Исправлено14_05_2012_New_file

Министерство образования и науки РФ Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования

"Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского"

Механико-математический факультет

Кафедра геометрии и высшей алгебры

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА на степень бакалавра математики по направлению ¾Математика¿

Исполнитель: студентка 632 группы Морозова К.И.

Научный руководитель: доцент кафедры ГиВА, к. ф.- м. н., Жукова Н. И.

Нижний Новгород 2012 г.

Оглавление

Содержание

2.4Гладкие отображения многообразий. Диффеоморфизм. . . . . . . . . . . . . . 13

3.1Стандартные слоения в Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2 Определение гладких слоений на многообразиях . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3Простые слоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2Ростки диффеоморфизмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3Произведение путей в топологическом пространстве. . . . . . . . . . . . . . . . 24

2

1Введение

Передо мной была поставленна задача изучить: 1. Гладкие многообразия. 2. Слоения на гладких многообразиях. 3. Группы голономии гладких многообразий.

При изучении гладких многообразий мною была рассмотренна связь между определением многообразия классом эквивалентности атласа и максимальным атласом и доказано, что эти определения эквивалентны. Также, было рассмотренно несколько примеров связанных с заданием атласа на гладком многообразии.

Рассматривая гладкие слоения на многообразиях я изучила стандартные сллоения в Rn, простые слоения, а также разобрала несколько примеров.

Также были затронуты росковые группы голономии. В качестве примеров они были вычислены для листа Мебиуса и бутылки Клейна.

3

2Определение многообразия

2.1Гладкие отображения в Rn

от n переменных. В случае, когда множество U открыто, имеет смысл говорить о производных произвольного порядка от функций yk = 'k(x1; :::; xn); k = 1; :::; n, ïî x1; :::; xn в любой точке из U.

Определение 2.1. Пусть U - открытое множество в Rn. Отображение ' :

U V называется гладким класса Cr; 1 r 1, если функции yk = 'k(x1; :::; xn); k = 1; :::; n, имеют непрерывные частные производные до порядка r включительно в каждой точке x 2 U.

Определение 2.2. Отображение ' : U V называется вещественно-анали- тическим или класса C!, если все функции yk = 'k(x1; :::; xn); k = 1; :::; n, â

называемую его якобианом. Из математического анализа известно, что для лю-

Определение 2.3. Отображение ' : U V открытых множест пространства Rn называется Cr-диффеоморфизмом, если оно Cr-гладко, биективно и обратное оображение ' 1 : V U : (y1; :::; yn) 7!(x1; :::; xn) = ' 1(y1; :::; yn) òîæå Cr- гладко.

4

Из формулы (2) вытекает, что якобиан D'(x) произвольного диффеоморфизма во всех точках множества отличен от нуля, причем (D' 1)(y) = ((D')(x)) 1

для любой точки y = '(x) множества V .

Теорема об обратном отображении утверждает,что, если в точке x0 2 U ÿêî-

áèàí D'(x0) гладкого отображения ' : U V отличен от нуля, то существует такое открытое множество U0 U, содержащее точку x0, что ограничение 'jU0 отображения ' на U0 яляется дифеоморфизмом множества U0 на некоторое

открытое множество V 0 = '(U0) V , содержащее точку y0 = '(x0).

Из этой теоремы следует, что гладкое, биективное отображение ' : U V , якобиан которого всюду отличен от нуля, является диффеоморфизмом.

2.2Гладкие многообразия

Определение 2.4. Пусть (M; ) - топологическое пространство. Kартой в M называется пара (U; '), где U - открытое подмножество M, а ' : U B гомеоморфизм на открытое подмножество B в Rn. Множество U называется областью определения карты (U; '), а отображение ' координатным отображением.

Определение 2.5. Пусть (U; ') и (Ue; 'e) две карты на топологическом пространстве (M; ). Предположим, что U \ Ue 6= . Если возникающие отображе-

íèÿ

'e ' 1 : '(U \ Ue) 'e(U \ Ue)

' 'e 1 : 'e(U \ Ue) '(U \ Ue)

являются диффеоморфизмами класса Cr, то эти карты (U; ') и (Ue; 'e)называются

Cr - согласованными.

Атласом класса Cr на топологическом пространстве (M; ) называется семейство карт A = f(Ui; 'i)ji 2 Jg, обладающее двумя свойствами:

S

i2J Ui = M, òî åñòü fUi; i 2 Jg - открытое покрытие пространства M; (A2) любые две карты (Ui; 'i) è (Uj; 'j) из A являются Cr-согласованными.

Определение 2.7. Два атласа A и B класса Cr, заданные на топологическом пространстве (M; ), называются эквивалентными, если их объединение C = A [ B является атласом класса Cr.

Предложение 2.1. Введенное отношение является отношением эквивалентности на множестве атласов класса Cr, заданных на топологическом про-

странстве (M; ), и обозначается через .

Доказательство. Проверим, что введенное отношение действительно является отношением эквивалентности.

Рефлексивность и симметричность выполняются очевидным образом.

5

Докажем транзитивность этого отношения.

Пусть даны три атласа A = f(U ; ' )j 2 Ig, B = f(V ; )j 2 Jg, C = f(W ; )j 2 g на топологическом пространстве M и известно, что A B и B C. Возьмем любую карту (U ; ' ) из A и произвольную карту (W ; ) из

Cr, òàê êàê 1 2 Cr ïî Cr-согласованности второго и третьего атласов, а

' 1 2 Cr ïî Cr-согласованности первого и второго атласов. Следовательно,

âсилу произвольного выбора точки, отображение ' 1

принадлежит классу

Cr в каждой точке множества.

Из предложения (2.1) слудует, что множество всех Cr атласов на топологи-

ческом пространстве M распадается на непересекающиеся классы эквивалентности Cr-согласованных атласов. Класс эквивалентности, содержащий атлас A,

обозначается через [A].

Определение 2.8. Пара (M; [A]) называется гладким многообразием, а класс элемента [A] называется гладкой структурой.

Определение 2.9. Атлас A класса Cr на M называется максимальным атласом, если он совпадает с любым его содержащим Cr-атласом. Другими словами, если B атлас класса Cr è B A, òî B = A

Определение 2.10. Пара (M; A), где A максимальный атлас класса Cr, называется гладким многообразием, а A называется гладкой структурой класса Cr.

Предложение 2.2. Определение (2.8) и определение (2.10) гладкого многообразия эквивалентны.

Доказательство. Пусть пара (M; [A]) - гладкое многообразие, где

[A] = fAij i 2 Jg

класс эквивалентности, содержащий атлас A. Покажем, что [A] = A. Для этого

S

достаточно показать, что A = i2J Ai.

6

A \ Ai - Cr-атлас, следовательно, любая карта из Ai Cr-согласована с любой картой из A. Из определения A следует, что Ai A и значит,

[

Ai A:

i2J

(2)

Из включений (1) и (2) следует равенство [A] = fAiji 2 Jg.

Следствие 2.1. Для задания гладкой класса Cr структуры на топологическом пространстве (M; ) достаточно задать любой атлас класса Cr.

По определению два многообразия ( X ; A) и (Y ; A)› тогда и только тогда одинаковы, когда X = Y и A = A›.

Размерность гладкого многообразия определяется размерностью пространства Rn, на котором задано множество M.

Определение 2.11. Число n называется размерностью гладкого многообразия и обозначается dim M.

2.3Примеры гладких многообразий

Пример 2.1. На топологическом пространстве Rn с обычной топологией пара (Rn; id), ãäå id : Rn Rn тождественное отображение, является картой.

Одноэлементное множество карт, состоящее из этой карты, представляет собой атлас класса Cr, для любого фиксированного r 1. Соответствующая гладкая

структура на Rn называется стандартной класса Cr.

Пример 2.2. Для любого открытого множества G из пространства Rn ïàðà (G; id) является картой и одноэлементное множество карт, состоящие из этой карты, представляет собой атлас класса Cr, для любого фиксированного r 1. Определяемую этим атласом гладкую структуру на G называют индуцированной стандартной гладкой структурой на Rn. Для нее картами являются те карты (U; '), стандартной гладкой структуры, для которых G U.

Пример 2.3. На пространстве R существуют и нестандартные гладкие структуры. Рассмотрим на R1 = R карту (R; '0), где отображение '0 : R R,

задается формулой

'0(t) = t3; t 2 R

7

. Эта карта также составляет одноэлементный атлас. Соответствующая ей гладкая структура отлична от стандартной, так как карты (R; id) и (R; '0) не согласованы. Отображение перехода '0 (id) 1 = '0 гладко и биективно, но обратное

отображение ' 1 : t 7!t1 не дифференцируемо при t = 0.

0

3

Пример 2.4. Простейшим многообразием, не покрываемым одной картой, является окружность

валу от ( ; ) угол, образованный радиус-вектором этой точки соответственно

с положительным и отрицательным направлением оси абсцисс соответственно, получим отображения

'(U \ V ) = ( ; 0) [ (0; )

è

(U \ V ) = ( ; 0) [ (0; )

открыты в R. Отображение

' 1 : '(U \ V ) (U \ V )

задается формулами

(

( ' 1) : ft + ; t 2 ( ; 0);

t; t 2 (0; )

èпотому является диффеоморфизмом.

Следовательно карты (U; ') и (V; ) Cr-согласованы, а так как U [ V = S1, то A = f(U; '); (V; )g атлас класса C1. Этот атлас определяет на S1 íåêî- торую гладкую структуру класса C1. Таким образом окружность S1 является примером гладкого многообразия C1.

Пример 2.5. Пусть

U(+) := (x; y) 2 S1j y > 0 ; U( ) := (x; y) 2 S1j y < 0 ;

V (+) := (x; y) 2 S1j x > 0 ;

V ( ) := (x; y) 2 S1j x < 0 ;

8

подмножества окружности S1 (открытые полуокружности), состоящие из точек

p = (x; y). Пусть

'(+) : U(+) ( 1; 1) : (x; y) 7!x '( ) : U( ) ( 1; 1) : (x; y) 7!x

(+) : V (+) ( 1; 1) : (x; y) 7!y ( ) : V ( ) ( 1; 1) : (x; y) 7!y

Каждое из этих отображений является гомеоморфизмом, поэтому пары

(U(+); '(+)); (U( ); '( )); (V (+); (+)); (V ( ); ( ))

являются картами в S1. При этом в картах (U+; '(+)) è (U ; '( ) локальной координатой служит x, а на картах (V +; (+)) è (V ; ( )) локальной кооpдинатой

является y.

Покажем, что эти карты являются C1-согласованными. Пары непересекаю- щихся карт (U(+); '(+)); (U( ); '( )) è (V (+); (+)), (V ( ); ( )) C1-согласованы в силу определения. Рассмотрим ситуацию, в которой пересечение карт не пусто.

Оно определено при 0 < y < 1 и являются C1-диффеоморфизмом. Аналогич- ным образом проверяем, C1-согласованность оставшихся карт.

Эти карты покрывают всю окружность S1, то есть составляют атлас класса C1 íà S1. Покажем, что этот атлас эквивалентен атласу из предыдущего примера. Действительно, для карт (U; ') из предыдущего примера и (U(+); '(+)) пересечение (U \ U(+)) совпадает с U(+), причем '(U(+)) = (0; ), '(+)(U(+)) = ( 1; 1), а отображение

'(+) ' 1 : (0; ) ( 1; 1)

задается формулой y = cos x; 0 < x < 1 и поэтому является C1-диффеоморфизмом.

Для остальных пар карт ситуация аналогична. Таким образом, мы задали на окружности атлас двумя различными способами и доказали их эквивалентность.

Пример 2.6. Рассмотрим единичную n-мерную (n 1) сферу в пространстве Rn+1, заданную уравнением:

Sn = (x0; x1; :::; xn)j x20 + x21 + ::: + x2n = 1

Покажем, что на сфере Sn можно построить атлас состоящий всего из двух карт. Для этого рассмотрим любую точку p = (x0; x1; :::; xn) сферы Sn, отличную от

9

точки p0 = (1; 0; :::; 0) - северного полюся сферы Sn. Соединим эти две точки и рассмотрим получившиюся прямую p0p в пространстве Rn+1. Каноническое уравнение этой прямой имеет вид:

Snrfp0g. Обозначив эту точку через '(p), мы получим биективное отображение

Для построенных карт пересечение W = U \V имеет вид Snrfp0; q0g, и каждое из отображений ' и отображает это пересечение на открытое множество Rn r f0g пространства Rn. При этом соответствующее отображение перехода

' 1 : Rn Rn

Будет задаваться формулами, получающимися исключением x0; x1; :::; xn èç ôîð- мул (4) и (5). Но согласно формулам (4) xi = (1 xi)ti, и потому

1 = x20 + x21 + ::: + x2n = x20 + (1 x0)2(t20 + t21 + ::: + t2n) = x20 + (1 x0)2t2;

òî åñòü

(1 + t2)x20 2t20x0 + t2 1 = 0:

Это уравнение имеет корень x0 = 1, который нам не подходит, так как соответ- ствует точке p0, а для второго его корня

t2 1 x0 = 1 + t2

Имеют место формулы

10