un(x)

n=1

называется функциональным рядом. Множество значений аргумента x, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Для нахождения области сходимости функционального ряда обычно применяют признак Даламбера или признак Коши.

П р и м е р 1. Найти область сходимости функционального ряда

Р е ш е н и е. Применяя признак Даламбера, получаем

179

дение ряда на границе этих интервалов. 1. При x = ¡1 получаем ряд

X1 (¡1)n ; n=1 2n + 1

который сходится по признаку Лейбница. 2. При x = ¡13 получается ряд

X1 1

n=1 2n + 1

расходимость которого можно доказать, применяя предельный признак сравнения.

Таким образом, исходный ряд сходится при x · 1 и x > ¡13.

П р и м е р 2. Найти область сходимости функционального ряда

X1 (¡1)n 4n sin2n x n

n=1

Р е ш е н и е. Здесь удобнее использовать признак Коши:

180