ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев

Аксиомы действительных чисел. Для любых чисел a, b, c из R справедливы:

а. Аксиомы сложения.

1. a+b=b+a.

2. (a+b)+c=a+(b+c).

3. a+0=a.

4. Для любого a существует ему противоположное, т.е. -a. б. Аксиомы умножения.

1. a·b=b·a.

2. (a·b)·c=a·(b·c).

3. (a+b)·c =a·c+b·c.

4. a·1=a.

5. Для любого a R, a 0, существует число b R такое, что a·b=1, причем число b=1/a называется обратным к a.

в. Аксиомы порядка.

1.a>a - ложное высказывание.

2.Если a b, то либо a>b, либо a<b.

3.Если a>b и b>c , то a>c.

4.Если a>0 и b>0 , то a·b>0.

5.Если a>b, то a+c>b+c.

6.Если a>0 и b>0, то существует натуральное число n такое, что n·a>b /аксиома Архимеда/.

8. Числовая ось.

Осью называется прямая, на которой одно из двух направлений выделено как положительное, а противоположное направление считается отрицательным.

Определение. Числовой или координатной осью называется ось, на которой выбрана точка начала отсчета

0и единица длины.

Спомощью точек числовой оси можно изобразить действительные числа. Целые числа изображаются точками, которые получаются откладыванием единицы длины нужное число раз в положительном направлении от начала координат в случае положительного целого числа и в обратном направлении в случае отрицательного числа.

Число 0 изображается точкой начала отсчета.

Аналогично изображаются на числовой оси иррациональные числа: каждому иррациональному числу ставится в соответствие точка, удаленная от начала отсчета вправо или влево /в зависимости от знака числа/ на расстояние, равное значению числа.

Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между действительными числами и точками на числовой оси.

Определение. Число, изображением которого служит данная точка числовой оси, называется координатой этой точки.

Таким образом, введение координат на прямой вводит взаимное соответствие между геометрическими объектами (точками прямой) и алгебраическими объектами (числами)

§3. Некоторые примеры.

1.Доказать, что между двумя вещественными числами r1 и r2 существует некоторое вещественное число. Доказательство .

предположение о рациональности log23 неверно.

3.Пусть длина стороны квадрата выражается иррациональным числом. Каким числом выражается длина диагонали этого квадрата?

Ответ: любым.

4.Доказать, что два последовательных нечетных числа взаимно просты.

Доказательство. От противного.

Пусть n=2k-1 и m=2k+1 не являются взаимно простыми, т.е. имеют хотя бы один общий делитель p 1: n=pl1, m=pl2, p, l1, l2 N. Тогда m-n=p(l2-l1), причем m-n=2 и p(l2-l1)=2. Последнее означает - либо p=1, l2-l1=2, либо p=2, l2-l1=1. Т.к. n=p·l1 и m=p·l2 - нечетные, то p 2, а, следовательно, p=1. Значит, n и m - взаимно простые.

Лекция 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА.

§1. Общие свойства функций.

1.Закономерности в природе

При изучении природы и в процессе трудовой деятельности человеку приходится иметь дело со многими разнообразными величинами. Например: длина, ширина, площадь, температура, время, скорость. Вообще говоря, понятие величины может быть введено на множестве тех объектов, каждый из которых характеризуется некоторым числом, полученным в результате измерения, т.е. в результате сравнения с объектом той же природы, принятым за единицу. Например, измерение длины с помощью отрезка в один метр или сравнение некоторого тела по массе с телом в один килограмм.

Обычно величины обозначаются какими-либо буквами: x, y, t.

Для математики важна не физическая природа какой-либо величины, а то, какое значение эта величина может принимать. Если величина принимает единственное числовое значение, то она называется постоянной, если же величина принимает более чем одно числовое значение, то она называется переменной.

В общем случае переменная величина может принимать значения из некоторого числового множества M

:

1.M={x| x R} - действительная числовая ось.

2.M={x| x [a,b]} - промежуток с включенными концами a и b , называемый отрезком или замкнутым промежутком.

3.M={x| x (a,b)}- промежуток, не включающий в себя концы a и b , называемый интервалом.

4.M={x| x [a,b)} - промежуток, не включающий в себя один из концов, называемый полуинтервалом.

5.M={x| x [a,+ } - полуось.

2. Определение функции

Определение. Если каждому элементу x из числового множества X можно поставить в соответствие по известному закону один элемент y из числового множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция (или однозначная функция), обозначаемая обычно f(x) или y(x).

В некоторых случаях указанное соответствие называется отображением множества X на множество Y . Множества X и Y называются соответственно областью определения и областью изменения функции

f(x).

Очевидно, при задании закона соответствия f(x) и множества X определяется множество Y={y| y = f(x), x X}, т.е. для того, чтобы задать функцию, достаточно задать закон соответствия и множество области определения.

Переменная x называется аргументом или независимой переменной, а переменная y называется функцией или зависимой переменной.

3. Координаты на плоскости и способы задания функции. а. Декартовы координаты на плоскости.

Определение. Возьмем две взаимно перпендикулярные числовые оси Ox и Oy, имеющие общее начало 0

иравные единицы длины. Будем говорить, что эти оси образуют декартову или прямоугольную систему координат на плоскости. При этом точка 0 называется началом координат, оси 0x и 0y - осями координат /абсцисс и ординат соответственно/, а плоскость, на которой задана система координат, - координатной плоскостью

иобозначается R2.

Свведением координат на плоскости каждой

2). Неявное задание: уравнение F(x,y)=0, при некоторых условиях, задает функцию y=f(x), если F(x, f(x)) 0.

2.Табличное задание. На практике часто зависимость одной величины от другой находят опытным путем.

Вэтом случае получается таблица, в которой даются значения функции для конечного множества значений аргумента.

3. Графическое задание. Графиком функции y = f(x) называется геометрическое место точек плоскости

Замечание. Если f(x) ограничена снизу числом m , то график этой функции расположен выше прямой y = m. Если f(x) ограничена сверху числом M , то график этой функции расположен ниже прямой y=M. Примеры:

2.Ограничена снизу y= х , m=0.

3.Ограничена сверху y=1-|x| , M=1.

Определение. Функция f(x) называется возрастающей (убывающей) на интервале (a; b) из области определения, если для значений x1 и x2 из (a; b) имеет место неравенство

f(x2)>f(x1) (f(x2)<f(x1)) при x2>x1.

Замечание . Если последние неравенства нестрогие, то функция f(x) называется монотонно неубывающей (невозрастающей).

Примеры.

Всюду возрастающая функция y=2x+1.

Функция y=|x| является убывающей при x<0; возрастающей при x>0. Определение. Функция f(x) называется четной (нечетной), если:

1. Область определения X функции симметрична относительно начала координат.

2. Для любого значения x X выполняется равенство f(x)=f(-x) (f(-x)=-f(x)).

Замечание. График четной функции обладает осевой симметрией относительно оси OY, а график нечетной функции - центральной симметрией относительно начала координат.

Примеры.

Четные функции: y=x2 и y=x2-2|x|. Нечетные функции: y=1/x и y=x+1/x.

Замечание. Функция y=0 является одновременно четной и нечетной.

Определение. Функция f(x) называется периодической, если существует число T>0 такое, что для каждого значения x из области определения этой функции значения x+T и x-T также принадлежат области определения и имеет место равенство

f(x+T)=f(x).

Из данного определения следует, что чисел, обладающих таким же свойством, что и число T, бесконечно много. Например, 2T, -T, 4T, nT, где n Z.

Определение. Периодом функции f(x) называется наименьшее положительное число T , удовлетворяющее условию периодичности f(x+T)=f(x).

Т

Очевидно, что если функция f(x) имеет период T, то функция f(ax) имеет период T0= а .

Замечание. Из определения периодической функции следует, что ее область определения является неограниченной. Для построения графика периодической функции достаточно построить его на каком-либо отрезке длины, равной периоду , с последующим сдвигом этого графика влево и вправо.

Задание. Доказать, что функция y=|sin x| имеет период .

Доказательство. Область определения X совпадает с R. Поэтому точки x- и x+ принадлежат области определения функции |sin x|. Проверим равенство

f(x)=f(x+ ) : f(x+ )=|sin(x+ )|=|-sinx|=|sinx|=f(x).

Действительно, функция |sinx| имеет период, равный .

5. Обратная функция

Определение. Пусть дана функция y=f(x) с областью определения X и областью значений Y. Тогда

множеств X и Y. Поэтому графики функций y=f(x) и x= f -1(y) представляют собой одно и то же множество точек координатной плоскости OXY. Обычно для обратной функции аргумент обозначают через x, а функцию

через y, т.е. вместо x=f -1(y) пишут y= f -1(x). Поэтому график функции f -1(x) получается из графика функции f(x) зеркальным преобразованием плоскости OXY относительно прямой y=x.

Например, обратной функцией для y=2x будет функция y=x/2. Здесь переменные x и y уже поменялись

ролями.

Замечание. Существуют функции, которые являются обратными сами себе: y=x, y=1/x, y=-x+a, a R.

6. Суперпозиция функций.

Определение. Если функция у=f(x) отображает множество X в Y , а функция Z=F(y) отображает множество Y в Z , тогда функция Z=F(f(x)) называется суперпозицией функций f и F или сложной функцией аргумента х множества X, Y, Z – подмножества R.

Например. Z=sin( х +1); Z= 2lg( 2 x)

7. Асимптоты

Определение. Прямая линия называется асимптотой некоторой кривой, если расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю по мере удаления точки в бесконечность.

Определение. Если при стремлении модуля аргумента x к бесконечности функция f(x) стремится к постоянному числу a, то прямая y=a является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x).

Определение. Если при стремлении аргумента x к постоянному числу a функция |f(x)| неограниченно возрастает, то прямая x=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x).

1

Рассмотрим для примера функцию y= x 1 .

При x 1+0 , |y| + , следовательно, прямая x=1 является вертикальной асимптотой нашей функции. Далее: при x + или x - , y 0, значит, прямая y=0 - горизонтальная асимптота рассматриваемой функции.

Наклонная асимптота.

Предположим, что прямая y=ax+b , a 0 служит асимптотой кривой y=f(x). Из прямоугольного треугольника имеем

Замечание. Для исследования расположения кривой относительно асимптоты нужно рассматривать два случая: x + и x - , и в каждом случае определить знак выражения f(x)-ax-b.

x

2

Задача. Найти асимптоты кривой y= x 1 .

Решение. Очевидно, что при x -1, y . Значит, прямая x=-1 является вертикальной асимптотой. Так как f(x)/x 1 при x и f(x)-ax -1 при x , то получим уравнение наклонной асимптоты y=x-1.

8. Выпуклость и вогнутость функции.

Определение. Функция y=f(x) называется выпуклой вверх на промежутке (a; b), если для любой пары различных значений аргумента x1 и x2 из этого промежутка выполняется неравенство

Геометрически это означает, что на любом отрезке [x1; x2] график выпуклой вверх функции лежит выше секущей к кривой y=f(x), проходящей через точки (x1; f(x1)), (x2; f(x2)), а график функции выпуклой вниз лежит ниже этой секущей.

Существует другое определение выпуклости-вогнутости кривой:

Кривая называется выпуклой вверх на интервале (a;b), если точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Кривая называется выпуклой вниз на интервале (a;b), если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.

§ 2. Обзор элементарных функций

1. Линейная функция

Определение. Уравнение y=k·x+b, k, b R задает линейную функцию с областью определения X R.

Покажем, что каждое уравнение первого порядка относительно переменных x, y определяет прямую линию в плоскости OXY и, наоборот, - всякая прямая в плоскости OXY описывается уравнением первого порядка относительно x, y: Ax+By+C=0.

Докажем это утверждение.

Рассмотрим прямую, непараллельную оси OY. Очевидно, положение этой прямой на плоскости OXY вполне определится, если задать угол наклона этой прямой к оси OX и длину отрезка, отсекаемого этой прямой от оси OY: , b.

Тогда для любой точки M(x, y) прямой имеем:

tg y b x

или y=tg ·x+b. Здесь tg - число, которое можно обозначить k=tg . Итак, прямая, не параллельная оси OY, описывается уравнением первого порядка вида:

y=k·x+b

Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом,

равным k.

Замечание. Если прямая параллельна оси OY, то уравнение ее также первого порядка относительно x, y,

т.е. x=x0.

Пусть далее имеем уравнение первого порядка Ax+By+C=0 относительно x, y. Если B 0, то y=-A/B·x-

C/B и данное уравнение является уравнением прямой линии с угловым коэффициентом, равным -A/B, и отсекающей от оси OY отрезок длины |C/B|.

Знак коэффициента -C/B определяет пересечение прямой с осью OY, выше или ниже оси OX. Замечание. Если B=0, то уравнение Ax+C=0 или x=-C/A описывает прямую, параллельную оси OY. Выясним далее условия монотонности функции y=kx+b.

Пусть x1>x2, тогда, рассматривая f(x2)-f(x1)=k(x2- x1), получим: при k>0 y(x2)>y(x1) и функция является возрастающей; при k<0 y(x2)<y(x1) и функция является убывающей.

Замечание. Чтобы построить график функции y=kx+b, нужно построить график функции y=kx и сдвинуть его вдоль оси OY на |b| единиц вверх, если b>0, и вниз, если b<0. Причем:

1.Графики линейных функций параллельны, если их уравнения имеют равные угловые коэффициенты.

2.Графики двух линейных функций перпендикулярны, если их угловые коэффициенты удовлетворяют условию

k1k2=-1.

3. Координаты точки пересечения графиков функций y=k1 x+b1 и y=k2x+b2 удовлетворяют системе линейных

уравнений:

y k1x b1

y k2 x b2