Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

4.74 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 268 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Так как 0

х2

есть бесконечно малые функции при х0, то и 1-

sin x

при õ 0 бесконечно малая

функции.

Значит

lim

sin x

=1.

x 0

Замечание. Доказательство проведено для х>0. Однако, если х<0, то под знаком предела можно сделать

замену х=-t, t +0:

lim

sin x

= lim

sin t

lim

sin t

=1. Следовательно

lim

sin x

x 0

t 0

t 0 t

x 0

Применение первого замечательного предела.

Длина окружности.

За длину окружности принимают предел периметра

правильного вписанного в эту окружность многоугольника

при неограниченном увеличении числа его сторон, т.е.

L= lim

P , где Р =n a ,

a =2 R sin( /n). тогда вычислим

n n

этот предел

lim Р

= lim 2 n R sin( /n)=

= lim

2R sin( / n)

=2 R. Так как

/ n

lim

sin( / n)

=1 при /n 0, n , получим

lim Р =2 R

или L=2 R.

/ n

n n

Площадь круга.

За площадь круга принимают предел площади вписанного в

круг правильного многоугольника при неограниченном

увеличении числа его сторон, т.е. S=

lim

S . Так как

n n

SAOB=1/2 R2 sin (2 /n),

то S =1/2 nR2 sin(2 /n).

Вычислим

lim S :

n n

lim

n/ R2sin(2 /n)= lim

sin(2 / n)

= R2 lim

sin(2 / n)

= R2.

2 / n

Итак, площадь круга радиуса R равна R2.

	1	х
3. Второй замечательный предел. lim 1		е
3. Второй замечательный предел. lim 1		е
х	х
Мы уже встречались ранее с пределом lim (1+1/n)n=e при n N . Очевидно		lim	(1+1/nk)nk=e, при n N,
n		nk	k
n		nk

т.к. последовательность (1+1/nk)nk является подпоследовательностью сходящейся к е, последовательности

(1+1/n)n.

Возьмем далее произвольную последовательность хк сходящуюся к +, т.е. хк +, при к .

Тогда имеем n x <n +1, где n =[x ],								а также					1			1				1	; 1	1			1	1	1	1	;
			k k		k	k	k				nk 1					xk				nk		nk 1				xk		nk
											nk 1					xk				nk		nk 1				xk		nk
		1		nk		1	xk				1			nk 1
1		1			1	1		1			1					.
1					1			1								.
	nk 1					xk						nk
		1			n k 1				1	x k						1			n k				1
То есть		1	1/(nk 1)						1							1							1
			1/(nk 1)
			(1/(n k 1))				1								1						1			. Пределы левой и правой
		1	(1/(n k 1))						xk								n k						nk
частей при к равны е, т.к. n							+ (очевидно и						х +) и							lim (1+1/nk)nk=e. Откуда по теореме о
						k								к				nk
																		nk

зажатой последовательности имеем

lim (1+1/хk)хk=e при хк + .

хk

Тогда по определению предела по Гейне получаем, что

lim (1+1/х)х=e - 2ой замечательный предел.

Имеет место также равенство

lim

(1+1/х)х=e т.к. сделав замену -х=t , получим: lim

(1-1/t)-

1 t

1 t 1

lim

= =

lim 1

t t

t 1

lim 1

=e.

t 1

Итак lim 1

Замечание.
Следует отметить, что	lim
	(x) 0
	x x0

(1+(х))1/(х)=е ; lim	(1+1/	)(х)=е
(x)	(х)
(x)
x x0

Не забудьте!!! В формуле 2 ого замечательного предела всегда «добавка» к единице является бесконечно малой, а показатель степени является обратной величиной этой бесконечно малой.

4. Некоторые примеры.

1. Вычислить предел

lim

х2

3х 1

х 1

х 2

Решение. Так как пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя отличен от нуля, то

х2

3х 1

lim (x2 3x 1)

4 6 1

возможно применить теорему о пределе частного lim

x 2

х 1

lim (x 1)

х 2

x 2

1/3.

2. Вычислить предел

lim

х3

4х2 4х 1

х2

х 1

Решение. При вычислении этого предела нельзя сразу применить теорему о пределе частного, так как предел знаменателя равен нулю при х1. Здесь мы имеем, так называемую «неопределенность типа 0/0», в силу того, что предел числителя тоже равен нулю при х 1.

Заметим, что числитель и знаменатель имеют множитель х-1, на который можно сократить при х1. Из определения предела мы помним, что предельная точка не достигается при х1, т.е. х 1.

Таким образом при вычислении указанного предела можно разделить числитель и знаменатель на двучлен х-1, после чего применить теорему о пределе частного:

lim	х3	4х2 4х 1	== lim	(х 1)(х2 3х 1)	= lim	х2	3х 1		=
		х2 1		(х 1)(х 1)			х	1
х 1			х 1		х 1

lim (x2 3x 1)

x 1

=-1/2.

lim (x 1)

x 1

3. Вычислить предел

lim

(tg x - sin x).

х 0 х3

sin x

1 cosx

Решение. Сделаем некоторые преобразования дроби

sin x

;

х3

1 cosx

cosx

lim

sin x

=1 1 1/ =1/2. Так как

lim

sin x

=1,

lim

=1,

х 0 cosx

х 0

х 0 cosx

1 cosx

2 sin

2 x

lim

= lim

=1/2.

х 0

4. Вычислить предел

lim

(1+1/х)3х.

Решение. В этом пределе встречаем еще один тип неопределенности, именно

«тип 1 ». Отметим, что этот тип неопределенности впервые нам встретился при выводе второго замечательного предела.

Для вычисления предела сделаем некоторые преобразования

lim (1+1/х)3х= lim [(1+1/x)x]3= lim (1+1/x)x(1+1/x)x(1+1/x)x=
х	х	х
= lim (1+1/x)x lim (1+1/x)x lim (1+1/x)x=e3.
х	х	х

Здесь мы воспользовались во-первых теоремой о пределе произведения, а затем вторым замечательным пределом.

5. Вычислить предел lim	ln x 1	.

х е	x e

Решение. Запишем дробь следующим образом

ln x ln e

, а затем сделаем

x e

замену переменной x/

- 1 = z. Тогда (х е; z 0)

lim

ln x 1

lim

ln(1 z)

= =1/e lim

(

ln(1+z))=1/

lim ln(1+z)1/z=e-1.

x e

e z

х е

z 0

lim

x2 5x 6

lim

(х 2)(х 3)

= lim

(х 3)

=1/8.

2)(х 10)

(х 10)

x 2 x2

12x

20 x 2 (х

x 2

lim

sin mx

= lim

sin mx mx nx

lim

sin mx

lim

=m/n.

х 0 sin nx

х 0 sin nx mx nx

х 0

n 0 sin nx

х 0 nx

1 cosx

2sin

2 x

2 sin

sin

lim

= lim

=0.

х 0

х2

2х

lim

х2 1

x x2 1

= e

lim

lim 1

х2

= е

х х

1 х

lim

10.

lim

lim 1

= e x

= е

0 =1

х2

e x 1 y;

- x = ln(1 + y)

-x

11.

lim

y 1;

x = -ln(1 + y)

х 0

y 0.

x 0;

= lim

= - lim

= lim

=-1.

lim ln(y 1)1/ y

y 0 ln(1 y)

y 0

ln(1 y)

y 0 ln(1 y)1/ y

y 0

Лекция 9 ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ.

Отметим, что бесконечно малые и их свойства часто используются при вычислении пределов, в теории интеграла Римана и рядах.

Ясно также, что две совершенно различные функции могут быть бесконечно малыми в окрестности одной и той же точки. Однако, само по себе понятие бесконечной малости функций, например (х) и (х) при х х0, не дает возможности сравнить эти функции в окрестности точки х0; не позволяет оценить относительную скорость стремления одной бесконечно малой относительно другой.

Для того, чтобы сравнить поведение бесконечно малых в окрестности какой-то точки вводится шкала бесконечно малых, с выбранным эталоном - определенной бесконечно малой функции.

1. Классификация бесконечно малых.

Пусть нам заданы несколько бесконечно малых функций (х), (х), (х) при х х0.

(х) (х)

Определение. Если отношение (х) , (или (х) ) при х х0 имеет конечный предел, отличный от

нуля, то бесконечно малые (х) и (х) называются бесконечно малыми одного и того же порядка при хx0 . Например. х2; sin x2; 2x2; 3x2+4x5; sin2x; tg x2 при х0 являются бесконечно малыми одного порядка.

			(х)	х х0 само оказывается бесконечно малым, т.е.
	Определение. Если отношение (х) , при			х х0 само оказывается бесконечно малым, т.е.
lim	(х)	=0, то бесконечно малая	(х) называется величиной более высокого порядка малости, чем
lim	(х)	=0, то бесконечно малая
x х0	(х)

бесконечно малая (х) при х х0. Вместе с тем бесконечно малая (х) называется бесконечно малой низшего порядка чем (х) при х х0.

Например: sin x2, 1-cos x - бесконечно малые более высокого порядка малости чем х при х0.

Если бесконечно малая (х) является бесконечно малой более высокого порядка при х х0 чем (х), то это записывается в форме (х)=О( (х)) при х х0.

Например. sin2x=o(x) при х0; 2х3=0(х) при х0; (х-1)2=0(sin(x-1)) при х1.

Определение. Если

lim

(x)

не существует, то говорят, что бесконечно малые (Х) и (х) не

x x0

(x)

сравнимы при хx0.

Например. (x) = x

sin

, (x)=sin x при х0, так как

xsin

(x)

lim

= lim

не существует.

x 0

(x)

x 0

sin x

Определение. Если

lim

(x)

=С0, то говорят, что бесконечно малая

(х) является бесконечно

(x) k

x x0

малой порядка k

относительно бесконечно малой (Х) при хx0.

Например:

(x)=1-cos x,

(x)=

при х0.

lim

(x)

lim

1 cosx

Значит ((1-cos x) является бесконечно малой четвертого порядка

x 0

(x) 4

x 0

относительно

х при х0.

2) (х)=cos x-cos2x, (x)=x при х0.

(x)

2 sin

sin

lim

, значит cos x-cos2x

является бесконечно малой второго порядка

2 (x)

x 0

относительно х при х0.

2. Эквивалентные бесконечно малые.

Определение . Две бесконечно малые функции (х) и (х)

называются эквивалентными при х х0, если

lim

(х)

=1. Условие эквивалентности обозначается знаком « ~ », т.е. (Х) ~ (х)

при х х0.

x х0 (х)

Например.

а)

Бесконечно малые: x; tg x; sin x; arcsin x; arctg x;

ln(1+x) при х0 эквивалентны;

б)

1-cosx ~ 1/2 x2 при х0 эквивалентны ;

-1 ~ (1/m) x при х0

в)

1 x

(m N) эквивалетны.

lim

1 х

Доказательство. Вычислим

= (*)

x 0

-1=у (у0, при х0)

Сделаем замену

1 x

(1+х)=(1+у)m,

x=(1+y)m-1=1+my+

m(m 1)

y2+

m(m 1)(m 2)

y3+ ...+ym-1=

2 3

=my+ m(m 1) y2+ ... +ym.

(*) = lim

= lim

=1.

m(m

m(m 1)

у 0

... y

у 0

y ...

m 1

Теорема. Если две бесконечно малые f(x)

и g(x)

эквивалентны в окрестности точки х=х0 (или говорят

эквивалентны при х х0), то при условии существования предела

lim g(x)h(x)=A ( lim

g(x)

=B)

x х0

h(x)

существует предел lim

f(x)h(x)=A ( lim

f (x)

=B).

h(x)

x х0

Замечание. Утверждение теоремы может быть сформулировано так: при вычислении предела

эквивалентные бесконечно малые в произведении и частном можно заменить друг на друга.

Например.

lim

3sin2 x cosx

lim

3sin x sin x cosx

= lim

3x x cosx

= lim

3cosx

=3.

x2 (x2 1)

х 0 x2 (x2

х 0

х 0 x2 (x2 1)

х 0 1 x2

Здесь использовали : sin x ~ x, при х0.

3. Главная часть бесконечно малой.

Выберем некоторую бесконечно малую (х) за основную. Тогда бесконечно малые вида С к(х) (С- const, xх0) называются простейшими относительно (х).

Очевидно, если бесконечно малая (х) является бесконечно малой порядка «к» относительно (х), то

lim	С к (х)
		=const.

x х0	(х)

Определение. Говорят, что простейшая бесконечно малая С к(х) является главным членом бесконечно

малой (х) при х х0, если lim	(х)	=1.


x х0 С к (х)

Таким образом, простейшая бесконечно малая С к(х) эквивалентная (х) называется главным членом этой бесконечно малой относительно бесконечно малой (х) при х х0.

Замечание. После выделения главного члена бесконечно малой (х) (при выбранном эталоне (х))

С к(х), бесконечно малую (х) можно записать в виде (х)=С к(х)+0( к(х)), т.е. бесконечно малая (х) есть сумма главного члена этой бесконечно малой относительно (х) и бесконечно малой более высокого порядка

малости чем к(х) (т.е. 0( к(х))).

			lim	(х)
Действительно: из определения главного члена имеем:					=1. Тогда, т.к. разность
Действительно: из определения главного члена имеем:					=1. Тогда, т.к. разность
		x х0 С		к (х)
между функцией и ее пределом является бесконечно малой, то			(х)	-1= (х); где (х) 0 при х х0.

		С к (х)
		С к (х)
	(x) C k (x)
То есть (х)=Ск(х)+ (х)Ск(х) и lim			=0, т.е. (х)Ск(х)=0( к(х)).
То есть (х)=Ск(х)+ (х)Ск(х) и lim	k (x)		=0, т.е. (х)Ск(х)=0( к(х)).
x х0	k (x)

Откуда следует, что (х)= Ск(х)+ 0( к(х)).

1. Возьмем бесконечно малую 1-cos x при х0. Мы уже видели, что

1-cos x ~ 1/2 x2, следовательно главным членом 1-cos x является 1/2 x2, т.е. 1-cos x=1/2 x2+0(x2).

	2. Для бесконечно малой 2sin x справедливо 2sin x ~ 2x т.к. lim	2 sin x
		2x
	x 0	2x

=1, тогда главным членом 2sin x

является функция 2х и 2sin x=2x+0(x).

3. Для бесконечно малой tg x-sin x получим lim

tgx sin x

x 0

sin x

sin x 1 cosx

1 cosx

= lim

cos x

lim

x 0

x xk 1 cosx

x 0 xk 1 cosx

= lim

при k-1=2;

k=3.

x 0 xk

1 cosx

Значит главным членом бесконечно малой tg x-sin x

при х0 является бесконечно малая

1/ х3, т.е. tg x-sin

x=1/ x3+0(x3).

Итак. Для того чтобы выделить главную часть бесконечно малой (х)

относительно бесконечно малой

(х), нужно найти эквивалентную бесконечно малую вида Ск(х)

для бесконечно малой (х):

а) Сначала надо найти порядок «к» из условия lim

(х)

=const 0;

x х0

к (х)

lim

(х)

б) Найти предел

=С.

x х0

к (х)

4. Примеры доказательства эквивалентности.

1 ~

1 х

х 0.

1 х 1

lim

1 х

lim

= lim

=1.

x 0

1 х 1

х( 1 х 1)

х( 1

х 1)

ln(1 x) ~ x

х 0.

lim

ln(1 x)

lim

ln(1+x)= lim ln(1+x)1/x=1.

x 0

x 0 х

x 0

lga (1 x) ~ x lga e

х 0.

lga(1+x)=

ln(1 x)

=ln(1+x) lgae ~ x logae.

ln a

4. ex 1 ~ x х 0.

lim	ex 1	= lim	y		=1; здесь ех-1=у, ех=у+1, х=ln(1+y).
	x			y)
x 0		у 0 ln(1

5. ax 1 ~ x lna х 0.

lim

аx 1

= lim

=1; здесь

ах-1=у,

ах=1+у, х=ln(1+y) (ln a)-1.

x 0 x lna

у 0 ln(1 y)

ln a

(1 х) 1 ~ x

х 0.

Обозначим (1+х) - 1=, (1+х) =1+ ,

ln(1+х)=ln(1+ ), =

ln(1 )

ln(1 x)

(1 х)

ln(1 х)

поэтому lim

= lim

lim

=1.

x 0

0 ln(1 )

x 0

1 ~

1 х

х 0.

Обозначить n

1 ( и т.д. см № 6).

1 х

5. Таблица эквивалентных бесконечно малых.

а) x ~ sin x ~tg x ~ arcsin x ~ arctg x

при х 0

б)

1 ~

x ; х 0.

1 х

в) ln(1+x) ~ x ;

х 0.

г) loga(1+x) ~x logae ; х 0.

д) ex-1 ~ x; х 0.

ж) (1 х) 1 ~ x ; х 0.

з) n

1 ~

x ; х 0.

е) ax-1 ~ x ln a ; х 0.

1 х

6. Пример неправомочности замены эквивалентных бесконечно малых:

cosx

х2

lim

=0 ( неверно )

x 0

cosx

х2

х4

lim

( верно )

x 0

Здесь мы сделали замену бесконечно малых в сумме, что привело к неправильному результату.

7. Некоторые примеры.

mn (1 х)n (1 х)m 1

lim

1 х

lim

x 0

n m x 0(x)

n m

mn 1 ( n m)x 0(x) 1

= lim

=> lim

x 0

m n

т.к. (1+х)n(1+ x)m=

=[1+n x+

n(n 1)

( x)2+...+( x)n] [1+m x+

m(m 1)

( x)2+...+( x)m]=

=[1+(n +m )x+...+A0xmn]=1+(n +m )x+o(x).

ln x ln a

1 ln(1 y)

=1/

lim

;(a>0)

lim

= lim

x a

x а

x а x a

x а x

у 0

lim

(sin ln(1+x)-sin ln x).

|sin ln(1+x)-sin ln x|=|2sin

ln(1 x) ln x

cos

ln(1 x) ln x

ln(1 1 / x)

ln(1 x)x

ln(1 1 / x)

=|2sin

cos

| <2| sin

|. Т.к. ln(1+1/x) 0

при х + , и

ln(1 1 / x)

2|sin

|<2|

|=>0, тогда lim (sin ln(1+x)-sin ln x)=0

4. Выделить главный член бесконечно малых.

а. x sin x

при х 0;

lim

x sin x

lim

x x

=С, т.к. к=2

причем С=1. Тогда

x sin x=x2+0(x2).

x 0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 268 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.20151.1 Mб125Лекции-История и методология языкознания.doc
#
03.05.2015366.08 Кб154Лекции-ст.doc
#
13.08.201973.73 Кб7Лекции.doc
#
09.11.20184.19 Mб46лекции.doc
#
27.03.2015223.47 Кб36Лекции.docx
#
27.03.20154.74 Mб73ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев.pdf
#
27.03.2015274.94 Кб7Лекции_по_ИЭ_2.doc
#
11.03.20162.17 Mб25Лекции_тервер.pdf
#
27.03.20153.81 Mб123ЛекцииМО.doc
#
27.03.2015473.6 Кб10Лекционный курс для подготовки (студентам).doc
#
27.03.2015222.15 Кб17Лекция 02 Кинематика криволинейного движения..pdf