6. Составление уравнения, определяющего условный оптимальный выигрыш на последнем шаге, для состояния s моделируемого процесса
Bm (s) = max{ϕm (s, xm )}. |
(3.5) |
xm X |
|
7. Составление основного функционального уравнения динамического программирования, определяющего условный оптимальный выигрыш для данного состояния s с i -го шага и до конца процесса через уже известный условный оптимальный выигрыш с (i +1)-го шага и до конца:
Bi (s) = max{fi (s, xi ) + Bi+1 (ϕi (s, xi ))}. |
(3.6) |
xm X |
|
Вуравнении (3.6) в уже известную функцию Bi+1 (s) ,
характеризующую условный оптимальный выигрыш с (i +1)-го шага до конца процесса, вместо состояния s подставлено новое
состояние s' =ϕi (s, xi ) , в которое система переходит на i -м шаге под влиянием управления xi .
3.3. Этапы решения задачи динамического программирования
После того как выполнены пункты 1—7, изложенные в предыдущем параграфе, и математическая модель составлена, приступают к ее расчету. Укажем основные этапы решения задачи динамического программирования.
1. Определение множества возможных состояний Sm для
последнего шага.
2. Проведение условной оптимизации для каждого состояния s Sm на последнем m -м шаге по формуле (3.5) и определение
условного оптимального управления x(s) , s Sm .
3.Определение множества возможных состояний Si для i -го шага, i = 2,3,..., m −1.
4.Проведение условной оптимизации i -го шага, i = 2,3,..., m −1 для каждого состояния s Si , по формуле (3.6) и определение
условного оптимального управления xi (s) , s Si , i = 2,3,..., m −1. 5. Определение начального состояния системы s1 , оптимального
выигрыша B(s1 ) и оптимального управления x1 (s1 ) по формуле (3.6)
при i =1. Это есть оптимальный выигрыш для всей задачи и
B = B1 (x1 ) .
35
6. Проведение безусловной оптимизации управления. Для проведения безусловной оптимизации необходимо найденное на
первом шаге оптимальное управление x1 = x1 (s1 ) подставить в формулу (3.4) и определить следующее состояние системы s2 = ϕ2 (s1 , x1 ) . Для измененного состояния найти оптимальное управление x2 = x2 (s2 ) , подставить в формулу (3.4.) и т.д. Для i -го состояния si найти si+1 =ϕi+1 (si , xi ) и xi+1 = xi+1 (si+1 ) и т.д.
3.4. Выбор оптимальной стратегии замены оборудования как задача динамического программирования
В общем виде проблема ставится следующим образом: определить оптимальную стратегию использования оборудования в период времени длительностью m лет, причем прибыль за каждые i лет,
i =1, m , от использования оборудования возраста t лет должна быть максимальной.
Известны: r(t) — выручка от реализации продукции,
произведенной за год на оборудовании возраста t |
лет; l(t) — годовые |
затраты, зависящие от возраста оборудования t ; |
c(t) — остаточная |
стоимость оборудования возраста t лет; p — стоимость нового
оборудования. Под возрастом оборудования понимается период эксплуатации оборудования после последней замены, выраженный в годах.
Для построения математической модели последовательно выполняются этапы, сформулированные ниже.
1.Определение числа шагов. Число шагов равно числу лет, в течение которых эксплуатируется оборудование.
2.Определение состояний системы. Состояние системы
характеризуется возрастом оборудования t , t = 0, m .
3. Определение управлений. В начале i -го шага, i =1, m , может
быть выбрано одно из двух управлений: заменять или не заменять оборудование. Каждому варианту управления приписывается число
xi |
= 0, еслиоборудованиенезаменяется; |
(3.7) |
|
1, еслиоборудованиезаменяется. |
|
4. Определение функции выигрыша на i -м шаге. Функция выигрыша на i -м шаге — это прибыль от использования
оборудования к концу i -го года эксплуатации, t = 0, m , i =1, m .
36
r(t) −l(t), еслиоборудованиевначалеi - гогода
fi (t) = незаменяется; (3.8)
c(t) − p + r(0) −l(0), еслиоборудованиезаменяется.
Таким образом, если оборудование не продается, то прибыль от его использования — это разность между стоимостью произведенной продукции и эксплуатационными издержками. При замене оборудования прибыль составляет разность между остаточной стоимостью оборудования и стоимостью нового оборудования, к которой прибавляется разность между стоимостью продукции и эксплуатационными издержками для нового оборудования, возраст которого в начале i -го шага составляет 0 лет.
5. Определение функции изменения состояния:
ϕ(t) = t +1, если xi = 0;
i1, если xi =1.
6.Составление функционального уравнения для i = m:
B (t) = max r(t) −l(t);
m c(t) − p + r(0) −l(0).
xm {0,1}
7. Составление основного функционального уравнения:
B (t) = max r(t) −l(t) + Bi+1 (t +1);
i { } c(t) − p + r(0) −l(0) + B (1),
xi 0,1 i+1
где Bi (t) — прибыль от использования оборудования возраста
(3.9)
(3.10)
(3.11)
t лет с
i -го шага (с конца i -гo года) до конца периода эксплуатации; Bi+1 (t +1) — прибыль от использования оборудования возраста t +1
год с (i +1)-го шага до конца периода эксплуатации.
Таким образом, математическая модель задачи построена. Расчет модели проведем для конкретного примера.
Пример 3.1. m =12 , |
p =10 , c(t) = 0 , r(t) −l(t) = f (t) . |
|||||||||||||||
Значения |
f (t) заданы в табл. 23. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 23 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
0 |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
f (t) |
10 |
9 |
8 |
|
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
Для данного примера функциональные уравнения будут иметь вид
37
Bm |
(t) = max |
f (t); |
f (0). |
|
|
x |
{0,1} − p + |
||
|
m |
|
|
|
Bi (t) = max f (t) + Bi+1 |
(t +1); |
|||
|
xi {0,1} − p + f (0) |
+ Bi+1 (1). |
||
Для решения данной задачи заполняется табл. 24.
Поясним, как заполняется таблица для нескольких шагов.
1.Условная оптимизация начинается с последнего 12-го шага. Для
i=12 рассматриваются возможные состояния системы t = 0,1,2,...,12. Функциональное уравнение на 12-м шаге имеет вид
|
|
|
B12 (t) = |
max f (t); |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
{0,1} − p + f (0). |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
1) t = 0, B12 |
(0) = max{10 |
|
}=10, |
x12 (0) = 0. |
|
||||||
|
|
|
{0,1} |
−10 |
+10 |
|
|
|
|
||
2) t =1, B12 |
(1) = max{ |
− |
9 |
|
}= 9, |
x12 (1) = 0. |
|
||||
|
|
|
{0,1} |
10 |
+10 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
…………… |
|
|
|||
10) |
t = 9 , B12 (9) = max{ |
1 |
|
}=1, |
x12 (9) = 0. |
|
|||||
|
|
|
{0,1} |
−10 + |
10 |
|
|
|
|||
11) |
t =10 , B12 (10) = max{ |
0 |
|
}= 0, |
x12 (10) = 0, |
x12 (10) =1. |
|||||
|
|
|
{0,1} −10 |
+10 |
|
|
|
||||
12) |
t =11, B12 |
(11) = max{ |
0 |
|
}= 0, |
x12 (11) = 0, |
x12 (11) =1. |
||||
|
|
|
{0,1} |
−10 + |
10 |
|
|
|
|||
13) |
t =12 , B12 |
(12) = max{ |
0 |
|
}= 0, |
x12 (12) = 0, |
x12 (12) =1. |
||||
|
|
|
{0,1} −10 |
+10 |
|
|
|
||||
38
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 24 |
||
t |
i =12 |
i =11 |
i =10 |
i = 9 |
i = 8 |
i = 7 |
i = 6 |
i = 5 |
i = 4 |
i = 3 |
i = 2 |
i =1 |
||||||||||||
|
x12 |
B12 |
x11 |
B11 |
x10 |
B10 |
x9 |
B9 |
x8 |
B8 |
x7 |
B7 |
x6 |
B6 |
x5 |
B5 |
x4 |
B4 |
x3 |
B3 |
x2 |
B2 |
x1 |
B1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
0 |
0 |
10 |
0 |
19 |
0 |
27 |
0 |
34 |
0 |
40 |
0 |
45 |
0 |
51 |
0 |
58 |
0 |
64 |
0 |
70 |
0 |
75 |
0 |
82 |
1 |
0 |
9 |
0 |
17 |
0 |
24 |
0 |
30 |
0 |
35 |
0 |
41 |
0 |
48 |
0 |
54 |
0 |
60 |
0 |
65 |
0 |
72 |
0 |
78 |
2 |
0 |
8 |
0 |
15 |
0 |
21 |
0 |
26 |
0 |
32 |
0 |
39 |
0 |
45 |
0 |
51 |
0 |
56 |
0 |
63 |
0 |
69 |
0 |
75 |
3 |
0 |
7 |
0 |
13 |
0 |
18 |
0 |
24 |
0 |
31 |
0 |
37 |
0 |
43 |
0/1 |
48 |
0 |
55 |
0 |
61 |
0 |
67 |
0 |
73 |
4 |
0 |
6 |
0 |
11 |
1 |
17 |
1 |
24 |
0/1 |
30 |
0 |
36 |
0/1 |
41 |
1 |
48 |
0/1 |
54 |
0/1 |
60 |
0 |
66 |
1 |
72 |
5 |
0 |
5 |
0/1 |
9 |
1 |
17 |
1 |
24 |
1 |
30 |
0/1 |
35 |
1 |
41 |
1 |
48 |
1 |
54 |
1 |
60 |
0/1 |
65 |
1 |
72 |
6 |
0 |
4 |
1 |
9 |
1 |
17 |
1 |
24 |
1 |
30 |
1 |
35 |
1 |
41 |
1 |
48 |
1 |
54 |
1 |
60 |
1 |
65 |
1 |
72 |
7 |
0 |
3 |
1 |
9 |
1 |
17 |
1 |
24 |
1 |
30 |
1 |
35 |
1 |
41 |
1 |
48 |
1 |
54 |
1 |
60 |
1 |
65 |
1 |
72 |
8 |
0 |
2 |
1 |
9 |
1 |
17 |
1 |
24 |
1 |
30 |
1 |
35 |
1 |
41 |
1 |
48 |
1 |
54 |
1 |
60 |
1 |
65 |
1 |
72 |
9 |
0 |
1 |
1 |
9 |
1 |
17 |
1 |
24 |
1 |
30 |
1 |
35 |
1 |
41 |
1 |
48 |
1 |
54 |
1 |
60 |
1 |
65 |
1 |
72 |
10 |
0/1 |
0 |
1 |
9 |
1 |
17 |
1 |
24 |
1 |
30 |
1 |
35 |
1 |
41 |
1 |
48 |
1 |
54 |
1 |
60 |
1 |
65 |
1 |
72 |
11 |
0/1 |
0 |
1 |
9 |
1 |
17 |
1 |
24 |
1 |
30 |
1 |
35 |
1 |
41 |
1 |
48 |
1 |
54 |
1 |
60 |
1 |
65 |
1 |
72 |
12 |
0/1 |
0 |
1 |
9 |
1 |
17 |
1 |
24 |
1 |
30 |
1 |
35 |
1 |
41 |
1 |
48 |
1 |
54 |
1 |
60 |
1 |
65 |
1 |
72 |
В левой колонке таблицы записываются возможные состояния системы t = 0,12, в верхней строке — номера шагов i =1,12. Для каждого шага определяются условные оптимальные управления xi (t) и условный оптимальный выигрыш Bi (t) с i -го шага и до конца для оборудования возраста t лет.
39
40
Таким образом, на 12-м шаге оборудование возраста 0–9 лет заменять не надо. Оборудование возраста 10–12 лет можно заменить
или продолжить его эксплуатацию, так как для t |
=10, 11, 12 имеется |
|||||||||||||||
два условных оптимальных управления 1 и 0. |
|
|
|
|||||||||||||
|
По результатам расчетов заполняются два столбца таблицы, |
|||||||||||||||
соответствующие i =12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2. Условная оптимизация 11-го шага. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Для i =11 рассматриваются |
все возможные |
состояния системы |
|||||||||||||
t =0,1,2,...,12. Функциональное уравнение на 11-м шаге имеет вид |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
f (t) + B12 (t +1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
B11 (t) = max0,1 − p + f (0) |
+ B (1). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
t = 0, |
|
|
|
|
|
|
= max{ |
|
|
|
|
}=19, |
|
||
B11 |
(0) = max f (0) + B12 (1) |
|
(1) |
10 |
+ |
9 |
+ |
x11 (0) = 0. |
||||||||
|
{0,1} |
|
− p + f (0) + B |
|
{0,1} |
−10 |
+ |
10 |
9 |
|
||||||
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
t =1, |
|
|
|
|
|
|
= max{ |
|
|
|
|
|
}=17, |
|
|
B11 |
(1) = max f (1) + B12 (2) |
|
(1) |
− |
9 |
+8 |
|
x11 (1) = 0. |
||||||||
|
{0,1} |
|
− p + f (0) + B |
|
|
{0,1} |
10 |
+10 |
+ 9 |
|
||||||
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
…………………… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6) t = 5, |
|
|
|
|
|
|
= max{ |
|
|
|
|
}=9, |
|
|||
B11 |
(5) = max f (5) + B12 (6) |
|
(1) |
5 |
+ |
4 |
+ |
x11 (5) = 0, |
||||||||
|
{0,1} |
|
− p + f (0) + B |
|
{0,1} |
−10 |
+ |
10 |
9 |
|
||||||
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x11 (5) =1. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7) t = 6 , |
|
|
|
|
|
|
= max{ |
|
|
|
|
}=9, |
|
|||
B11 |
(6) = max f (6) + B12 (7) |
|
(1) |
4 |
+ 3 |
+ |
x11 (6) =1, |
|||||||||
|
{0,1} |
|
− p + f (0) + B |
|
{0,1} |
−10 |
+ |
10 |
9 |
|
||||||
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
……………………… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
13) t =12 , |
|
|
|
|
|
|
|
= max{ |
|
|
|
|
}=9, |
|
||
B11 |
(12) = max f (12) |
|
(1) |
0 |
|
|
x11 (12) =1. |
|||||||||
|
{0,1} |
|
− p + f (0) + B |
{0,1} |
|
−10 +10 + 9 |
|
|||||||||
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, на 11-м шаге не следует заменять оборудование
40
возраста 0—4 года. Для оборудования возраста 5 лет возможны две стратегии использования: заменить или продолжать эксплуатировать.
Начиная с 6-го года оборудование следует заменять. По результатам расчетов заполняются два столбца таблицы, соответствующие i =11.
Аналогичным образом заполняются остальные десять столбцов таблицы. При расчетах Bi+1 (t) на каждом шаге значения f (t) для
каждого t = 0,12 берутся из таблицы исходных данных, приведенной в условии задачи, а значения Bi (t) — из последнего, заполненного на
предыдущем шаге столбца.
Этап условной оптимизации заканчивается после заполнения табл. 24.
Безусловная оптимизация начинается с первого шага. Предположим, что на первом шаге i =1 имеется новое
оборудование, возраст которого 0 лет.
Для t =t1 = 0 оптимальный выигрыш составляет B1 (0) =82. Это
значение соответствует максимальной прибыли от использования нового оборудования в течение 12 лет.
B = B1 (0) =82.
Выигрышу B1 (0) =82 соответствует безусловное оптимальное управление x1 (0) = 0 .
Для i =2 по формуле (3.9) t2 =t1 +1 =1. Безусловное оптимальное управление x2 (1) = 0 .
Для i =3 t3 = t2 +1 = 2 .
Безусловное оптимальное управление x3 (2) = 0 .
И далее соответственно |
|
||
i = 4 |
t4 |
=t3 +1 =3 |
x4 (3) =0, |
i = 5 |
t5 |
= t4 +1 = 4 |
x5 (4) =1, |
i = 6 |
t6 |
=1 |
x6 (1) =0, |
i = 7 |
t7 |
= t6 +1 = 2 |
x7 (2) =0, |
i = 8 |
t8 |
= t7 +1 = 3 |
x8 (3) =0, |
i = 9 |
t9 |
= t8 +1 = 4 |
x9 (4) =1, |
i =10 |
t10 |
=1 |
x10 (1) =0, |
i =11 |
t11 |
= t10 +1 = 2 |
x11 (2) =0, |
i =12 |
t12 |
= t11 +1 = 3 |
x12 (3) =0. |
41
Управления, составляющие оптимальную стратегию использования оборудования, выделены в табл. 24 полужирным шрифтом.
В рамках данной задачи оптимальная стратегия заключается в замене оборудования при достижении им возраста 4-х лет. Аналогичным образом можно определить оптимальную стратегию использования оборудования любого возраста. Предлагаем читателю самостоятельно в этом убедиться.
3.5.Задачи для самостоятельного решения
3.1.К началу анализируемого периода на предприятии установлено новое оборудование.
Определить оптимальный цикл замены оборудования при следующих исходных данных:
P ─ покупная цена оборудования составляет 12 ден. ед.; остаточная стоимость оборудования: c(t) =0;
f N (t) ─ максимальный доход, получаемый от оборудования
возраста t лет за оставшиеся N лет цикла использования оборудования при условии оптимальной стратегии;
N =8 лет.
Зависимость |
f N (t) от N задана в табл. 25. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
0 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
f (t) |
a1 |
|
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7 |
a8 |
a9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В таблице 26 приведены значения коэффициентов условия задачи.
Таблица 26
№ В |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
Знач. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P |
12 |
10 |
14 |
11 |
13 |
15 |
16 |
15 |
14 |
11 |
12 |
|
a1 |
12 |
10 |
14 |
11 |
13 |
15 |
16 |
16 |
14 |
11 |
12 |
|
a2 |
10 |
9 |
12 |
10 |
12 |
14 |
15 |
14 |
13 |
10 |
11 |
|
a3 |
8 |
8 |
10 |
9 |
11 |
12 |
13 |
13 |
12 |
9 |
10 |
|
a4 |
6 |
7 |
8 |
7 |
9 |
10 |
11 |
11 |
10 |
8 |
8 |
42
a5 |
4 |
5 |
6 |
5 |
7 |
8 |
8 |
9 |
7 |
7 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончание |
табл. 26 |
|
a6 |
2 |
3 |
4 |
3 |
4 |
6 |
5 |
7 |
4 |
5 |
4 |
a7 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
3 |
2 |
4 |
1 |
3 |
2 |
a8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
a9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3.2. Совет директоров фирмы рассматривает предложения по наращиванию производственных мощностей для увеличения выпуска однородной продукции на четырех предприятиях, принадлежащих фирме.
Для модернизации предприятий совет директоров инвестирует средства в объеме 250 млн. руб. с дискретностью 50 млн. руб. Прирост выпуска продукции зависит от выделенной суммы, его значения представлены предприятиями и содержатся в табл. 27 – 28.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 27 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Инвестиции, |
|
|
|
Прирост выпуска продукции, млн. руб. |
|
||||||||||||
млн. руб. |
|
|
П1 |
|
|
|
П2 |
|
П3 |
|
|
|
П4 |
|
|||
50 |
|
|
|
a11 |
|
|
|
a12 |
|
a13 |
|
|
|
a14 |
|
||
100 |
|
|
|
a21 |
|
|
|
a22 |
|
a23 |
|
|
|
a24 |
|
||
150 |
|
|
|
a31 |
|
|
|
a32 |
|
a33 |
|
|
|
a34 |
|
||
200 |
|
|
|
a41 |
|
|
|
a42 |
|
a43 |
|
|
|
a44 |
|
||
250 |
|
|
|
a51 |
|
|
|
a52 |
|
a53 |
|
|
|
a54 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 28 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ В. |
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
7 |
8 |
|
9 |
10 |
||
Знач. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
|
5 |
8 |
11 |
|
10 |
|
12 |
|
21 |
22 |
23 |
|
25 |
15 |
||
a12 |
|
7 |
10 |
12 |
|
9 |
|
13 |
|
20 |
23 |
24 |
|
26 |
12 |
||
a13 |
|
6 |
7 |
10 |
|
7 |
|
11 |
|
22 |
24 |
25 |
|
27 |
17 |
||
a14 |
|
4 |
10 |
11 |
|
8 |
|
11 |
|
23 |
21 |
22 |
|
28 |
13 |
||
a21 |
|
9 |
13 |
16 |
|
15 |
|
17 |
|
30 |
31 |
32 |
|
34 |
32 |
||
a22 |
|
10 |
12 |
15 |
|
16 |
|
15 |
|
28 |
30 |
31 |
|
33 |
30 |
||
a23 |
|
8 |
14 |
17 |
|
13 |
|
16 |
|
31 |
32 |
33 |
|
35 |
33 |
||
a24 |
|
11 |
13 |
14 |
|
14 |
|
18 |
|
29 |
29 |
30 |
|
35 |
31 |
||
43
a31 |
21 |
22 |
23 |
24 |
23 |
42 |
43 |
44 |
46 |
39 |
|
|
|
|
|
|
|
Окончание табл. 28 |
|||
a32 |
20 |
21 |
24 |
22 |
25 |
41 |
41 |
43 |
46 |
38 |
a33 |
21 |
22 |
22 |
20 |
21 |
40 |
42 |
42 |
45 |
40 |
a34 |
19 |
23 |
25 |
21 |
22 |
41 |
40 |
41 |
44 |
37 |
a41 |
33 |
31 |
32 |
33 |
34 |
51 |
52 |
53 |
57 |
46 |
a42 |
34 |
38 |
31 |
34 |
33 |
52 |
53 |
52 |
58 |
45 |
a43 |
32 |
29 |
32 |
31 |
35 |
53 |
51 |
54 |
56 |
47 |
a44 |
35 |
30 |
30 |
32 |
34 |
50 |
53 |
55 |
55 |
44 |
a51 |
38 |
39 |
38 |
40 |
42 |
62 |
63 |
70 |
78 |
52 |
a52 |
39 |
40 |
39 |
39 |
41 |
63 |
64 |
72 |
77 |
54 |
a53 |
40 |
38 |
40 |
41 |
43 |
61 |
65 |
71 |
79 |
60 |
a54 |
41 |
41 |
38 |
40 |
44 |
64 |
66 |
73 |
80 |
63 |
Найти распределение инвестиций между предприятиями, обеспечивающее фирме максимальный прирост выпуска продукции, причем на одно предприятие можно осуществить только одну инвестицию.
МОДЕЛИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ
§ 4. Производственная функция
Производственная функция (ПФ) нескольких переменных −
это функция, независимые переменные x1 , x2 , …, xn которой
принимают значения объемов затрачиваемых или используемых ресурсов (число переменных n равно числу ресурсов), а значение функции имеет смысл величины объёмов выпуска
y = f (x) = f (x1 , x2 ,..., xn ) .
По экономическому смыслу все x j ≥ 0 ( j =1, n ).
Далее будем рассматривать двухфакторные ПФ: y = f (x1 , x2 ) . Например, рассмотрим ПФ Y = f (K, L) , где Y − совокупный продукт
страны, исчисляемый в неизменных ценах, в качестве ресурсов взяты K − основной капитал (объем используемого в течение года основного капитала), L − живой труд (количество единиц затрачиваемого в течение года живого труда), исчисляемые обычно в стоимостном выражении.
44
Примеры двухфакторных ПФ:
1.Линейная ПФ: Y = aK + bL + c .
2.Функция Кобба-Дугласа: Y = a0 K a1 La2 (ПФКД).
Если a1 + a2 =1, то функцию Кобба-Дугласа можно записать в
|
Y |
= a0 |
|
K a1 |
Y |
|
K |
|
||
виде |
|
|
|
|
. Дроби |
|
и |
|
называются соответственно |
|
L |
|
L |
L |
|||||||
|
|
|
L |
|
|
|
||||
производительностью труда и капиталовооруженностью труда. YK
называется производительностью капитала или капиталоотдачей,
обратные дроби KY и YL называются соответственно
капиталоемкостью и трудоемкостью выпуска. 3. Функция Леонтьева: Y = min(aK,bL) .
Изоквантой для функции y = f (x1 , x2 ) будем называть линию (линию уровня) y = f (x1 , x2 ) = q , где q − произвольная постоянная. Различные наборы (a, b) и (c, d) используемых ресурсов, принадлежащие одной и той же изокванте, т.е. f (a,b) = f (c, d) = q , дают один и тот же объем выпуска q .
Средней производительностью i -го ресурса назовем отношение
f(x1 , x2 ) (i =1,2 ). xi
Напомним, что в случае двухфакторной ПФКД для средних производительностей YK и YL были использованы термины
соответственно капиталоотдача и производительность труда. Эти термины используют применительно к любым двухфакторным ПФ, у которых x1 = K и x2 = L .
Предельной производительностью i -го ресурса назовем частную производную
∂f (x1 , x2 ) (i =1,2 ).
∂xi
Эластичностью выпуска по i -му фактору называется отношение предельной производительности i -го ресурса к его средней производительности
45
Ei = |
xi |
|
∂f (x) |
(i =1,2 ). |
f (x) |
|
|||
|
|
∂xi |
||
Предельной нормой замещения i -го ресурса (фактора
производства) j -м назовем выражение |
|
|
|||
Rij = − |
dx j |
= |
∂f (x)∂x |
i |
. |
dxi |
∂f (x) |
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
∂x j |
||
Наряду со связями объемных показателей выпуска и затрат ресурсов могут быть рассмотрены связи между темпами прироста этих показателей. Рассмотрим ПФ Y = f (K, L) , связывающую
величину совокупного продукта (дохода) Y с затратами капитала K и труда L . Обозначим темпы прироста величин Y , K , L малыми
буквами y , k , l |
|
соответственно. Это могут быть дискретные темпы |
|||||||||||||||||||
прироста yt = |
Yt |
−Yt−1 |
, kt |
= |
|
|
Kt − Kt−1 |
, lt |
= |
Lt − Lt−1 |
или непрерывные |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
Yt−1 |
|
|
|
Kt−1 |
|
|
Lt−1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Y ' |
|
|
|
|
K ' |
L' |
|||||||
темпы прироста |
|
yt = |
t |
|
, |
kt = |
t |
, lt = |
t |
. Таким образом, ПФ в |
|||||||||||
Yt |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kt |
Lt |
|||||||
темповой записи имеет вид y = f (k,l) . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ПФ Кобба-Дугласа в темповой записи имеет вид |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yt =αkt + βlt +γ , |
|||||||
Y |
' |
|
|
|
K ' |
L' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где yt = |
t |
|
, kt = |
|
t |
, lt = |
t |
|
|
− непрерывные темпы прироста выпуска, |
|||||||||||
|
|
|
Lt |
|
|
||||||||||||||||
|
Yt |
|
Kt |
|
|
|
|
|
|
− это темп нейтрального |
|||||||||||
капитала |
и труда. Свободный |
член γ |
|||||||||||||||||||
технического прогресса. Это та часть темпа прироста выпуска, которая не связана с приростом затрат капитала и труда, а отражает интенсификацию производства на макроуровне.
Пример 4.1. Пусть объём производственной продукции V есть функция от капитальных затрат K и задается уравнением
V (K) =Vпред (1 + e−bK +c )−1,
где b и c − известные положительные числа (они определяются структурой организации производства), Vпред − предельно возможный
объем выпускаемой продукции.
Найти значение K , при котором эффективность увеличения капитальных затрат падает.
Решение. График функции V (K) имеет вид
46
V
Vпред
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Kср. |
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Kср есть |
|
|
точка |
перегиба |
графика |
функции |
|
V =V (K) . |
||||
V |
'' |
(K) =Vпредb |
2 |
e |
−bK +c 1 |
− e−bK +c |
. V |
'' |
(K) = 0 |
при Kср. = |
c |
. До этой |
||
|
|
|
(1 + e−bK +c )3 |
|
b |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
точки увеличение капитальных затрат приводит к интенсивному росту объема производства (темп прироста производства возрастает, т. к.
V '' (K) > 0 ). |
При K > Kср. |
темп объема |
выпускаемой продукции |
снижается |
(V '' (K) < 0) и |
эффективность |
увеличения капитальных |
затрат падает.
Таким образом, в стратегии капиталовложений очень важным моментом является определение критического объема затрат, сверх которого дополнительные затраты будут приводить к все меньшей отдаче при данной структуре производства. Зная этот прогноз, можно попытаться совершенствовать или менять структуру организации производства: «улучшать» показатели b , c и Vпред в сторону
повышения эффективности капиталовложений.
Пример 4.2. Завод для производства автомобилей использует два вида ресурсов: рабочих и роботов. Количество рабочих x1 , а
количество роботов − x2 , выпуск y = f (x1 , x2 ) = q .
Пусть, например, завод может произвести в день 180 автомобилей при использовании 1000 рабочих и 250 роботов, так и при
использовании |
500 |
рабочих |
и |
350 |
роботов, |
т.е. |
f (1000,250) = f (500,350) = q =180 . |
Найдем предельную |
норму |
||||
технического замещения ПНТЗ.
Если завод хочет снизить количество рабочих с 1000 до 500, не меняя при этом выпуск автомобилей в день, то следует увеличить
47
количество роботов с 225 до 350. Норма технического замещения
рабочих роботами равна НТЗ= − |
∆x2 |
= |
|
350 − 225 |
= |
1 |
. Таким образом, |
|
1000 −500 |
4 |
|||||||
|
∆x |
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
при уменьшении числа рабочих на единицу нужно увеличить количество роботов на 0,25 для того, чтобы сохранить выпуск автомобилей на прежнем уровне.
4.1.Задачи для самостоятельного решения
4.1.Зависимость объема выпуска продукции V от капитальных
затрат |
K определяется функцией V =V0 ln(4 + K 3 ) . Найти интервал |
||||||||
изменения K , на котором |
увеличение |
затрат |
производства |
||||||
неэффективно. |
|
|
|
|
y = a0 |
+ a1 x1 + a2 x2 |
|||
4.2. Для |
производственной |
|
функции |
||||||
( a j > 0, |
j = |
|
) найти средние и предельные производительности по |
||||||
0,2 |
|||||||||
факторам, эластичности выпуска по факторам. |
|
|
|
||||||
4.3. Дана |
линейная |
|
производственная |
|
функция |
||||
Y = F(K, L) = EK K + EL L . |
Каков |
экономический |
смысл |
||||||
коэффициентов EK , EL ? Построить изокванты этой функции. Какова
норма замены труда фондами?
4.4. Производственная функция затраты-выпуск имеет вид
|
K |
|
L |
|
|
|
, |
|
|||
|
|
||||
F(K, L) = min |
|
|
. |
||
aK |
|
aL |
|||
Каков экономический смысл ее коэффициентов aK , aL ? Построить
изокванты этой функции. Чему равны средние и предельные эффективности ресурсов? Имеет ли смысл для этой функции понятие «норма замены одного ресурса другим»?
4.5. Какой экономический смысл имеют коэффициенты A, α1 , α2 мультипликативной производственной функции
F(K, L) = AK α1 Lα2 ?
В каком соотношении находятся предельные и средние эффективности ресурсов? Построить изокванты этой функции. Какова норма замены труда фондами? В каком случае можно говорить о трудосберегающем росте?
4.6. Пусть производственная функция есть функция Кобба - Дугласа. Чтобы увеличить выпуск продукции на a процентов, надо увеличить фонды на b процентов или численность рабочих на c процентов. В настоящее время один работник за месяц производит
48
продукции на M ден. ед., а всего работников L . Основные фонды оцениваются в K ден. ед. Напишите производственную функцию и найдите среднюю и предельную производительности труда, среднюю и предельную фондоотдачи, среднюю фондовооруженность, эластичность выпуска по труду и эластичность выпуска по фондам.
1) a =3 , b = 6 , c =9 , M =106 , L =1000 , K =1010 .
4.7. |
Задана производственная функция |
y = 20,4 + 0,44x1 + 0.39x2 , |
где x1 |
− затраты трудовых ресурсов |
(в чел./ч), x2 − затраты |
производственных фондов (в стоимостных единицах). Выполнить эконометрический анализ модели:
1.Найти предельную производительность труда.
2.Найти предельную фондоотдачу.
3.Найти коэффициенты эластичности выпуска по затратам труда
иобъему производственных фондов.
4.Объяснить экономический смысл коэффициентов эластичности
исуммы коэффициентов эластичности выпуска по затратам.
5.Объяснить, за счет чего фирме выгоднее производить интенсификацию производства.
4.8. Производственная функция в темповой записи имеет вид yt = 0,3kt + 0,6lt +1,5 .
Пусть средний темп прироста затрат труда lt составил 1%, средний темп прироста используемого капитала kt − 6%, а средний
темп прироста выпуска − 3,9%. Каков вклад в темп прироста выпуска экстенсивных факторов (т.е. lt , kt ) и интенсивных факторов
(технического прогресса)?
§5. Модели управления запасами
5.1.Общая постановка задачи
Любые предприятия для нормального функционирования должны иметь предметы труда в виде сырья, основных и вспомогательных материалов и полуфабрикатов. Предприятия, фирмы имеют различные запасы: сырье, комплектующие изделия, готовую продукцию, предназначенную для продажи, и т.д. Совокупность подобных материалов, представляющих временно не используемые экономические ресурсы, называют запасами предприятия. Другими словами, под запасом понимаем все, на что имеется спрос и что временно выключено из производства.
49
Рассмотрим простейшие математические модели управления запасами. На рис. 2 представлены возможные графики изменения запаса Q , имеющегося на складе, во времени t , для которого
рассматривается этот запас.
Рис. 2
Под Q будем понимать изделия или материалы (товары) только одного вида. Если на изделие поступает заявка, то оно отпускается и значение Q падает. Предположим, что величина спроса непрерывна во времени. Если Q=0, то имеет место дефицит.
Любая математическая модель, которая применяется для изучения определенной ситуации в управлении запасами, должна учитывать факторы, связанные с издержками.
Различают организационные издержки — расходы, связанные с оформлением и доставкой товаров, издержки содержания запасов — затраты, связанные с хранением. Они возникают из-за амортизации в процессе хранения (изделия могут портиться, устаревать, их количество может уменьшаться и т.д.). Существуют издержки, связанные с дефицитом: если поставка со склада не может быть выполнена, то возникают дополнительные издержки, связанные с отказом. Это может быть денежный штраф или ущерб, не осязаемый непосредственно (например, ухудшение бизнеса в будущем и потеря потребителей). Рассматривают также издержки, связанные с приобретением запасов. Их учитывают, если цена единицы продукции зависит от величины партии. Количество товара, поставляемое на склад, называют размером партии.
Задача управления запасами состоит в определении объемов поставок и периодичности заказов, при которых издержки (функция затрат) принимают минимальное значение.
50
5.2. Основная модель управления запасами.
Введем обозначения необходимых для составления модели величин. Данные поместим в табл. 29.
|
|
|
|
|
|
Таблица 29 |
Величина |
Обозна- |
Единица |
|
Предложения |
||
|
чение |
измерения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Интенсивность |
ν |
Единиц товара в |
Спрос постоянен и непрерывен; весь |
|||
спроса |
|
год |
|
спрос удовлетворяется |
|
|
|
|
|
|
|
||
Организацион- |
k |
Рублей за год |
|
Издержки постоянны, не зависят от |
||
ные издержки |
|
|
|
размера партии |
|
|
|
|
|
|
|
||
Стоимость |
S |
Рублей за год |
|
Цена единицы товара постоянна; |
||
товара |
|
|
|
рассматривается один вид товара |
||
|
|
|
|
|
||
Издержки |
h |
Рублей |
за |
Стоимость хранения единицы товара |
||
содержания |
|
единицу товара |
в течение года постоянна |
|
||
запасов |
|
в год |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Размер партии |
q |
Единиц товара в |
Размер |
партии |
постоянен; |
|
|
|
одной партии |
|
поступление |
товара |
происходит |
|
|
|
|
мгновенно, как только уровень запаса |
||
|
|
|
|
равен нулю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
График изменения запасов представлен на рис. 3. |
||
Q |
|
|
q |
|
|
q 2 |
Средний уровень |
|
запасов |
||
|
||
0 |
t |
|
|
Продолжительность |
|
|
цикла |
|
|
Рис. 3 |
|
51
Чтобы полностью удовлетворить годовой спрос ν при размере поставки q, необходимо обеспечить ν /q поставок или партий за год.
Средний уровень запасов составляет q /2. Уравнение издержек будет иметь вид
L = L1 + L2 + L3 = kν q + Sν + hq 2 ,
где L1 — общие организационные издержки; L2 — стоимость товаров; L3 — общие издержки содержания запасов.
За исключением q все величины в правой части уравнения постоянны и известны, т.е. L = f (q) . Для нахождения минимума L
найдем производную dLdq и приравняем ее к нулю:
|
|
|
dL |
= − |
kν |
+ |
h |
= 0 , |
|
||
|
|
|
dq |
q2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= qопт |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
||
qопт = |
2kν |
, τопт |
= |
|
|
, |
(5.1) |
||||
|
h |
|
|
ν |
|
|
|
hν |
|
|
|
где qопт — оптимальный размер партии. Равенство (5.1) называется
формулой Уилсона.
5.3.Модель производственных запасов.
Восновной модели предполагали, что поступление товаров на склад происходит мгновенно, например, в течение одного дня. Рассмотрим случай, когда готовые товары поступают на склад непосредственно с производственной линии. Будем считать, что поступление товаров происходит непрерывно. Модель задачи в этом случае называют моделью производственных поставок. Обозначим через λ скорость поступающего на склад товара. Эта величина равна количеству товаров, выпускаемых производственной линией за год. Остальные обозначения и предположения те же, что и для основной модели управления запасами.
Определим оптимальный размер партии, минимизирующей общие затраты.
График изменения запасов модели производственных запасов представлен на рис. 4.
52
Q |
Скорость |
|
|
|
|
|
пополнения |
|
Интенсивность |
||
|
запасов |
|
T |
||
|
|
постоянного |
|||
|
(λ −ν |
) |
|||
|
|
спроса ν |
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
R |
|
|
0 |
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
Рис. 4
Общие издержки в течение года, как и для основной модели, составляют
L = L1 + L2 + L3 , L1 = kqν ,
L2 = Sν .
Для получения среднего уровня запасов следует учесть, что RT = (λ −ν)t — максимальный уровень запасов,
q = λt — количество товаров в одной производственной поставке.
Тогда средний уровень запасов составляет половину максимального и равен
(λ −ν)q . 2λ
В итоге
L = kqν + Sν + (λ2−λν) qh .
Решая уравнение dLdq = 0 , найдем оптимальный размер партии модели производственных поставок:
qопт = 
2λkν (λ −ν)h .
53
5.4. Модель запасов, включающая штрафы
Рассмотрим основную модель, допускающую возможность существования периодов дефицита, который покрывается при последующих поставках, и штрафов за несвоевременную поставку.
Пусть предприятие должно поставить q ед. товара в течение каждого промежутка времени T за единицу времени поставляется ν ед. товара ( q = Tν ).
Предположим, что в начале каждого периода T предприятие делает запас, равный S . Это означает, что в течение периода будет наблюдаться дефицит товара и некоторое время поставки не будут осуществляться. Невыполненные заявки будут накапливаться до максимальной величины q − S и будут удовлетворены, как только
поступит следующая партия товаров в количестве q.
За то, что товары доставляются предприятием позже необходимого срока, на предприятие налагается штраф, который зависит от того, насколько была задержана поставка. Такая модель целесообразна, поскольку иногда выгоднее заплатить штраф, чем расходовать дополнительные средства на хранение запасов, превышающих величину S .
Задача управления запасами состоит в том, чтобы выбрать такое значение S , которое ведет к минимизации всех затрат, включая затраты на хранение и штрафы.
График изменения запасов модели представлен на рис. 5.
|
Q |
|
|
Интенсивность |
|
|
спроса ν |
|
q |
S |
|
|
|
|
|
A |
B |
|
0 |
t |
|
Период |
C |
|
дефицита |
Рис. 5 |
|
|
|
Для определения оптимального значения S обозначим: |
||
h — издержки хранения единицы товара за единицу времени; |
||
54
λ — затраты на штраф в расчете на единицу товара за один день отсрочки.
Найдем издержки одного цикла:
L = L1 + L2 ,
где L1 — общие издержки содержания запасов; L2 — общие затраты
на штраф.
Так как товары находятся на складе в течение периода ОА (см. рис. 5), средний уровень запасов за этот период равен S
2. Если
продолжительность периода ОА равна S
ν , то
L = h |
S |
|
S |
= |
hS 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
2 |
|
ν |
|
2ν |
|
|
|
|
|
|
|
|
(q − S) |
|
||||
Так как штраф выплачивается в |
течение периода АВ= |
, |
|||||||
ν |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
общее число "товаро-дней", на которые налагается штраф, равно площади треугольника АВС. Площадь составляет
|
|
|
|
|
|
|
(q − S) |
|
(q − S) |
, |
|
||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
ν |
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
λ(q − S)2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
L2 = |
. |
|
||||||
Окончательно |
|
|
|
|
|
2ν |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
L = |
hS 2 |
|
+ |
λ(q − S)2 |
(без учета размещения заказа за цикл). |
||||||||||
2ν |
2ν |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найдем |
dL |
и, решив уравнение |
|
dL =0, получим оптимальное |
|||||||||||
значение: |
|
dS |
|
|
|
|
|
|
dS |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λq |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Sопт |
= |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(h +λ) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Взяв Sопт в качестве уровня запасов в начале каждого цикла при
условии, что невыполненные заявки будут удовлетворены, сведем суммарные расходы L к минимуму:
L |
= |
q2hλ |
. |
|
2ν(h + λ) |
||||
min |
|
|||
55
5.5.Точка заказа
Вреальных задачах следует учитывать время выполнения заказа
θ. Для бесперебойного снабжения заказ должен подаваться в момент, когда уровень запаса достаточен для удовлетворения потребности на время выполнения заказа. Этот уровень называется точкой возобновления заказа (точка заказа) и обозначается r , т.е. это нижний уровень, по которому мы должны заказывать новую партию. Для систем, в которых дефицит не допускается, заказ должен размещаться в момент, когда величина наличного запаса равна
r =θν − τθопт qопт ,
где [·] ─ целая часть (·); τопт ─ оптимальный интервал между
поставками.
Для бездефицитной работы системы нужно иметь начальный запас I0 =θν . Если I ─ фактический запас, то для непрерывной работы
необходимо, чтобы I ≥θν . Время потребления начального запаса νI .
Чтобы заказанная партия прибыла ко времени полного исчерпания , ее нужно размещать в момент t0 = νI −θ , а все остальные заказы нужно размещать в моменты
tk = νI −θ + kτопт , k = 0,1,2,....
Для систем с дефицитом точка заказа определяется по формуле
|
θ |
|
|
|
r =θν − |
|
qопт |
−(qопт |
− Sопт ) . |
|
||||
τопт |
|
|
||
5.6. Оптимальный объем партии
Рассмотрим систему управления запасами с периодической стратегией поставок и равномерным спросом. Пусть товар поставляют на склад партиями по n единиц в каждой. Продолжительность функционирования системы равна T . За это время должно быть
поставлено N единиц товара. Количество партий составляет m = N n ,
а период между поставками τ = T m . Предположим, что поставки осуществляются мгновенно, в системе не допускается дефицит и
56
затраты на хранение пропорциональны количеству товара на складе и времени их хранения. Известными величинами являются:
T ─ длительность работы системы; N ─ общий объем поставок;
C1 ─ затраты на хранение единицы товара в течение единицы
времени;
C2 ─ плата за заказ одной партии товара, не зависящая от объема
партии.
Требуется определить оптимальный объем партии товара, т.е. значение n , при котором суммарные затраты на хранение и возобновление запасов минимальны.
n
A
0 |
τ |
B |
3τ |
t |
τ |
||||
|
|
2 |
|
|
Рис. 6
Суммарное время хранения n единиц товара одной партии равно площади треугольника OAB , т.е. n τ2 . Следовательно, суммарные
затраты на их хранение равны C1n τ2 . Величина затрат на хранение
всех m партий ─ C1nm τ2 . Плата за заказ всех m партий равна C2 m .
Тогда общие затраты
L = C nm |
τ +C |
m |
(5.2) |
|||||
1 |
|
2 |
2 |
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = C n |
T |
|
+C |
2 |
N |
(5.3) |
||
|
|
|
|
|
||||
1 |
2 |
|
|
|
n |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
Для того чтобы найти оптимальный размер партии найдем решение уравнения dLdn = 0 .
57
|
C |
T |
−C |
|
N |
= 0 . |
|
(5.4) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
2 n2 |
|
|||||||
Откуда |
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
= nопт = |
|
2С2 N |
. |
(5.5) |
|||||
|
|
|
С1T |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим M = TN ─ объем спроса в единицу времени. Тогда формула (5.5) примет вид
n |
|
= nопт = |
2С2 M |
. |
|
(5.6) |
|||
|
С1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и оптимальный период между поставками равен |
|
||||||||
|
T |
= Tnопт |
|
|
|
. |
|
||
τ = |
= |
|
2С2 |
(5.7) |
|||||
|
|
m0 |
N |
|
|
С1M |
|
||
5.7. Решение экономических задач с использованием моделей управления запасами
Решим задачу с применением основной модели управления запасами. Рассмотрим задачу с применением модели производственных поставок.
Пример 5.1. Интенсивность равномерного спроса выпускаемых фирмой видеомагнитофонов составляет 2000 шт. в год. Организационные издержки равны 20 тыс. ден. ед. Цена видеомагнитофона составляет 1 тыс. ден. ед., издержки хранения равны 0,1 тыс. ден. ед. в расчете на один видеомагнитофон в год. Запасы на складе пополняются со скоростью 4000 видеомагнитофонов в год. Производственная линия начинает действовать, как только уровень запасов на складе становится равным нулю, и продолжает работу до тех пор, пока не будет произведено q видеомагнитофонов.
Найти размер партии, который минимизирует все затраты. Определить число поставок в течение года, время, в течение которого продолжается поставка, продолжительность цикла, максимальный уровень запасов и средний уровень запасов при условии, что размер поставки оптимален.
Решение. Данная модель задачи является моделью производственных поставок со следующими параметрами:
58
|
|
|
ν |
=2000, k =20, h=0,1, S = 1, λ =4000. |
|
|
||||||
График изменения запасов представлен на рис. 7. |
|
|
||||||||||
|
|
Q |
λ −ν = 2000 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
T |
ν = 2000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
R |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7 |
|
|
|
|
|
|
|
Число партий в течение года: п=ν |
= 2000 . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
q |
|
|
|
Продолжительность поставки: |
t = q = |
|
q . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
4000 |
|
|
|
Продолжительность цикла: τ = |
1 = q |
= |
q . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
n |
ν |
|
|
2000 |
q |
= q . |
Максимальный уровень запасов: RT = (λ −ν)t = 2000 |
||||||||||||
Средний уровень запасов: RT = q . |
|
|
|
4000 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
Уравнение издержек: |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
L = L + L |
2 |
+ L = kn + Sν + qh . |
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решив уравнение dL |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= 0, получим |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
dq |
|
|
|
|
|
|
|
|
qопт = |
2 4000 20 2000 =1265 видеомагнитофонов. |
|
|
|||||||||
|
|
|
2000 0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем оптимальные значения поставок, продолжительность поставки, продолжительность цикла:
nопт = |
2000 |
≈1,6 поставки, |
|||
1265 |
|||||
|
|
|
|||
tопт |
= |
1265 |
≈115 дн., |
||
|
|||||
|
4000 |
|
|||
59
τопт = 3651,6 ≈ 230 дн.
Ответ: за каждую поставку необходимо доставлять на склад 1265 видеомагнитофонов, оптимальное число поставок составляет 1,6, продолжительность поставки — 115 дней, продолжительность цикла — 230 дней.
Пример 5.2. Интенсивность равномерного спроса составляет 2000 телевизоров в год. Организационные издержки для одной партии составляют 20 тыс. ден. ед. Цена единицы товара равна 1 тыс. ден. ед., а издержки содержания телевизоров составляют 0,1 тыс. ден. ед. за один телевизор в год.
Найти оптимальный размер партии, число поставок и продолжительность цикла.
Решение. По условию задачи ν =2000, k =20, S =1, h =0,1.
Общие издержки в течение года: |
|
|
q |
|
|||
L = L + L |
2 |
+ L = |
40000 |
+ 2000 + |
, |
||
|
|
||||||
1 |
3 |
|
q |
20 |
|
||
|
|
|
|
|
|||
dLdq = − 40000q + 201 ,
qопт = 
800000 ≈ 894 ед., nопт = 2000 ≈ 2,24,
qопт
tопт = 365 ≈163 дн.
nопт
Ответ: оптимальный размер партии составляет 894 телевизора, число поставок — 2,24, продолжительность цикла — 163 дня.
5.8.Задачи для самостоятельного решения
5.1.В течение 10 дней наблюдалось следующее изменение
запасов:
— первоначальный запас равен нулю, в следующие двое суток товары поступали на склад непрерывно и равномерно по 500 шт. в день, расходования запасов не происходило;
— в следующие четыре дня спрос на имеющиеся в запасе товары был непрерывным и равномерным и равнялся 250 шт. в день, пополнения запасов не происходило;
60
— в следующие четыре дня потребность в товарах изменилась до 200 шт. в день, с целью удовлетворения спроса и пополнения запасов ежедневно на склад доставлялось 300 шт. (поставки на склад и со склада происходили равномерно и непрерывно). Нарисуйте график изменения запасов для 10-дневного периода, определите величину запасов на складе к концу периода. Вычислите средний уровень запасов для всего периода.
5.2.Фирме по строительству судов требуется 20000 заклепок в год, расходуемых с постоянной интенсивностью. Организационные издержки составляют 0,5 тыс. ден. ед. за партию, цена одной заклепки — 10 ден. ед. Издержки на хранение одной заклепки оценены в 12,5% ее стоимости.
Найти оптимальный размер партии поставки, оптимальную продолжительность цикла и оптимальное число поставок за год.
5.3.Известно, что издержки выполнения заказа — 2 ден. ед., количество товара, реализованного за год, — 1000 шт., закупочная цена единицы товара — 5 ден. ед., издержки хранения — 20% от закупочной цены.
Определить наиболее оптимальный размер заказа.
5.4.Система управления запасами некоторого товара подчиняется основной модели. Каждый год с постоянной интенсивностью спрос составляет 15000 ед. товара, издержки на организацию поставки составляют 10 ден. ед. на партию, цена единицы товара — 30 ден. ед.,
аиздержки на ее хранение — 7,5 ден. ед. в год.
Найти оптимальный размер партии, число поставок, продолжительность цикла.
5.5.Интенсивность равномерного спроса — 2000 ед. товара в год. Организационные издержки для одной партии — 20 тыс. ден. ед., цена единицы товара — 1 тыс. ден. ед., издержки содержания запаса — 100 ден. ед. за единицу товара в год.
Найти оптимальный размер партии, предполагая, что система описывается основной моделью.
5.6.Предприниматель имеет стабильный месячный спрос на товар
вколичестве 50 ед. Товар он покупает у поставщика по цене 6 ден. ед. за штуку, причем издержки на оформление, поставки и другие подготовительные операции составляют в каждом случае 10 ден. ед.
Как часто предприниматель должен пополнять свой запас товаров, если затраты на хранение равны 20% цены товара?
5.7.Фирма вместо оптимального значения партии товара q в основной модели поставок заказала на 50% больше.
61
На сколько изменятся общие издержки на содержание запасов и организацию поставок по сравнению с оптимальным вариантом поставок товара?
5.8.Фирма вместо оптимального значения партии товара q в основной модели поставок заказала на 50% меньше.
На сколько изменятся общие издержки на содержание запасов и организацию поставок по сравнению с оптимальным вариантом поставок товара?
5.9.Известно, что издержки выполнения заказа равны 10 ден. ед., годовой спрос на товар — 1470 т, оптимальный размер партии поставки — 35 т. Определить годовые затраты на выполнение заказа.
5.10.Пользующийся спросом товар продается со средней скоростью 45 ед. в день, а производится со скоростью 450 ед. в день. Затраты на организацию и доставку товара составляют 5 тыс. ден. ед. за партию, издержки хранения запасов равны 20% стоимости товара. Стоимость товара складывается следующим образом: заработная плата обслуживающего персонала составляет 0,4, расходы на материалы — 0,5, накладные расходы — 0,6 (ден. ед. за единицу товара, для каждой единицы товара эти значения суммируются).
Найти оптимальный размер партии и минимальные общие затраты, связанные с образованием запаса (в расчете на единицу товара в течение года).
В году — 300 рабочих дней.
5.11.Интенсивность спроса в модели производственных поставок составляет четверть скорости производства, которая равна 20000 ед. товара в год. Организационные издержки для одной партии равны 150 ден. ед., а издержки хранения единицы товара в течение года — 5 ден. ед.
Определить оптимальный размер партии.
5.12.Система управления запасами описывается моделью производственных запасов. Спрос товара — 1500 шт. в год, цена — 200 ден. ед., издержки товара в течение года — 20 ден. ед., организационные издержки — 1000 ден. ед. В течение года может быть произведено 4500 шт. товара при полной загрузке производственной линии.
Нарисуйте график изменения запасов, вычислите оптимальный размер партии, продолжительность поставки, продолжительность цикла и средний уровень запасов.
5.13.Фирма, выступающая в качестве посредника, обязуется поставлять заводу по производству двигателей 5 коленчатых валов в
62
день. Руководство фирмы решает доставлять коленчатые валы на свой склад партиями, причем в каждой содержится 150 шт. и они рассчитаны на 30-дневный срок. За один просроченный день в поставке коленчатого вала заводу фирма выплачивает штраф 200 ден. ед. Издержки хранения одного коленчатого вала были оценены в 250 ден. ед. за неделю, организационными затратами можно пренебречь.
Найти оптимальный уровень запасов и продолжительность соответствующего ему периода дефицита. Вычислите уменьшение затрат при оптимальной политике управления запасами по сравнению с политикой, когда в начале каждого периода на склад поступает 150 коленчатых валов.
5.14.Потребность сборочного предприятия в деталях некоторого типа составляет 120000 деталей в год, причем эти детали расходуются
впроцессе производства равномерно и непрерывно. Детали заказываются раз в год и поставляются партиями одинакового объема, указанного в заказе. Хранение детали на складе стоит 0,35 ден. ед. в сутки, а поставка партии — 10000 ден. ед. Задержка производства изза отсутствия деталей недопустима. Определить наиболее экономичный объем партии и интервал между поставками, которые нужно указать в заказе (предполагается, что поставщик не допускает задержки поставок).
5.15.По условию задачи 5.2 определить, на сколько процентов увеличатся затраты на создание и хранение запаса по сравнению с минимальными затратами при объеме заказываемых партий 5000 деталей.
В условиях задачи 5.15 предположим, что заказываются не все партии сразу, а каждая отдельно, причем срок выполнения заказа равен 16 дней. Определить точки заказа, т. е. при каком уровне запаса следует заказывать следующую партию.
§ 6. Статистические игры
Под статистической игрой (игрой с природой) будем понимать парную матричную игру, в которой один игрок заинтересован в наиболее выгодном для него исходе игры, а второй игрок («природа») совершенно безразличен к результату игры.
Так, в матричных играх предполагается, участие двух игроков, интересы которых противоположны. Поэтому действия каждого игрока направлены на увеличение выигрыша (уменьшение проигрыша). Однако в некоторых задачах, приводящихся к игровым,
63
имеется неопределенность, вызванная отсутствием информации об условиях, в которых осуществляется действие (погода, покупательский спрос и т.д.). Эти условия зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективной действительности. Такие игры называются играми с природой. Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй игрок (природа, покупательский спрос) действует случайно.
Предположим, что в игре с природой сознательный игрок A может использовать m чистых стратегий A1 , A2 ,…, Am , а природа П
может реализовать n различных состояний П1, П2 ,…, Пn . Игроку A могут быть известны вероятности q1,…, qn , с которыми природа
реализует свои состояния, он может и не знать их. Действуя против природы, игрок A имеет возможность использовать как чистые стратегии Ai , так и смешанные стратегии. Если игрок A в состоянии
оценить (величиной aij ) последствия применения каждой своей чистой стратегии Ai при любом состоянии Пj природы, то игру
можно задать матрицей: |
|
||||
|
A |
П1 |
... |
Пn |
|
A = |
a |
... |
a |
||
1 |
11 |
... |
1n , которая называется платежной |
||
m×n |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Am am1 |
... |
amn |
||
матрицей.
Игры с природой хотя и являются частным случаем парных матричных игр, обладают и некоторыми особенностями. Например, при упрощении платежной матрицы отбрасывать те или иные состояния природы нельзя, так как она может реализовать любое состояние независимо от того, выгодно оно игроку A или нет. Кроме того, решение достаточно найти только для игрока A , поскольку природа наши рекомендации воспринять не может. Также в играх с природой смешанные стратегии имеют ограниченное значение: они приобретают смысл только при многократном повторении игры.
С учетом отмеченных особенностей сформулирован ряд критериев, которыми пользуются при выборе оптимальных стратегий игрока A . Эти критерии позволяют оценить принимаемое решение и высказать рекомендации по тому или иному образу действий. Если рекомендации, вытекающие из некоторых критериев, совпадают, принимается рекомендуемое решение. Если же рекомендации не совпадают, то необходимо дополнительное исследование.
64
Если вероятности q j состояний Пj природы известны, то
пользуются критерием Байеса, в соответствии с которым оптимальной считается чистая стратегия Ai , при которой
максимизируется средний выигрыш
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
ai |
= ∑aij q j |
|
игрока A , т.е. обеспечивается |
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
n |
||
|
|
|
|
|
|
max |
ai |
= max |
∑aij q j . |
||
i |
|
|
i |
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
В ряде случаев, когда вероятности состояний природы неизвестны, для их оценки можно использовать принцип недостаточного основания Лапласа, согласно которому все состояния природы полагаются равновероятными, т.е. q1 = ... = qn =1
n , и оптимальной
считают чистую стратегию Ai , обеспечивающую
|
|
|
1 |
n |
|
max |
ai |
= |
max ∑aij . |
||
n |
|||||
i |
i j=1 |
||||
Если вероятности q j состояний Пj природы неизвестны и нельзя
сделать о них никаких предположений, то пользуются критериями Вальда, Сэвиджа и Гурвица.
1. Критерий Вальда. Рекомендуется применять максиминную стратегию. Она достигается из условия
ij ij , i =1, m , j =1, n ,
исовпадает с нижней ценой игры. Критерий является пессимистическим, считается, что природа будет действовать наихудшим для человека образом.
2.Критерий максимума. Он выбирается из условия
max max aij , i =1, m , j =1, n . |
|
i |
j |
Критерий является оптимистическим, считается, что природа будет наиболее благоприятна для человека.
3. Критерий Гурвица. Критерий рекомендует стратегию,
определяемую по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, i =1, m , j =1, n , |
||||||
max λ min aij + (1 |
− λ) max aij |
|||||||
i |
j |
j |
|
|
|
|
|
|
где λ (степень оптимизма) изменяется в диапазоне [0,1].
Критерий придерживается некоторой промежуточной позиции, учитывающей возможность как наихудшего, так и наилучшего
65
поведения природы. При λ =1 критерий превращается в критерий Вальда; при λ =0 — в критерий максимума. На λ оказывает влияние степень ответственности лица, принимающего решение по выбору стратегии. Чем хуже последствия ошибочных решений, больше желания застраховаться, тем λ ближе к единице. В общем случае число λ выбирают из опыта или субъективных соображений.
4. Критерий Сэвиджа. Суть критерия состоит в выборе такой стратегии, чтобы не допустить чрезмерно высоких потерь, к которым она может привести. Находится матрица рисков, элементы которой показывают, какой убыток понесет человек (фирма), если для каждого состояния природы он не выберет наилучшей стратегии.
Элемент матрицы рисков (rij )находится по формуле
rij |
= max aij − aij , i = |
1, m |
, j = |
1, n |
, |
|
i |
||||
где max aij — максимальный элемент в столбце исходной матрицы.
Оптимальная стратегия находится из выражения
min max rij , i =1, m , j =1, n .
i j
Пример 6.1. Определение производственной программы предприятия в условиях риска и неопределенности с использованием матричных игр.
Фирма "Фармацевт" — производитель медикаментов и биомедицинских изделий в регионе. Известно, что пик спроса на некоторые лекарственные препараты приходится на летний период (препараты сердечно-сосудистой группы, анальгетики), на другие — на осенний и весенний периоды (антиинфекционные, противокашлевые).
Затраты на 1 усл. ед. продукции за сентябрь–октябрь составили: по первой группе (препараты сердечно-сосудистые и анальгетики) — 20 ден. ед.; по второй группе (антиинфекционные, противокашлевые препараты) — 15 ден. ед.
По данным наблюдений за несколько последних лет службой маркетинга фирмы установлено, что она может реализовать в течение рассматриваемых двух месяцев в условиях теплой погоды 3050 усл. ед. продукции первой группы и 1100 усл. ед. продукции второй группы; в условиях холодной погоды — 1525 усл. ед. продукции первой группы и 3690 усл. ед. второй группы.
В связи с возможными изменениями погоды ставится задача — определить стратегию фирмы в выпуске продукции, обеспечивающую
66
максимальный доход от реализации при цене продажи 40 ден. ед. за 1 усл. ед. продукции первой группы и 30 ден. ед. — второй группы.
Решение. Фирма располагает двумя стратегиями: A1 — в этом году будет теплая погода;
A2 — погода будет холодная.
Если фирма примет стратегию A1 и в действительности будет теплая погода (стратегия природы B1 ), то выпущенная продукция
(3050 усл. ед. препаратов первой группы и 1100 усл. ед. второй группы) будет полностью реализована и доход составит
3050 (40 − 20) +1100 (30 −15) = 77500 ден. ед.
Вусловиях прохладной погоды (стратегия природы B2 )
препараты второй группы будут проданы полностью, а первой группы только в количестве 1525 усл. ед. и часть препаратов останется нереализованной. Доход составит
1525 (40 − 20) +1100 (30 −15) − 20 (3050 −1525) =16500 ден. ед.
Аналогично, если фирма примет стратегию A2 и в дейст-
вительности будет холодная погода, то доход составит
1525 (40 − 20) + 3690 (30 −15) =85850 ден. ед.
При теплой погоде доход составит
1525 (40 − 20) +1100 (30 −15) − (3690 −1100) 15 =8150 ден. ед.
Рассматривая фирму и погоду в качестве двух игроков, получим платежную матрицу
A1 |
|
B1 |
B2 |
|
|
77500 |
16500 |
|
|
A2 |
|
8150 |
85850 |
, |
|
|
α= max{16500,8150}=16500 ден. ед.
β= min{77500,85850}= 77500 ден. ед.
Цена игры лежит в диапазоне 16500 ≤ v ≤ 77500 .
Из платежной матрицы видно, что при всех условиях доход фирмы будет не меньше 16500 ден. ед., но если погодные условия совпадут с выбранной стратегией, то доход фирмы может составить 77500 ден. ед.
Найдем решение игры. |
|
Обозначим вероятность применения фирмой стратегии A1 |
через |
x1 , стратегии A2 — через x2 , причем x1 =1 − x2 . Решая |
игру |
графическим методом, получим xопт = (0,56;0,44) , при этом цена игры v =46986 ден. ед.
67
Оптимальный план производства лекарственных препаратов составит
0,56 (3050;1100) + 0,44 (1525;3690) = (2379;2239,6) .
Таким образом, фирме целесообразно производить в течение сентября и октября 2379 усл. ед. препаратов первой группы и 2239,6 усл. ед. препаратов второй группы, тогда при любой погоде она получит доход не менее 46986 ден. ед.
В условиях неопределенности, если не представляется возможным фирме использовать смешанную стратегию (договоры с другими организациями), для определения оптимальной стратегии фирмы используем критерии природы.
1. Критерий Вальда:
max min aij = max{16500;8150}=16500 ден. ед.,
i j
фирме целесообразно использовать стратегию A1 .
2. Критерий максимума: |
|
max max aij = max{77500;85850}= 85850 ден. ед., |
|
i |
j |
целесообразно использовать стратегию A2 .
3. Критерий Гурвица: для определенности примем λ =0,4, тогда для стратегии фирмы A1
λ min aij + (1 − λ) max aij = 0,4 16500 + (1 − 0,4) 77500 =53100 ден. ед.,
для стратегии A2
λ min aij + (1 − λ) max aij = 0,4 8150 + (1 − 0,4) 85850 =54770 ден. ед., max{53100;54770}= 54770 ден. ед.,
фирме целесообразно использовать стратегию A2 .
4. Критерий Сэвиджа. Максимальный элемент в первом столбце — 77500, во втором столбце — 85850.
Элементы матрицы рисков находятся из выражения
|
rij |
= max aij |
− aij , i = |
1,2 |
, j = |
1,2 |
, |
|||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда r11 =77500–77500=0, |
r12 =85850–16500=69350, r21 =77500– |
|||||||||
8150=69350, r22 =85850–85850=0. Матрица рисков имеет вид |
||||||||||
|
|
|
0 |
|
69350 |
|
||||
|
|
|
69350 |
0 |
|
, |
||||
|
|
|
|
|
||||||
min max rij = min(69350,69350) = 69350 ден. ед., |
||||||||||
i |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
целесообразно использовать стратегию A1 или A2 .
68
Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A2 .
Следовательно, фирме целесообразно применять стратегию A2 .
Отметим, что каждый из рассмотренных критериев не может быть признан вполне удовлетворительным для окончательного выбора решений, однако их совместный анализ позволяет более наглядно представить последствия принятия тех или иных управленческих решений.
При известном распределении вероятностей различных состояний природы критерием принятия решения является максимум математического ожидания выигрыша.
Пусть известно для рассматриваемой задачи, что вероятности теплой и холодной погоды равны и составляют 0,5, тогда оптимальная стратегия фирмы определяется так:
max{(0,5 77500 + 0,5 16500);(0,5 8150 + 0,5 85850)}= = max(47000;47000) = 47000.
Фирме целесообразно использовать стратегию A1 или A2 . Пример 6.2. После k лет эксплуатации промышленное
оборудование может оказаться в одном из следующих состояний:
1)требуется незначительный ремонт; 2) необходимо заменить отдельные детали и узлы; 3) дальнейшая эксплуатация возможна лишь после капитального ремонта. Накопленный на предприятии опыт свидетельствует, что вероятности указанных состояний оборудования составляют соответственно 0,3, 0,6 и 0,1. В зависимости от сложившейся ситуации руководство предприятия может принять такие решения: 1) произвести ремонт своими силами, что потребует затрат, равных 2, 6 или 10 ден. ед., в зависимости от состояния оборудования (в затраты включены стоимость ремонта и заменяемых деталей и узлов, убытки, связанные с ухудшением качества выпускаемой продукции, простоем неисправного оборудования и др.);
2)произвести ремонт с помощью специалистов-ремонтников, что вызовет затраты, равные 10, 4 или 8 ден. ед.; 3) заменить оборудование новым, на что будет израсходовано соответственно 14, 12 или 6 ден. ед. Используя игровой подход, высказать рекомендации по оптимальному образу действий руководства предприятия.
Решение. В рассматриваемой ситуации в качестве игрока A выступает руководство предприятия, обладающее тремя стратегиями:
69
A1 — произвести ремонт своими силами; A2 — ремонт выполняют приглашенные специалисты; A3 — заменить оборудование. Вторым игроком здесь следует считать природу П — комплекс внешних условий, в которых функционировало оборудование на протяжении k лет и которые определили три возможных состояния П1, П2 и П3 , указанных в условии задачи. "Выигрышами" игрока А будут затраты, связанные с реализацией решений (чистых стратегий) A1 , A2 и A3 и составляющие платежную матрицу (табл. 30).
|
|
|
|
|
Таблица 30 |
||
|
П1 |
П2 |
П3 |
min aij |
|
a |
i |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A1 |
–2 |
–6 |
–10 |
–10 |
–5,2 |
||
A2 |
–10 |
–4 |
–8 |
–10 |
–6,,2 |
||
A3 |
–14 |
–12 |
–6 |
–14 |
–12 |
||
q j |
0,3 |
0,6 |
0,1 |
|
|
|
|
β j |
–2 |
–4 |
–6 |
|
|
|
|
Здесь α =–10, β =–6, игра не имеет седловой точки и у игрока А нет доминируемых стратегий. Поскольку известны вероятности q j состояний природы П, то пользуемся критерием Байеса. Находим средние "выигрыши" ai игрока А при каждой его чистой стратегии:
a1 = −2 0,3 + (−6) 0,6 + (−10) 0,1 = −5,2 ; a2 = −6,2 ;
a3 = −12 .
Оптимальной по Байесу будет чистая стратегия A1 , так как именно при ней средний "выигрыш" достигает максимального значения:
max ai = max(−5,2;−6,2;−12) = −5,2 = a1 .
i
Таким образом, руководству предприятия следует произвести ремонт своими силами, так как средние затраты при этом будут минимальными (5,2 ден.ед.).
70
6.1.Задачи для самостоятельного решения
6.1.Сельскохозяйственное предприятие имеет три участка земли: влажный A1 , средней влажности A2 и сухой A3 . Один из этих
участков предполагается использовать для выращивания картофеля, а остальные ─ для посева зеленой массы. Известно, что для получения хорошего урожая картофеля требуется определенное количество влаги в почве в период вегетации. При излишней влажности посаженный картофель на некоторых участках может гнить, а при недостаточном количестве осадков будет плохо развиваться, что приводит к снижению урожайности. Требуется определить, на каком участке сеять картофель, чтобы получить хороший урожай, если известны средняя урожайность картофеля в зависимости от погодных условий. На участке A1 урожайность составляет 200, 100 и 250 ц с га
при выпадении соответственно нормального количества осадков, больше и меньше нормы. Аналогично на участке A2 ─ 270, 120 и 200
ц с га, а на участке A3 ─ 240, 260 и 10 ц.
Найти оптимальную стратегию при различных критериях. Вероятности выпадения осадков равных норме q1 = 0,4 , меньше
нормы q2 = 0,3, больше нормы q3 = 0,3 .
6.2. На технологическую линию поступает сырье с малым или большим количеством примесей. Линия может работать в трех режимах. Доход предприятия от реализации единицы продукции, изготовленной из сырья первого вида при различных режимах работы технологической линии, составляет соответственно 2, 5 и 6 ден. ед., а из сырья второго вида ─ 5, 3 и 1 ден. ед. В каких режимах и сколько времени должна работать технологическая линия, чтобы доход от выпущенной продукции был возможно большим?
а) Решить задачу, используя критерии Вальда, Гурвица и Сэвиджа.
б) Решить задачу при условии, что вероятность поступления сырья с малым количеством примесей равна 0,8, а с большим количеством примесей ─ 0,2.
6.3. Швейное объединение "Элема" планирует к массовому выпуску новую модель одежды. Спрос на эту модель зависит от конъюнктуры на рынке сбыта. Специалисты объединения анализируют три возможных состояния C1 , C2 и C3 рынка сбыта и
71
три возможных варианта сбыта выпуска B1 , B2 и B3 данной модели.
Каждый из вариантов требует своих затрат и обеспечивает различный уровень прибыли. Величина ожидаемой прибыли (в тыс. ден. ед.), на которую может рассчитывать объединение при данном объеме выпуска модуля ч соответствующем состоянии спроса, определяется элементами матрицы
B1 |
C1 C2 C3 |
|
||||
24 |
22 |
22 |
|
|||
B |
2 |
|
21 |
23 |
23 |
|
|
|
20 |
21 |
24 |
|
|
B |
|
|
||||
|
3 |
|
|
|
|
|
Используя игровой подход, найти объем выпуска новой модели одежды, обеспечивающий наибольшую среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса.
6.4.После нескольких лет эксплуатации промышленное
оборудование оказывается в одном |
из |
следующих |
состояний: |
1) оборудование может использоваться |
в |
очередном |
году после |
профилактического ремонта; 2) для безаварийной работы оборудования в дальнейшем следует заменить отдельные его детали и узлы; 3) оборудование требует капитального ремонта или замены. В зависимости от сложившейся ситуации руководство предприятия в состоянии принять такие pешения: 1) отремонтировать оборудование силами заводских специалистов, что потребует, в зависимости от обстановки, затрат, равных a1, a2 или a3 ден. ед.; 2) вызвать
специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b1 , b2 или b3 ден. ед.; 3) заменить оборудование новым, реализовав
устаревшее оборудование по его остаточной стоимости. Совокупные затраты в результате этого мероприятия будут равны соответственно c1 , c2 или c3 ден.ед. Указанные выше расходы предприятия
включают, кроме стоимости ремонта и заменяемых деталей и узлов, убытки, вызванные ухудшением качества выпускаемой продукции, простоем неисправного оборудования, а также затраты на установку и отладку нового оборудования. Требуется:
1)придать описанной ситуации игровую схему, установить характер игры и выявить ее участников, указать возможные чистые стратегии сторон;
2)составить платежную матрицу;
72
3) выяснить, какое решение о работе оборудования в предстоящем году целесообразно рекомендовать руководству предприятия, чтобы минимизировать потери при следующих предположениях: а) накопленный на предприятии опыт эксплуатации аналогичного оборудования показывает, что вероятности указанных выше состояний оборудования равны соответственно q1 , q2 или q3 ;
б) имеющийся опыт свидетельствует о том, что все три возможных состояния оборудования равновероятны; в) о вероятностях состояний оборудования ничего определенного сказать нельзя.
( λ ─ значение параметра в критерии Гурвица).
Все необходимые числовые данные приведены в табл. 31. Таблица 31
|
|
|
|
|
Вариант |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
a1 |
5 |
4 |
7 |
6 |
9 |
10 |
8 |
7 |
10 |
13 |
a2 |
11 |
6 |
11 |
10 |
12 |
8 |
11 |
12 |
17 |
9 |
a3 |
9 |
9 |
9 |
15 |
10 |
13 |
7 |
20 |
13 |
15 |
b1 |
7 |
5 |
6 |
15 |
7 |
18 |
15 |
15 |
12 |
20 |
b2 |
12 |
3 |
8 |
9 |
14 |
14 |
10 |
11 |
15 |
12 |
b3 |
6 |
7 |
16 |
18 |
9 |
10 |
16 |
17 |
9 |
11 |
c1 |
15 |
20 |
21 |
13 |
15 |
25 |
12 |
23 |
21 |
18 |
c2 |
10 |
15 |
10 |
24 |
11 |
12 |
9 |
9 |
8 |
10 |
c3 |
16 |
6 |
12 |
12 |
18 |
9 |
18 |
13 |
14 |
14 |
q1 |
0,3 |
0,4 |
0,15 |
0,15 |
0,2 |
0,35 |
0,35 |
0,15 |
0,35 |
0,3 |
q2 |
0,5 |
0,45 |
0,6 |
0,55 |
0,65 |
0,45 |
0,5 |
0,65 |
0,55 |
0,45 |
q3 |
0,2 |
0,15 |
0,25 |
0,3 |
0,15 |
0,2 |
0,15 |
0,2 |
0,1 |
0,25 |
λ |
0,7 |
0,9 |
0,5 |
0,8 |
0,6 |
0,8 |
0,7 |
0,9 |
0,6 |
0,7 |
6.5. Торговая фирма разработала несколько вариантов плана продаж на предстоящей ярмарке с учетом конъюнктуры рынка и спроса покупателей. Получающиеся от их возможных сочетаний показатели дохода представлены в табл. 32.
1)Определить оптимальную стратегию фирмы в продаже товаров на ярмарке.
2)Если существует риск (вероятность реализации плана П1 ─
b %, П2 ─ c %, П3 ─ d %), то какую стратегию фирме считать оптимальной?
73
|
|
|
Таблица 32 |
План |
Величина дохода, ден. ед. |
|
|
продажи |
Д1 |
Д2 |
Д3 |
П1 |
a11 |
a12 |
a13 |
П2 |
a21 |
a22 |
a23 |
П3 |
a31 |
a32 |
a33 |
Значения коэффициентов условия задачи приведены в табл. 33.
Таблица 33
№ В |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Знач. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a11 |
3 |
2 |
3 |
4 |
3 |
5 |
2 |
2 |
3 |
2 |
|
a12 |
5 |
4 |
4 |
3 |
2 |
3 |
3 |
1 |
2 |
4 |
|
a13 |
1 |
2 |
2 |
5 |
4 |
–4 |
3 |
3 |
4 |
3 |
|
a21 |
1 |
1 |
1 |
6 |
5 |
–2 |
4 |
4 |
5 |
3 |
|
a22 |
4 |
3 |
2 |
2 |
3 |
5 |
2 |
3 |
3 |
1 |
|
a23 |
3 |
5 |
4 |
3 |
2 |
2 |
1 |
1 |
2 |
4 |
|
a31 |
4 |
4 |
5 |
2 |
2 |
1 |
3 |
1 |
2 |
2 |
|
a32 |
2 |
2 |
3 |
5 |
5 |
1 |
2 |
4 |
5 |
3 |
|
a33 |
5 |
–3 |
1 |
–2 |
–5 |
3 |
4 |
2 |
5 |
3 |
|
b , % |
40 |
30 |
30 |
35 |
45 |
20 |
30 |
25 |
40 |
15 |
|
c , % |
30 |
20 |
45 |
25 |
35 |
40 |
35 |
25 |
15 |
35 |
|
d , % |
30 |
50 |
25 |
40 |
20 |
40 |
35 |
50 |
45 |
50 |
6.6. Фирма производит пользующиеся спросом детские платья и костюмы, реализация которых зависит от состояния погоды. Затраты фирмы в течение апреля–мая на единицу продукции составят: платья ─ А ден. ед., костюмы ─ В ден. ед. Цена реализации составит С ден. ед. и D ден. ед. соответственно.
По данным наблюдений за несколько предыдущих лет, фирма может реализовать в условиях теплой погоды Е шт. платьев и К шт. костюмов, при прохладной погоде ─ М шт. платьев и N шт. костюмов.
В связи с возможными изменениями погоды определить стратегию фирмы в выпуске продукции, обеспечивающую ей максимальный доход.
74
Задачу решить графическим методом и с использованием критериев игр с природой, приняв степень оптимизма λ , указанную в табл. 34. Значения коэффициентов условия задачи указаны в табл. 34.
Таблица 34
№ В
Знач. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
5 |
10 |
7 |
12 |
15 |
9 |
11 |
13 |
6 |
8 |
В |
25 |
35 |
28 |
40 |
42 |
32 |
38 |
41 |
26 |
30 |
С |
10 |
18 |
12 |
22 |
28 |
15 |
20 |
24 |
11 |
14 |
D |
40 |
80 |
55 |
95 |
115 |
70 |
85 |
105 |
50 |
60 |
Е |
1220 |
1370 |
1340 |
1430 |
1460 |
1310 |
1390 |
1510 |
1480 |
1550 |
К |
550 |
530 |
490 |
510 |
570 |
560 |
580 |
605 |
590 |
600 |
М |
410 |
450 |
430 |
460 |
470 |
440 |
465 |
475 |
480 |
490 |
N |
930 |
970 |
950 |
920 |
980 |
990 |
960 |
910 |
940 |
880 |
λ |
0,4 |
0,6 |
0,3 |
0,7 |
0,5 |
0,4 |
0,3 |
0,7 |
0,6 |
0,5 |
6.7. Предприятие выпускает скоропортящуюся продукцию I и II. Данные о ее себестоимости, отпускных ценах и объемах реализации приведены в табл. 35.
|
|
|
|
|
Таблица 35 |
Вид |
Себестоимость |
Отпускная цена, ден.ед. |
Объем реализации, ед. |
||
ед. продукции, |
В день |
Позже |
В теплую |
В холодную |
|
|
ден.ед. |
изготовления |
|
погоду |
погоду |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
I |
0,8 |
1,2 |
0,3 |
1000 |
4000 |
|
|
|
|
|
|
II |
0,5 |
0,8 |
0,2 |
6000 |
1200 |
|
|
|
|
|
|
На реализацию всей произведенной продукции расходуется
200ден. ед. Требуется:
1)придать описанной ситуации игровую схему, установить характер игры и выявить ее участников, указать возможные чистые стратегии сторон;
2)составить платежную матрицу;
3)выяснить, какое решение о выпуске продукции целесообразно принять, чтобы получить максимальный доход, при следующих предположениях: а) известны вероятности теплой и холодной погоды: 0,64 и 0,36; б) наступление как теплой, так и холодной погоды
75
равновероятно; в) о том, какая будет погода, ничего определенного сказать нельзя. (Принять λ =0,7 ─ значение параметра в критерии Гурвица).
76
ЛИТЕРАТУРА
1.Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. М.: Высш. шк., 1986.
2.Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М.: Дело и Сервис, 2001.
3.Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учеб. пособие, М.: Дело, 2000.
4.Кузнецов А.В., Холод Н.И., Костевич Л.С. Руководство к решению задач по математическому программированию: Учеб. пособие. Мн.: Выш. шк., 2001.
5.Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика. Математическое программирование. Мн.: Выш. шк., 1994.
6.Сакович В.А. Исследование операций: Справочное пособие.
Мн.: Выш. шк., 1985.
7.Яновiч У.I. Матэматычнае праграмаванне. Мн.: БДТУ, 1998.
77
СОДЕРЖАНИЕ |
|
ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................. |
3 |
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ................................................... |
4 |
§ 1. Транспортные задачи........................................................................... |
4 |
1.1. Транспортные задачи, имеющие усложнения в постановке ....... |
4 |
1.2. Задача о назначениях....................................................................... |
5 |
1.3. Двухэтапная транспортная задача.................................................. |
9 |
1.4. Задачи для самостоятельного решения........................................ |
13 |
§ 2. Двойственность в линейном программировании ........................... |
21 |
2.1. Задачи для самостоятельного решения........................................ |
28 |
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ...................................... |
31 |
§ 3. Задачи динамического программирования. .................................... |
31 |
3.1. Основные условия и область применения задач......................... |
31 |
динамического программирования..................................................... |
31 |
3.2. Составление математической модели динамического |
|
программирования................................................................................ |
34 |
3.3. Этапы решения задачи динамического программирования...... |
35 |
3.4. Выбор оптимальной стратегии замены оборудования как задача |
|
динамического программирования..................................................... |
36 |
3.5. Задачи для самостоятельного решения........................................ |
42 |
МОДЕЛИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ .......................................... |
44 |
§ 4. Производственная функция.............................................................. |
44 |
4.1. Задачи для самостоятельного решения........................................ |
48 |
§ 5. Модели управления запасами........................................................... |
49 |
5.1. Общая постановка задачи.............................................................. |
49 |
5.2. Основная модель управления запасами....................................... |
51 |
5.3. Модель производственных запасов.............................................. |
52 |
5.4. Модель запасов, включающая штрафы....................................... |
54 |
5.5. Точка заказа.................................................................................... |
56 |
5.6. Оптимальный объем партии ......................................................... |
56 |
5.7. Решение экономических задач с использованием моделей |
|
управления запасами............................................................................. |
58 |
5.8. Задачи для самостоятельного решения........................................ |
60 |
§ 6. Статистические игры......................................................................... |
63 |
6.1. Задачи для самостоятельного решения........................................ |
71 |
ЛИТЕРАТУРА........................................................................................... |
77 |
78