5.4 Принцип суперпозиции. Групповая скорость
Принцип суперпозиции (наложения волн): при распространении в среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды равно геометрической сумме смещений частиц.
Исходя из этого принципа и разложения Фурье, любая волна может быть представлена в виде волнового пакета или группы волн.
21
Строго монохроматическая волна представляет собой бесконечную во времени и пространстве последовательность «горбов» и «впадин». ξ А0cos(ωt kx φ)
Фазовая скорость этой волны υ λν или υ ωk
22
Суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, называется волновым пакетом или группой волн:
Выражение для группы волн:
ω |
ω |
|
||
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
ξ(x,t) |
А0ωcos(ωt kω x φω )dω |
|
||
ω |
|
ω |
23 |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
Там где фазы совпадают, наблюдается усиление амплитуды, где нет – гашение (результат интерференции).
необходимо условие |
ω ω0 |
Дисперсия – это зависимость фазовой скорости в среде от частоты.
В недиспергирующей среде все плоские волны, образующие пакет, распространяются с
одинаковой фазовой скоростью υ.
Скорость перемещения пакета u совпадает со скоростью υ: u υ
Скорость, с которой перемещается центр пакета (точка с максимальным значением А),
называется групповой скоростью u.
В диспергирующей среде u υ |
25 |
|
Если дисперсия невелика то скорость перемещения пакета совпадает со скоростью υ
26
Рассмотрим пример суперпозиции двух волн
с одинаковой амплитудой и близкими длинами
волн : ξ |
A cos(ωt kx) |
|
1 |
0 |
|
ξ2 A0 cos[(ω |
ω)t (k k)x] |
|
k |
ω |
Волновое число |
υ |
первой волны |
|
|
1 |
k) ω ω |
(k |
||
|
|
υ272 |
В результате суперпозиции двух волн получилась
суммарная волна (волновой пакет): |
|
||||||
|
|
ω |
|
k |
|
|
|
ξ 2A0cos |
|
t |
|
x cos(ωt |
kx) |
||
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
Эта волна отличается от гармонической тем, что
её амплитуда – есть медленно изменяющаяся функция
х и t : |
A |
|
|
ω |
t |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2A0cos |
2 |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Максимум амплитуды : |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ω |
t |
|
|
k |
x |
mπ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 max |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x |
max |
|
|
ω t const |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
28 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
- координаты максимума |
||||||||
υ ω – фазовая
kскорость
Связь между групповой и фазовой скоростью:
В недиспергирующей среде: dλdυ 0 поэтому u υ
За скорость
распространения этого |
||
волнового пакета u |
||
принимают скорость |
||
максимума амплитуды, |
||
т.е. центра пакета: |
||
dx |
dω |
– групповая |
u dt dk |
скорость |
|
u υ λ dυ |
u |
может быть |
как меньше, |
||
dλ |
так и большеυ |
|
В диспергирующей среде:
u υ
29
Групповая скорость может быть u > c Фазовая скорость υ < c
5.5 Стоячие волны
Если в среде распространяется несколько волн, то
колебания частиц среды оказывается геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности.
Волны накладываются друг на друга не возмущая
(не искажая друг друга) - принцип суперпозиции волн.
Если две волны, приходящие в какую либо точку пространства, обладают постоянной разностью фаз,
такие волны называются когерентными.
При сложении когерентных волн возникает
явление интерференции.
30