matem

Р е ш е н и е

dv = dx;

v = x

¡

3

Z

arcsin x dx =

2 u = arcsin x;

du =

p1dx x2 ;

=

4

5

x dx

d(x2)

= x arcsin x ¡ Z

p

= x arcsin x ¡ Z

2p

=

1 ¡ x2

1 ¡ x2

Р е ш е н и е

" dv = sin x dx;

v = ¡ cos x

# =

Z (x + 1)3 sin x dx =

u = (x + 1)3; du = 3(x + 1)2 dx;

= ¡(x + 1)3 cos x + 3 Z (x + 1)2 cos x dx =

u = (x + 1)2;

du = 2(x + 1) dx;

# = ¡(x + 1)3 cos x +

= " dv = cos x dx;

v = sin x

+ 3

µ(x + 1)2 ¡ 2 Z (x + 1) sin x dx¶ = ¡(x + 1)3 cos x + 3(x + 1)2 sin x ¡

u = x + 1;

du = dx;

# =

¡ 6 Z (x + 1) sin x dx = " dv = sin x dx; v = ¡ cos x

= ¡(x + 1)3 cos x + 3(x + 1)2 sin x ¡ 6

µ¡(x + 1) cos x + Z cos x dx¶ =

П р и м е р

4. Найти

Z

x3 e¡x2 dx:

Р е ш е н и е

x2 e¡x

d(x2) = [x2 = t] = 2 Z

t e¡t dt =

Z x3 e¡x

dx = 2 Z

2

1

2

1

# = 2

e¡t dt¶ =

= " dv = e¡t dt;

v = ¡ e¡t

µ¡t e¡t + Z

u = t;

du = dt;

1

П р и м е р

5.

Найти

Z

e6x sin 3x dx:

Р е ш е н и е. Этот интеграл называют кольцевым. Интегрируя

его два раза по частям, снова приходим к этому же интегралу:

I = Z

e6x sin 3x dx =

2

dv = sin 3x dx;

v =

cos 3x

3 =

4

u = e6x;

du = 6 e6x dx;

5

¡

3

cos 3x

4

u = e6x;

du = 6 e6x dx;

5

=

3

= ¡ 3

e6x + 2 Z

e6x cos 3x dx =2

dv = cos 3x dx; v =

sin 3x

3

= ¡

cos 3x

e6x + 2 µ

sin 3x

e6x ¡ 2 Z

e6x sin 3x dx¶:

3

3

112

arctg

=

=

2 u =

;

du = ¡

;

3

=

x2 + 9

(x2 + 9)2

3

3

x2 + 9

Z

dv = dx;

v = x

1

x

dx

4

1

2x dx

5

Z

Z

x2

+ 9

(x2

+ 9)2

x2

+ 9

(x2 + 9)2

=

x

+ 2

x2 dx

=

x

+ 2

(x2 + 9) ¡ 9

dx =

x

dx

dx

=

+ 2 Z

¡ 18 Z

;

x2 + 9

x2 + 9

(x2 + 9)2

1

x

x

2

x

¡ 18 Z

dx

arctg

=

+

arctg

:

3

3

x2 + 9

3

3

(x2 + 9)2

Решая его, окончательно получаем

dx

1

x

1

x

Z

=

µ

+

arctg

¶ + c:

(x2 + 9)2

18

x2 + 9

3

3

18.23. Z

ex sin x dx.

18.24. Z

dx

.

(x2 + 1)2

18.1. ¡

x + 1

cos 5x +

1

sin 5x + c. 18.2.

2x + 5

sin 2x +

1

cos 2x + c.

5

25

2

2

1

e3x(3x + 2) + c. 18.4. (6 ¡ 5x ¡ 3x2) cos x + (6x + 5) sin x + c.

18.3.

9

18.5. (x+2)2 sin x+2(x+2) cos x¡2 sin x+c. 18.6. ¡ e¡x(x2+2x+2)+c.

1

2

p

p

x

18.7. x(ln x¡1) + c. 18.8. x arctg x¡

2

ln(1 + x ) + c. 18.9. 2 e

(

x ¡

p

p

p

1

x

¡ 1)+c. 18.10. 2(

x + 1 sin x + 1+cos

x + 1)+c. 18.11.

2

e

(sin x +

1

x

1

x

x

+ cos x) + c. 18.12.

µ

+

arctg

¶ + c. 18.13. ¡

cos 2x +

8

x2 + 4

2

2

2

1

x

1

+

sin 2x + c. 18.14.

sin 3x +

cos 3x + c. 18.15. ¡(x + 1) e¡x + c.

4

3

9

x2

2

2x

1

18.16. µ¡

+

¶cos(5x ¡ 2) +

sin(5x ¡ 2) + c. 18.17.

(10x2 +

5

125

25

4

+ 6x ¡5) sin 2x +

1

(10x + 3) cos 2x + c. 18.18.

1

(9x2 + 12x + 5) e3x + c.

4

27

18.19. x arcctg x+

1

ln(1+x2)+c. 18.20. x ln(x2 +1)¡2x+2 arctg x+c.

2

p

p

2

p

p

p

x+1

18.21. 2 e

(

x + 1 ¡ 1) + c. 18.22.

9

(3

x sin 3 x + cos 3

x) + c.

1

ex(sin x ¡ cos x) + c. 18.24.

x

+

arctg x

+ c.

18.23.

2

2(x2 + 1)

2

Z

b

f(x) dx = F (x)¯a = F (b) ¡ F (a):

a

¯

b

¯

¯

П р и м е р

1.

Найти

Z12

(x + 1)3 dx:

Р е ш е н и е

2

1

¯

2

1

19

1

¯

Z (x + 1)3 dx =

4

(x + 1)4¯1 =

4

(34

¡ 2 4 ) =

4

:

П р и м е р

2.

Найти

¯

Z0p sin2 x dx:

Р е ш е н и е

Z

sin x dx =

Z (1 ¡ cos 2x) dx =

µx ¡

¶¯0

= 2:

2

2

2

0

1

0

1

sin 2x

¯

p

p

2

p

¯

p

¯

П р и м е р

3.

Найти

2

Z1

dx

:

x2 + 7x + 10

Z1

Р е ш е н и е

(x + 2)(x + 5) = 3 Z1

µx + 2 ¡ x + 5

¶ dx =

x2 + 7x + 10 dx = Z1

2

dx

2

dx

1

2

1

1

= 3(ln jx + 2j ¡ ln jx + 5j)¯1

= 3 ln

¯x + 5

¯¯1

=

3

µln 7 ¡ ln

6

¶

=

3 ln

7:

1

¯

2

1

¯

x + 2

¯¯

2

1

4

3

1 8

¯

¯

¯¯

116

¯

¯

¯¯