matem

Ответы

26. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее первой производной, т. е. уравнение вида

y0 + p(x)y = f(x);

где p(x), f(x) некоторые непрерывные функции независимой переменной x.

Если f(x) ´ 0, то линейное уравнение называется однородным. Если f(x) 6´0, то линейное уравнение называется неоднородным.

Метод вариации произвольной постоянной. Сначала интегрируется однородное линейное уравнение

dxdy + p(x)y = 0:

151

В этом уравнении переменные разделяются

При делении на y мы потеряли решение y = 0, которое можно включить в общее решение при C = 0. Итак

R

y = C e¡ p(x) dx;

где C любая постоянная.

Решение неоднородного дифференциального уравнения

y0 + p(x)y = f(x)

будем искать в виде

R

y = C(x) e¡ p(x) dx;

заменяя в решении однородного уравнения произвольную постоянную C на функцию C(x), которую мы и должны найти.

Подставляя предполагаемое решение в неоднородное уравнение, получаем

C0(x) e¡ R p(x) dx¡C(x)p(x) e¡ R p(x) dx+p(x)C(x) e¡ R p(x) dx = f(x)

П р и м е р ы

1. Решить уравнение

y0 + y tg x = sin x:

Р е ш е н и е. Решаем сначала соответствующее однородное урав-

нение

y0 + y tg x = 0:

Разделяя переменные и интегрируя, получаем

ln jyj = ln j cos xj + ln jCj;

y = C cos x:

Заменяя постоянную C на функцию C(x), решение неоднородного уравнения ищем в виде

y = C(x) cos x:

Подставляем эту функцию и ее производную

y0 = C0(x) cos x ¡ C(x) sin x

в неоднородное уравнение

C0(x) cos x ¡ C(x) sin x + C(x) cos xcossin xx = sin x:

Заметим, что если в ходе решения мы не делаем никаких ошибок, то выражения, содержащие C(x), должны уничтожаться. Из предыдущего соотношения имеем уравнение для нахождения функ-

ции C(x)

C0(x) = sin x cos x

Откуда следует

C(x) = ¡ ln j cos xj + C;

153

где C произвольная постоянная. Подставляя найденную функцию C(x) в выражение y = C(x) cos x, в виде которого ищем решение неоднородного уравнения, получаем общее решение этого уравнения

y= (C ¡ ln j cos xj) cos x:

2.Решить уравнение

(2 ey ¡ x)y0 = 1:

Р е ш е н и е. В этом уравнении только переменная x находится в первой степени. Рассматривая его как уравнение относительно x(y)

и учитывая, что

y0(x) = x01(y);

это уравнение приводим к линейному относительно функции x(y)

ln jxj = ¡y + ln jCj; x = C e¡y:

Решение неоднородного уравнения ищем в виде x = C(y) e¡y:

Подставляя в неоднородное уравнение, получаем

C0(y) e¡y ¡ C(y) e¡y + C(y) e¡y = 2 ey;

C0(y) = 2 e2y; C(y) = e2y + C;

x = ( e2y + C) e¡y:

Окончательно заключаем, что общее решение исходного уравне-

ния имеет вид

x = C e¡y + ey:

154

27. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение

ay00 + by0 + cy = 0;

где a; b; c постоянные вещественные числа.

Нахождение решения однородного уравнения непосредственно связано с решением его характеристического (алгебраического)

уравнения:

al2 + bl + c = 0 = 0;

которое составляется из дифференциального уравнения заменой y00 на l2, y0 на l, y на 1.

Возможны следующие случаи:

1. Характеристическое уравнение имеет различные действительные корни l1 6= l2. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид

y= C1 el1x + C2 el2x:

2.Характеристическое уравнение имеет равные действительные

корни l1 = l2 = l. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид

y= (C1 + C2x) elx:

3.Характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряжен- ные корни a § bi. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид

y = eax(C1 cos bx + C2 sin bx):

156

П р и м е р ы

1. Решить уравнение

y00 + y0 ¡ 2y = 0:

Р е ш е н и е. Составляем характеристическое уравнение

l2 + l ¡ 2 = 0:

Корни этого уравнения l1 = 1 и l2 = ¡2 действительные и различные. Следовательно, общее решение этого уравнения имеет вид

y = C1 ex + C2 e¡2x:

2. Решить уравнение

y00 + 4y0 + 4y = 0:

Р е ш е н и е. Составляем характеристическое уравнение

l2 + 4l + 4 = 0:

Корни этого уравнения l1 = l2 = ¡2 действительные и равные. Общее решение этого уравнения имеет вид

y = (C1 + C2x) e¡2x:

3. Решить уравнение

y00 ¡ 4y0 + 13 = 0:

Р е ш е н и е. Составляем характеристическое уравнение

l2 ¡ 4l + 13 = 0:

Корни этого уравнения l = 2 §3i комплексно-сопряженные. Следовательно, общее решение этого уравнения имеет вид

y = e2x(C1 cos 3x + C2 sin 3x):

157

Задачи для практических занятий

Решить линейные дифференциальные уравнения:

Домашнее задание

Ответы

27.1. y = C1 e¡x + C2 e2x. 27.2. y = C1 e¡2x + C2 e¡6x. 27.3. y =

3x

C1 + C2 e12x. 27.4. y = C1 ex + C2 e 2 . 27.5. y = ex(C1 cos 3x +

C2 sin 3x). 27.6. y = C1 cos 3x + C2 sin 3x. 27.7. y = (C1 + C2x) e3x.

¡x

27.8. y = (C1 + C2x) e 3 . 27.9. y = C1 e¡x + C2 e3x. 27.10. y =

C1 cos x+ C2 sin x. 27.11. y = C1 ex + C2 e6x. 27.12. y = C1 ex + C2 e2x. 27.13. y = C1 ex + C2 e¡7x. 27.14. y = C1 ex + C2 e¡13x. 27.15. y = e¡2x(C1 cos 2x + C2 sin 2x). 27.16. y = (C1 + C2x) e¡4x. 27.17. y = C1 + C2 e25x. 27.18. y = e¡4x(C1 cos x + C2 sin x). 27.19. y =

C2 sin 17x). 27.26. y = C1 cos wx + C2 sin wx.

28. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение

ay00 + by0 + cy = f(x);

где a; b; c постоянные вещественные числа; f(x) заданная функция, f(x) 6´0.

Решение неоднородного уравнения складывается из общего решения y = y0(x) однородного уравнения и частного решения y = yч(x) решения неоднородного уравнения:

y = y0(x) + yч(x):

159

Одним из методов нахождения частного решения неоднородного уравнения является так называемый метод неопределенных коэффициентов.

Для некоторых функций f(x) специального вида удается подобрать частное решение этого уравнения и тем самым свести задачу об интегрировании неоднородного уравнения к интегрированию соответствующего однородного уравнения. Рассмотрим такие возможные случаи.

Правило 1. Пусть правая часть неоднородного уравнения равна

f(x) = eax(a0xn + a1xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + an¡1x + an):

Тогда, если a не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения нужно искать в таком же виде

yч = eaxQn(x) = eax(A0xn + A1xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + An¡1x + An);

где A0, A1,. . . ,An неопределенные коэффициенты, подлежащие определению.

Если же a является корнем характеристического уравнения кратности k (k может принимать два значения 1 или 2), то частное решение надо искать в виде

yч = xk eaxQn(x) = xk eax(A0xn + A1xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + An¡1x + An):

П р и м е р 1. Решить уравнение

y00 ¡ y0 ¡ 2y = 2x2 ¡ 6x:

Р е ш е н и е. Ищем вначале общее решение соответствующего однородного уравнения

y00 ¡ y0 ¡ 2y = 0; l2 ¡ l ¡ 2 = 0; l1 = ¡1; l2 = 2;

yo(x) = C1 e¡x + C2 e2x:

Правую часть неоднородного уравнения можно записать как

2x2 ¡ 6x = e0x(2x2 ¡ 6x):

160