- •А.К. Китов прикладная механика Курс лекций
- •Предисловие
- •I. Основы сопротивления материалов.
- •1.3 Напряжения
- •1.4 Диаграмма растяжения
- •1.5 Деформация растяжения и сжатия
- •Методика решения практических задач
- •1.6 Деформация сдвига (среза)
- •1.11. Определение перемещений при изгибе по способу Верещагина
- •1.12. Устойчивость сжатых стержней
- •I I. Основы взаимозаменяемости
- •Шероховатость поверхности
- •Литература
- •I I I Основы теории механизмов и машин (тмм)
- •IV Детали машин
- •Расчет зубьев на изгиб
- •Степень точности по гост 1643-81 – 7-с
- •Степень точности по гост 1643-81 – 6- 7-7-е, это значит, что степень точности по норме кинематической точности – 6, а по нормам плавности работы и контакта зубьев –7.
- •Метод (способ) копирования (рис.4.6)
- •Способ (метод) обкатки
- •Шкивы плоскоременных передач
- •Последовательность расчета
1.11. Определение перемещений при изгибе по способу Верещагина
Существует несколько способов (методов) определения перемещений при изгибе: метод начальных параметров; энергетический метод; метод Мора и способ Верещагина. Графо- аналитический способ Верещагина по сути является частным случаем метода Мора при решении сравнительно простых задач, поэтому его еще называют способом Мора – Верещагина. Ввиду краткости нашего курса рассмотрим только этот способ.
Запишем формулу Верещагина
y = (1/EJ)*ωг*М1г, (1.14)
где y – перемещение в интересующем сечении;
E – модуль упругости;J –осевой момент инерции;
Рис.1.21
EJ – жесткость балки на изгиб;ωг – площадь грузовой эпюры моментов;М1г– момент, снятый с единичной эпюры под центром тяжести грузовой.
В качестве примера, определим прогиб консольной балки под действием силы, приложенной на свободном конце балки.
Построим грузовую эпюру моментов.
М(z) = - F* z. 0 ≤z≤ l.
М(0) = 0. М(l) = - F* l.
ωг – площадь грузовой эпюры, то есть площадь полученного треугольника.
ωг = - F* l* l/2 = - F* l2/2.
М1г– можно получить только с единичной эпюры.
Правило построения единичной эпюры:
с балки убираются все внешние силы;
в интересующем сечении прикладывают единичную силу (безразмерную) по направлению предполагаемого перемещения;
строят эпюру от этой единичной силы.
Центр тяжести прямоугольного треугольника лежит на 2/3 с вершины. Из центра тяжести грузовой эпюры спускаемся на единичную эпюру и отмечаем М1г. Из подобия треугольников можно записать
М1г/(- 1*l) = 2/3 l/ l, отсюдаМ1г= - 2/3 l.
Подставим полученные результаты в формулу (1.14).
y = (1/EJ)*ωг*М1г = (1/EJ)*( -F*l2/2)*( - 2/3 l) =F*l3/3EJ.
Расчет перемещений проводится после прочностного расчета, поэтому все необходимые данные известны. Подставив численные значения параметров в полученную формулу, Вы найдете перемещение балки в мм.
Рассмотрим еще одну задачу.
Предположим, Вы решили из круглого стержня сделать перекладину длиной 1,5 м для занятий гимнастикой. Необходимо подобрать диаметр стержня. Кроме того, Вы хотите знать, на сколько этот стержень прогнется под вашим весом.
Дано:
F = 800 Н (≈ 80кг); Сталь 20Х13 (нержавейка), имеющаяσв = 647 МПа;
E = 8*104 МПа; l = 1,5 м; a = 0,7 м; b = 0,8 м.
Условия работы конструкции повышенной опасности (Вы сами крутитесь на перекладине), принимаем n = 5.
Соответственно
[σ] = σв/ n = 647/5 = 130 МПа.
Рис.1.22
Решение:
Расчетная схема показана на рис.1.22.
Определим реакции опор.
∑MВ = 0.RА*l–F*b= 0.
RА=F*b/l= 800*0,8/1,5 = 427 Н.
∑MА = 0. RВ*l – F*a = 0.
RВ = F*a/l = 800*0,7/1,5 = 373 Н.
Проверка
∑FY= 0.RА +RВ–F= 427 + 373 - 800 = 0.
Реакции найдены правильно.
Построим эпюру изгибающих моментов
(это и будет грузовая эпюра).
М(z1) =RА* z1. 0 ≤z1≤ a.
М(0) = 0. М(a) = RА* a = 427*0,7 = 299 Н*м.
М(z2) = RА*( a + z2) – F* z2. 0 ≤z2≤b.
М(0) = RА*a= 427*0,7 = 299 Н*м.
М(b)=RА*( a +b) – F* b = 427*1,5 – 800* 0,8 = 0.
Из условия прочности запишем
Wх ≥ Мг/[σ] = 299*103/ 130 = 2300 мм3.
Для круглого сечения Wх = 0,1 d3, отсюда
d ≥ 3√10 Wх =3√23000 = 28,4 мм ≈ 30 мм.
Определим прогиб стержня.
Расчетная схема и единичная эпюра показаны на рис.1.22.
Воспользовавшись принципом независимости действия сил и, соответственно, независимости перемещений, запишем
y = y1 + y2
y1 = (1/EJ)*ωг1*М1г1 = (1/EJ)* F* a2* b/(2*l)* 2*a* b /(3*l) =
= F* a3* b2/(3* EJ* l2) = 800*7003*8002/(3*8*104*0,05*304*15002) = 8 мм.
y 2 = (1/EJ)*ωг2*М1г2 = (1/EJ)* F* a* b2/(2*l)* 2*a* b /(3*l) = F* a2* b3/(3* EJ* l2)
= 800*7002*8003/(3*8*104*0,05*304*15002) = 9 мм.
y = y1 + y2 = 8 + 9 = 17 мм.
При более сложных расчетных схемах эпюры моментов приходится разделять на большее количество частей или аппроксимировать треугольниками и прямоугольниками. В результате решение сводится к сумме решений, аналогичных приведенным выше.