matem

которая имеет единственное решение x = 1; y = 2; z = ¡2:

Ранг основной матрицы rang A = 3, а ранг расширенной матрицы

¹

rang A = 4. Система решений не имеет.

31

Задачи для практических занятий

Ответы

4.1. x = 2, y = 5, z = ¡1. 4.2. x = 2, y = 1, z = 3. 4.3. x1 = 1; x2 = = 2; x3 = ¡2. 4.4. x1 = 1, x2 = 2, x3 = 1. 4.5. x1 = ¡8, x2 = 3 + x4, x3 = 6 + 2x4. 4.6. x1 = ¡16 + x3 + x4 + 5x5, x2 = 23 ¡ 2x3 ¡ 2x4 ¡ 6x5.

5. Векторная алгебра

~

При сложении двух векторов ~a = (a1; a2; a3) и b = (b1; b2; b3) складываются их соответствующие координаты:

~

~a + b = (a1 + b1; a2 + b2; a3 + b3):

При умножении вектора ~a = (a1; a2; a3) на число l на это число умножается каждая координата вектора ~a:

l~a = (la1; la2; la3):

¡!

Координаты вектора M1M2, соединяющего точки M1(x1; y1; z1) и M2(x2; y2; z2), находятся как разность координат его конца и начала:

¡!

M1M2= (x2 ¡ x1; y2 ¡ y1; z2 ¡ z1):

33

~

Два вектора ~a и b называются коллинеарными, если они лежат

~

на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначение ~ajjb. Условием коллинеарности двух ненулевых векторов ~a = (a1; a2; a3)

~

и b = (b1; b2; b3) является пропорциональность их соответствующих координат:

~

~ajjb ()

~

или, если все координаты вектора b отличны от нуля, то

Тройка взаимно перпендикулярных векторов i, j, k единичной

~

длины называется базисом (ортонормированным базисом). Вектор i лежит на оси Ox и задает положительное направление оси Ox. Ана-

За f принимается угол между векторами, не превосходящий p. Если

~ ~ ~

~a = 0 или b = 0, то скалярное произведение полагают равным нулю. Из определения скалярного произведения в частности следует, что (a;~) = ~a2 = j~aj2; два ненулевых вектора перпендикулярны (или,

~

как принято говорить, ортогональны), если (~a; b) = 0.

~

Скалярное произведение векторов ~a = (a1; a2; a3) и b = (b1; b2; b3),

~ ~ ~

заданных в ортонормированном базисе i, j, k, равно сумме произведений соответствующих координат:

~

(~a; b ) = a1b1 + a2b2 + a3b3:

34

Косинус угла f между ненулевыми векторами ~a = (a1; a2; a3) и

Проекция вектора ~a на некоторую ось b, определенную единичным вектором ~e, равно скалярному произведению вектора ~a на единичный вектор ~e :

пр. b ~a = пр.~e ~a = (~a; ~e ) = j~a j cos f;

где f угол между вектором ~a и осью b.

~

Тройка векторов ~a, b, ~c называется правой тройкой векторов, если наблюдателю из их общего начала обход концов в указанном порядке кажется совершающимся против часовой стрелки. Если обход совершается по часовой стрелке, то тройка векторов называется левой (рис. 4).

Векторным произведением [~a; b ] ненулевых векторов ~a и b назы-

вается вектор, модуль которого равен произведению их модулей на синус угла f между ними (площадь параллелограмма, построенного

~

на векторах ~a и b):

~ ~

j[~a; b ]j = j~a j ¢ jb j sin f;

35

П р и м е р 2. Найти объем пирамиды, вершинами которой служат точки A(1; 2; 3), B(2; 5; 2), C(0; ¡1; 1) и D(3; 0; ¡2) (рис. 7).

D

C

A B

Рис. 7. Объем пирамиды с ребрами AB, AC, AD равен 16 объема параллелепипеда с теми же ребрами

Р е ш е н и е. Находим векторы, образующие ребра пирамиды:

тацию векторов. Тройка векторов ~a, b, ~c правая, если (~a; b;~c ) > 0,

~

и левая, если (~a; b;~c ) < 0.

~

Векторы ~a, b и ~c называются компланарными, если они лежат на одной плоскости или в параллельных плоскостях. В противном случае они называются некомпланарными. Для компланарных векторов

38

~

смешанное произведение равно нулю, (~a; b;~c ) = 0. Для некомпланар-

~

ных векторов смешанное произведение отлично от нуля, (~a; b;~c ) 6= 0.

~

Тройка некомпланарных векторов k, m~ и ~n образует базис. Разложение любого вектора ~a по этому базису имеет вид

~ ~

d = xk + ym~ + z~n;

где x, y, z конкретные числа.

П р и м е р 3. Показать, что векторы

~

k = (1; ¡1; 1); m~ = (2; 1; 1); ~n = (1; ¡2; 2)

образуют базис, и разложить вектор ~a = (1; ¡9; 5) по этому базису.

Р е ш е н и е. Вычислим вначале смешанное произведение

Смешанное произведение отлично от нуля. Следовательно, тройка

~

векторов k, m~, ~n образует базис. Найдем разложение вектора ~a по этому базису. Положим

~

~a = xk + ym~ + z~n = x(1; ¡1; 1) + y(2; 1; 1) + z(1; ¡2; 2):

Выполняя действия над векторами в координатах, получаем

(1; ¡9; 5) = (x + 2y + z; ¡x + y ¡ 2z; x + y + 2z):

Приравнивая соответствующие координаты векторов, приходим к системе линейных уравнений

8

>x + 2y + z = 1;

<

>¡x + y ¡ 2z = ¡9;

:x + y + 2z = 5:

39

Эту систему можно решить, например, по правилу Крамера. Однако

Окончательно получаем

~

~a = 3k ¡ 2m~ + 2~n:

Заметим, что пара неколлинеарных векторов образует базис на плоскости.

Задачи для практических занятий

5.1. В треугольнике ABC с вершинами A(2; ¡1; 3), B(1; 1; 1) и

¡! ¡! ¡!

C(5; 3; 3) найти координаты векторов его сторон AB, BC, AC,

¡! ¡!

медианы AM и биссектрисы AS.

¡! ¡!

5.2. В треугольнике ABC вектор AB= m~, вектор AC= ~n. Выразить

¡! ¡!

через m~ и ~n вектор третьей стороны BC, вектор медианы AM

¡!

и вектор AO, где O центр тяжести треугольника.

5.3.На плоскости заданы два вектора m~ = (2; ¡2) и ~n = (1; 2). Проверить, что векторы m~ и ~n образуют базис и найти разложение вектора ~a = (9; 6) по базису m~ и ~n.

5.4.Найти угол между векторами:

~

1) ~a = (¡2; ¡2; 0) и b = (3; 0; 3),

40