практикум по мат анализу
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
Практикум по математическому анализу для студентов финансового факультета
Учебно-методическое пособие
Рекомендовано методической комиссией финансового факультета для студентов ННГУ (бакалавриат), обучающихся по направлениям 080100 «Экономика» и 080200 «Менеджмент»
Нижний Новгород
2012
УДК 517 (077) ББК В16 (я73)
П 69
ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ФИНАНСОВОГО ФАКУЛЬТЕТА: Учебно-методическое пособие. Составители: Фокина В.Н., Кузнецова А.Ю. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2012. – 26с.
Рецензент:
кандидат физико-математических наук Н.Ю. Золотых
В настоящем учебно-методическом пособии приведены краткие теоретические сведения и примеры решения задач по темам «Вычисление двойного интеграла», «Дифференциальные уравнения первого порядка», «Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами», «Степенные ряды». Также в пособии содержатся вопросы для подготовки студентов к экзамену (зачёту), список рекомендованной литературы и контрольные задания, которые могут быть использованы при проведении практических занятий и для самостоятельной работы студентов дневной формы обучения.
Ответственный за выпуск:
председатель методической комиссии финансового факультета ННГУ к.э.н., доцент Никулина Н.Н.
УДК 517 (077) ББК В16 (я73)
П 69
1. Вычисление двойного интеграла
Приведем способы расстановки пределов интегрирования в двойном ин-
теграле |
|
, |
|
, где |
– квадрируемая область и |
( , |
) |
– непрерывная |
||||
|
( ) |
|
|
|||||||||
функция. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.1. Вычисление в прямоугольнике. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Пусть функция |
|
|
непрерывна в области |
: [a,b] [c,d]. Тогда двой- |
||||||||
ной интеграл по области( D, |
вычисляется) |
сведением к повторным интегралам: |
||||||||||
|
|
|
|
( |
, |
) |
= ∫ |
∫ ( , |
) . |
|
|
(1.1) |
1.2. Вычисление по криволинейной трапеции.
Пусть функция f(x,y) непрерывна в области D: a x b; y1(x) y y2(x) и прямая x=const пересекает графики функций y1(x) и y2(x) только в одной точке (рис.1), то двойной интеграл по области D вычисляется следующим образом:
( , ) |
= ∫ ∫ |
( ) |
( |
, ) |
. |
(1.2) |
( ) |
|
|
Рис.1
Когда область D есть криволинейная трапеция вида c y d; x1(y) x x2(y) и прямая y=const пересекает графики функций x1(y) и x2(y) только в одной точке (рис.2), то двойной интеграл по области D вычисляется по формуле:
( , ) |
= ∫ ∫ |
( ) |
( |
, ) |
. |
(1.3) |
( ) |
|
|
Рис.2
Таким образом, двойной интеграл вычисляется через два определенных интеграла. Это облегчает его вычисление и позволяет применять приемы интегрирования для определенного интеграла. Например, таблицы интегралов, интегрирование по частям, замену переменной и т.д. Иногда для вычисления интегралов область D надо представить в виде объединения криволинейных трапеций указанных выше типов. Тогда переходят к сумме интегралов по этим областям.
Пример 1. |
|
|
|
|
Вычислить |
, |
|
|
|
где f(x,y) = y и D:(1 |
, )x 2; 2 – x y |
√2 |
− |
(см. рис 3). |
|
|
Рис.3
|
√ |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
( , ) |
= |
= |
2 |
= |
|||
= |
1 |
[2 − −(2 − ) ] |
= |
1 |
− |
|
+ |
(2 − |
) |
= |
||||||
2 |
2 |
3 |
3 |
|
||||||||||||
= |
1 |
4 − |
8 |
−1+ |
1 |
− |
1 |
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
3 |
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 2.
Расставить пределы интегрирования и изменить порядок интегрирования
|
|
|
|
|
|
( , ) |
, где D: 0 x 2; √2 − |
y √2 (см. рис. 4). |
|||
Рис.4
√
( , ) |
= |
( , ) |
√
Для того чтобы изменить порядок интегрирования, надо область D представить как объединение трех криволинейных трапеций второго типа (см. рис. 5).
Рис.5
С этой целью выразим переменную x из заданий функций y1(x) и y2(x). Получим:
= 1± |
1 − , |
[0,1] и |
= |
2 |
, |
|
[1,2] |
||
= ( , ):0 ≤ ≤ 1, |
2 |
≤ ≤ 1 − |
1 − |
||||||
= ( , |
):0 ≤ |
≤ 1,1+ |
1 − |
≤ ≤ 2 |
|||||
= ( , ):1 ≤ ≤ 2, 2 ≤ ≤ 2
Итак,
( , ) |
= |
= |
( , ) + |
( , ) |
||
|
|
|
|
|
+( , )
1.3. Замена переменной в двойном интеграле.
Важную роль в вычислении двойных интегралов играет замена переменной, которая производится с целью упрощения либо подынтегральной функции, либо области интегрирования.
Отображение области D на новую квадрируемую область G осуществля-
ется путем взаимно-однозначного отображения: |
(1.4) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где функции x(u,v) и y(u,v) |
непрерывно-дифференцируемы и якобиан перехода |
||||||||
|
|
= |
( , ), = ( , ) |
(1.5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
отличен от нуля в области G |
переменных (u,v). |
|
|
||||||
|
= |
≠ 0 |
|
||||||
Тогда справедлива формула: |
|
= |
( , ), ( , ) | | |
|
|||||
|
, |
|
|
|
(1.6) |
||||
Одной из наиболее( ) часто используемых( |
замен является) |
||||||||
переход к поляр- |
|||||||||
ной системе координат: |
|
|
|
|
|
|
|
||
Она очень удобна, когда в |
подынтегральной функции или области присутствует |
||||||||
|
= |
cos , = sin , = |
+ = . |
||||||
выражение + |
, которое в новых координатах имеет вид |
||||||||
Пример 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
):( +. В |
) = 2 |
, |
|
≥ 0} |
|
|
|
|
|
||||||||
Вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Сделаем замену |
|
|
|
:{( , |
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||
где D |
ограничена кривой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
( |
+ |
) |
|
, |
|
= |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
= |
cos |
|
|
|
новых координатах L примет вид: |
|||||||||||||||||||
Тогда 0 ≤ |
≤ |
|
и= 2 |
sin |
cos |
|
,т.е. |
= sin2 |
и sin2 |
|
≥ 0. |
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
( |
|
+ |
) |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
∙ |
= |
1 |
|
|
sin 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 − cos2 |
|
|
|
|
sin2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= = |
|
− |
|
= |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
8 |
|
|
16 |
|
16 |
|||||||||
Заметим, что для расстановки пределов интегрирования в полярных координатах мы фиксируем угол (т.е. проводим луч под углом ) и смотрим, как меня-
ется радиус r( ): r1( ) r r2( ).
Рассмотрим случай, когда область ограничена двумя семействами кривых.
Пример 4.
Вычислить ,
где область D (см. рис. 6) ограничена кривыми xy=1, xy=2, y=4x, y=x (x>0, y>0).
Рис.6 |
= |
,1 ≤ |
≤ 2. |
|
Сделаем замену переменных |
||||
|
|
= |
,1 ≤ |
≤ 4 |
|
|
|||
При данной замене область D переходит в прямоугольник, по которому расстановка пределов интегрирования проста (см. рис. 7).
Рис.7
Найдем обратный якобиан перехода:
1 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
J |
= |
= |
|
1 = 2 |
|
= 2 |
||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда =
17ln2
=2 = 3
Приложения двойного интеграла
1. Вычисление площади квадрируемой плоской области D:
= |
. |
2. Вычисление объема.
Объем криволинейного цилиндра, ограниченного снизу замкнутой областью D, а сверху поверхностью z=f(x,y) представляется двойным интегралом
= ( , ) .
Вопросы для самоконтроля по теме «Двойные интегралы»
1.Какая область называется квадрируемой?
2.Что называется двойным интегралом?
3.Свойства двойного интеграла.
4.Сведение двойного интеграла к повторным.
5.Замена переменных в двойном интеграле.
6.Полярные координаты.
7.Якобиан перехода и его геометрический смысл.
8.Приложения двойного интеграла.
Задачи по теме «Двойные интегралы»
Задача 1. |
( , ) |
|
Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле |
для |
|
указанных областей D: |
1.D – треугольник с вершинами O(0;0), A(1;0), B(0;1).
2.D – треугольник с вершинами O(0;0), A(1;1), B(1;-1).
3.D – треугольник с вершинами O(0;0), A(1;0), B(1;1).
5. |
= |
( , |
|
): ≤ , |
≤ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
= {( , |
):0 ≤ |
≤ 1,1 ≤ |
|
|
|
|
|
|
≤ 2, |
|
+ |
|
|
≥ 2 +2 −1} |
|||||||||||
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
7. |
= ( , ):0 ≤ ≤ 4, |
|
|
+1 ≤ ≤ 7 − |
||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
8. |
= ( , ):0 ≤ ≤ 6, − 1 ≤ ≤ − 1 |
|||||||||||||||||||||||||
9. |
= {( , |
):−1 ≤ |
≤ 2, |
|
|
|
|
|
≤ |
≤ |
} |
+2} |
|
|
|
|
||||||||||
10. |
= {( , |
):0 ≤ |
≤ 1, |
≤ |
≤ |
|
|
|
} |
|
|
|||||||||||||||
11. |
= {( , |
):0 ≤ |
≤ 2,4 − 2 |
≤ |
≤ 4 − |
|
|
|||||||||||||||||||
12. |
= {( , |
):1 ≤ |
≤ 2,ln |
|
|
|
≤ |
≤ 3 } |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
13. |
= |
( , |
):0 ≤ |
≤ 2,( |
−1) |
|
≤ |
≤ √5 |
− |
|
||||||||||||||||
14. |
= |
( |
, |
) |
:0 ≤ |
≤ 2,√2 |
|
− |
|
≤ |
≤ 3√ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
15. |
= |
( , |
|
):0 ≤ |
≤ 1, |
|
|
|
|
|
≤ |
≤ |
|
3− |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
= {( , |
): − − 1 ≤ 0, + − 1 ≤ 0, ≤ 2 +1} |
||||||||||||||||||||||||
Задача 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , ) |
|
|
|
|
|
|
|
D. 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для указанных f(x,y) и областей |
||||||||
Вычислить двойные интегралы |
|
|
|||||||||||||||||
2. |
|
( , |
) = |
|
, = {( , ): |
≤ , = 1} |
|
|
|
|
|
||||||||
3. |
|
( , |
) = |
|
+2 |
, |
ограничена линиями |
= , |
|
= 2 , |
= 2, |
= 3 |
|||||||
4. |
|
( |
, |
) |
= |
|
+2 , |
ограничена кривыми |
= |
, |
= √ |
|
|
||||||
5. |
|
( |
, |
) = |
4 − |
, |
|
ограничена кривыми |
|
= 4 |
, |
= 1, |
= 0 ( |
> 0) |
|||||
7. |
|
( |
, |
) = |
, |
, |
ограниченакривыми |
= |
, |
= 2, |
= 0 |
||||||||
6. |
|
( , |
) = |
|
ограничена кривыми |
+ |
= 2 |
, + |
= 2 |
|
|||||||||
|
( , |
) = | |+| |, = {( , ):| | +| | ≤ 1} |
|
|
|
|
|||||||||||||
8. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
9. |
|
( , |
) = |
|
, = |
{( , ):| | +| | ≤ 1} |
,1 ≤ |
≤ 4} |
|
|
|||||||||
10. |
|
( |
, |
) = |
|
− |
, |
= {( , |
):0,8 |
≤ ≤ |
|
= |
|||||||
|
|
( , |
) = |
|
+ |
, |
|
ограничена кривыми |
|
= 2 , |
+ = 4, + |
||||||||
Задача 3. |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переходя |
|
к |
полярным |
координатам, |
вычислить |
двойные |
интегралы |
||||||||||||
( , ) для указанных f(x,y) и областей D.
2. |
( , ) = cos( + |
), |
= {( , ): |
+ |
≤ 4} |
|||||||||||
1. |
( , ) = ln |
(1+ |
|
|
+ ), = {( , ): + |
≤ 9} |
||||||||||
3. |
|
|
||||||||||||||
4. |
( , ) = |
|
+ , = {( , ): |
+ |
≤ 4 } |
|
||||||||||
5. |
( , ) = |
|
|
|
|
|
, = {( , ): |
+ |
|
≤ 1, = 0} |
||||||
6. |
( , ) = |
|
|
|
+ −9, = {( , ):9 ≤ + |
≤ 25} |
||||||||||
7. |
( , ) = |
|
|
+ , |
|
= {( , ): + |
≤ 4 } |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
8. |
( , ) = |
|
|
|
|
|
|
, = {( , ): |
+ |
≤ 2 } |
||||||
√9 − |
|
|
||||||||||||||
9. |
( , ) = |
, = {( , ): + |
≤ 9} |
} |
||||||||||||
|
||||||||||||||||
10. |
( , ) = |
|
, |
= {( |
, ): |
+ |
|
≤ 2 |
||||||||
|
( , ) = |
|
|
, = {( , ): |
+ |
|
≤ 4 } |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||