ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев

СОДЕРЖАНИЕ

Лекция 1. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА.

§ 1.Абстрактные множества.

1.Основные понятия

Одним из основных понятий современной математики является понятие множества. Являясь исходным, множество не поддается точному определению и его смысл раскрывается лишь путем описания или пояснения на примерах.

Говорят, что любая совокупность объектов представляет собой абстрактное множество (множество), а предметы или объекты, его составляющие, называются элементами этого множества.

Множество принято обозначать заглавной буквой латинского алфавита, а элементы этого множества - строчными буквами.

Если задано некоторое множество A , то для всякого предмета a верно одно и только одно из утверждений: предмет a принадлежит множеству A (a A) или предмет a не принадлежит множеству A

(a A).

Очевидно, что элементами множества могут быть и множества. Например, каждый элемент множества живых организмов сам представляет собой множество живых клеток, его составляющих.

Множества могут содержать как конечное, так и бесконечное число элементов. Такие множества соответственно называются конечными и бесконечными.

Например, множество корней равнения x-1=0 - конечное, а множество натуральных чисел 1, 2, 3, 4, ... - бесконечное.

Рассмотрим далее множество действительных корней уравнения x2+1=0. Как нетрудно заметить, действительных корней это уравнение не имеет. Таким образом, мы приходим к понятию множества, не содержащего ни одного элемента.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается знаком

.

Может оказаться, что множества A и B состоят из одних и тех же элементов, т.е. каждый элемент множества A является элементом множества B и, наоборот, каждый элемент множества B является элементом множества A. В этом случае говорят, что множества A и B равны, т.е. A=B.

Например, множества (1,2,3,5) и (5,2,3,1) являются равными.

Далее, введем понятие подмножества некоторого множества. Если каждый элемент множества A принадлежит множеству B, то множество A называется подмножеством множества B, и записывается этот факт в виде

A B; читается "A включено в B".

Если множество A не является подмножеством множества B, то это записывается в виде A B; читается "A не включено в B".

2.Свойства множеств.

1.Если A=B, то A B и BA.

2.Если A B и B C, то AC

3.Если A B и B A, то A=B

4.AA при любом множестве A.

5.Пустое множество является подмножеством любого множества.

3.Взаимно однозначное соответствие

Если каждому элементу множества A по некоторому закону можно поставить в соответствие один и только один элемент множества B и, наоборот, каждому элементу множества B можно поставить в соответствие один и только один элемент множества A, то такое соответствие между множествами A и B называется взаимно однозначным, а сами множества называются эквивалентными.

Например: Взаимно однозначное соответствие можно установить между множествами (1, 2, 3, 4,...) и (1, 1/2, 1/3, 1/4,...), между множеством точек отрезка длины 2 и множеством точек отрезка длины 5.

4.Операции над множествами

Над множествами возможно производить некоторые операции, т.е. по данным нескольким множествам строить новое множество.

а. Пересечение. Пересечением множеств A и B называется такое множество M, каждый элемент которого принадлежит как A, так и B.

Пересечение множеств A и B обозначается символом AB,

M=A B = {x|x A, x B}. Приведенную запись следует читать: "множество M, равное пересечению множеств A и B, состоит из элементов x, которые одновременно принадлежат множествам A и B".

Примеры:

1.

2.Если A - множество четных чисел, B - множество нечетных чисел, то AB=. То есть множества A и B не пересекаются.

3.Если A={x | x[0;5)}, B={x | x [2;7)}, то AB={x | x [2;5)}.

4.Если A - множество всех ромбов, B - множество всех прямоугольников, то

A B - множество всех квадратов.

Задание. Изобразите схематически на плоскости взаимное расположение следующих множеств: R - множество вещественных чисел, Q -множество рациональных чисел, Z - множество целых чисел, Y - множество дробных чисел, N - множество натуральных чисел.

Замечание. Операция пересечения обладает свойствами

б. Объединение. Объединением множеств A и B называется множество M такое, каждый элемент которого принадлежит или множеству A, или множеству B.

Объединение множеств A и B обозначается символом A B, M=A B={x | x A или x B}. Приведенную запись следует читать:

"множество M, равное объединению множеств A и B, состоит из элементов x, которые принадлежат либо множеству A, либо множеству B". Примеры:

1.

2.Если A - множество четных чисел, B - множество нечетных чисел, то A B - множество всех целых чисел - Z.

3.Если A={x | x [0;5)}, B={x | x [3;7)}, то M=A B={x | x [0;7)}.

Замечание. Операция объединения множеств обладает свойствами:

Множество N является бесконечным, имеет наименьший элемент 1 и не имеет наибольшего элемента. Множество натуральных чисел является упорядоченным множеством, т.е. для каждого натурального числа можно

Известно, что в множестве натуральных чисел определены операции сложения и умножения, т.е. если даны два натуральных числа a и b, то результатом операции сложения или умножения над этими числами будет также некоторое натуральное число.

Операции сложения и умножения в N обладают свойствами:

Если r=0, то число a делится на b без остатка. Справедливы утверждения:

a.Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма их делится на это число.

b.Если один из сомножителей делится на какое-либо число, то и произведение их делится на это число.

Определение. Натуральное число, имеющее два делителя: само число и единицу, называется простым. Определение. Натуральное число, имеющее более чем два делителя, называется составным. Замечание. Любое составное число можно разложить на простые множители.

Замечание. Число 1 не является ни простым, ни составным. Теорема. Простых чисел бесконечно много.

3.Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное

Определение. Наибольшим общим делителем (НОД) двух натуральных чисел называется наибольший из общих делителей этих чисел.

Пример.

Возьмем числа 24 и 60. Находим множества A и B делителей этих чисел: A={1,2,3,4,6,8,12,24}, B={1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}.

Далее определим общие делители чисел 24 и 60: АB={1,2,3,4,6,12}.

Наибольший из элементов множества A B и будет наибольшим общим делителем чисел 24 и 60. Т.е. НОД

(24;60)=12.

Определение. Наименьшим общим кратным (НОК) двух натуральных чисел называется наименьшее число из их общих кратных.

Пример.

Рассмотрим числа 12 и 18 . Составим множества чисел, кратных 12 и 18: A={12, 24, 36, 48, 60,...}, B={18,

36, 54, 72,...}.

Найдем A B={36, 72, 108,...}. Наименьший элемент множества A B является искомым наименьшим общим кратным чисел 12 и 18.

То есть НОК (12; 18)=36.

Замечание.. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел A и B удовлетворяет равенству:

НОД(A;B)·НОК(A;B)=A·B.

Замечание. Числа A и B называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, отличных от единицы.

Пример. Взаимно простыми являются пары чисел: 3 и 14; 16 и 25. 4. Целые числа

Введем понятие числа нуль, обозначающееся символом 0.

Число нуль удовлетворяет следующей аксиоме: при сложении числа 0 с любым другим числом в результате получим это число, т.е. а+0=а. Иногда число нуль рассматривают как разность двух равных чисел, т.е. а-а=0.

Далее каждому числу а из множества натуральных чисел можно поставить в соответствие некоторое число а-, которое удовлетворяет условию а+а-=0.

Определение. Множество N- чисел а-, обладающих указанным выше свойством, называется множеством

целых отрицательных чисел. Числа а и а- называются противоположными; числа а- обычно принято обозначать -а

, т.е. а+(-а)=0.

Определение. Объединение множеств натуральных, целых отрицательных чисел и число 0 образуют новое числовое множество - множество целых чисел, которое обозначается буквой Z, т.е. Z={0} N- N.

5.Рациональные числа

Определение. Рациональным числом r называется число, представимое в виде r=p/q, где p - целое, а q - натуральное числа.

Все рациональные числа образуют множество рациональных чисел, которое обозначается буквой Q. Если p делится на q нацело, то рациональное число r является целым, в противном случае - дробным.

Любое рациональное число можно представить в виде периодической десятичной дроби.

Очевидно, множество рациональных чисел включает в себя как подмножества: N, N- и Z, т.е. N- Z Q и

N Z Q.

Замечание. Множество Q рациональных чисел является замкнутым относительно операций сложения, умножения, вычитания и деления, т.е.

результат применения названных операций к рациональным числам есть рациональное число.

6. Иррациональные числа

После того, как мы ввели понятие множества рациональных чисел, нетрудно заметить, что решение

уравнения x2=2 не может быть найдено в множестве этих чисел. То есть числа 2 в множестве Q не существует, хотя такое число реально существует, т.к. длина диагонали квадрата со стороной, равной единице, будет

выражаться числом 2 .

Докажем, что число 2 не является рациональным. Доказательство.

Предположим противное: 2 - рациональное число, т.е. 2 =p/q, где p Z, q N, причем p, q - взаимно простые числа. Тогда p2=2q2, а следовательно, p2 и p являются четными. Пусть p=2l После подстановки p=2l в последнее равенство, получим 4l2=2q2или q2=2l2 . Следовательно, q - число четное, чего быть не может, т.к. p и q - взаимно простые числа.

Значит, предположение о том, что 2 - рациональное число не верно. Что и требовалось доказать. Таким образом, доказано существование нерациональных чисел.

Определение. Число, которое представляется в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, называется иррациональным. Множество иррациональных чисел обозначается буквой J.

Иррациональные числа бывают двух типов: алгебраические и неалгебраические (трансцендентные). Определение. Алгебраическим числом будем называть всякий корень уравнения P(x)=0 (P(x) - некоторый

многочлен с целыми коэффициентами), принадлежащий множеству J.

Заметим, что длина единичной окружности не выражается алгебраическим числом, т.к. L=2 , где - неалгебраическое число. Также трансцендентным является предел последовательности xn, где xn=(1+1/n)n , при n , который принято обозначать буквой e. Приближенно полагают: =3,14159, е=2,71828.

7. Вещественные (действительные) числа

Определение. Множество R , равное объединению множеств рациональных и иррациональных чисел, называется множеством вещественных или действительных чисел, т.е. R = Q J.

В математике множество вещественных чисел также называется континуум.

Следует отметить, что строение континуума не такое простое, как представляется при первом знакомстве с ним. Множество вещественных чисел представляет собой сложную, богатую различными деталями математическую

конструкцию, изучение которой наука не может считать законченным и до настоящего времени.

Заметим, что далее мы будем рассматривать только подмножества вещественных чисел, хотя некоторые утверждения справедливы и для абстрактных множеств.

Аксиома полноты (непрерывности) множества R.

Если X и Y непустые подмножества R такие, что для любых элементов x X и y Y имеет место х у, то существует число c R, удовлетворяющее условию х с у.

Упорядоченные и ограниченные множества

Определение. Непустое множество А элементов (x, y, z, ...) называется упорядоченным, если задан закон сравнения его элементов, удовлетворяющий аксиомам порядка, т.е.:

1. Для любых элементов х, у А выполнена одна и только одна возможность либо x>y, либо x=y, либо x<y;

2. Если x>y и y>z, то x>z.

Таким образом мы видим, что множество вещественных чисел и любое его подмножество является упорядоченными множествами.

Определение. Пусть В - упорядоченное множество и А В. Непустое множество А называется ограниченным сверху (снизу), если существует элемент хМВ (хmВ) такой, что для всех элементов х А

выполнено условие х хМ (х хm).

В этом случае элементы хМ и хm соответственно называются верхней и нижней гранями множества А.

Определение . Множество А называется ограниченным, если оно ограничено как сверху так и снизу. Определение . Множество А называется неограниченным, если для любого числа k R найдется элемент

х А такой, что |x|>|k|.

Например . Множество натуральных чисел N ограничено снизу, множество отрицательных целых чисел (- N) ограничено сверху, а множество

А {x|x [0; 1] } ограничено.

Точные грани множества .

Определение . Число bВ называется точной верхней (нижней) гранью множества А, если 1. для любого х А выполняется неравенство хb (x b);

2. для любого числа >0 найдется элемент х из В такой, что имеет место неравенство x>b- (x<b+ ). Замечания .

1. Точная верхняя грань обозначается символом sup A, а точная нижняя грань символом inf A.

2. Точные грани множества могут как принадлежать множеству А так и не принадлежать множеству А. Например А={x|x (0: 1]}.

3. Точная верхняя грань множества является наименьшей из верхних граней этого множества, а точная нижняя грань множества является наибольшей из нижних граней этого множества.

Оказывается, не всякое множество имеет точные грани. В силу этого возникает вопрос: когда же множество имеет точные грани?

Теорема . Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) подмножество множества вещественных чисел имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

Доказательство . Пусть X R, a Y={y R| у х, х Х, Y }

Тогда имеем: для любых x X и любых y Y выполнено х у. Поэтому в силу аксиомы полноты (или непрерывности): существует число с R такое, что х с у для любых х Х и любых у Y.

То есть: 1. Число с является верхней гранью множества Х.

2. Число с является наименьшим числом множества Y верхних граней множества Х. В силу этого с - точная верхняя грань множества Х.

Относительно точной нижней грани доказательство проводится аналогично.

Метрическое пространство .

Определение . Множество Х называется метрическим пространством, если любым двум его элементам х1 и х2 можно поставить в соответствие неотрицательное число ( х1, х2) из R, называемое расстоянием между х1 и х2.

Причем ( х1, х2) удовлетворяет условиям:

1. ( х1, х2)>0, если х1 х2; ( х1, х2)=0 при х1=х2,

2. ( х1, х2)= ( х2, х1), 3. ( х1, х2) ( х1, х3)+ ( х3, х2)

Пример метрического пространства .

Множество R- метрическое пространство, если (х1, х2)=|х1- х2|. Действительно:

1. (х1, х2)=| х1-х2|>0; х1 х2 ( х1, х1)=|х1- х1|=0; 2. (х1, х2)=| х1-х2|, (х2, х1)=|х2-х1| (х1,х2)= (х2,х1);

3. (х1, х2) (х1, х3)+ (х3, х2), так как |х1-х2|=|х1-х3+х3-х2| |х1-х3|+|х3-х2|