- •ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
- •§ 1. Транспортные задачи
- •1.1. Транспортные задачи, имеющие усложнения в постановке
- •1.2. Задача о назначениях
- •1.3. Двухэтапная транспортная задача
- •Потребители и их объемы
- •Поставщики и их объемы
- •Поставщики и их объемы
- •1.4. Задачи для самостоятельного решения
- •Потребности
- •Пункты назначения
- •§ 2. Двойственность в линейном программировании
- •2.1. Задачи для самостоятельного решения
- •Нормы затрат сырья на одно изделие, кг
- •ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
- •§ 3. Задачи динамического программирования.
- •3.3. Этапы решения задачи динамического программирования
из них должны производиться новые виды продукции — по одному виду на одно предприятие.
Даны издержки производства единицы продукции, усл. ед.:
|
|
Предприятия |
|
|
||
|
20 |
23 |
38 |
15 |
35 |
|
Вид продукции |
8 |
29 |
6 |
35 |
35 |
. |
|
5 |
8 |
3 |
4 |
7 |
|
|
|
Издержки сбыта единицы продукции, усл. ед.:
|
20 |
50 |
20 |
10 |
13 |
|
|
7 |
90 |
8 |
35 |
60 |
. |
|
5 |
5 |
4 |
15 |
6 |
|
|
|
|
|
Таблица 18 |
|
|
|
Вид продукции |
Плановый объем |
Себестоимость, |
|
производства, шт. |
усл. ед. |
1 |
35000 |
55 |
2 |
160000 |
50 |
3 |
54000 |
30 |
Закрепить выпуск продукции между предприятиями, обеспечивающий получение наибольшей прибыли за год.
1.22. В мастерской имеется два станка с соответствующими мощностями 60 и 70 станко-ч, на которых изготавливается три вида изделий. Стоимость изготовления единицы 1, 2, 3-го изделия на станке № 1 составляет соответственно 4, 6, 3 ден. ед., на станке № 2 − 5, 4, 2 ден. ед. Также известна производительность (шт./ч) каждого из двух станков при производстве 1, 2, 3-го изделий: для станка № 1: 8, 4, 2 соответственно; для станка № 2: 4, 2, 1 соответственно. Известно плановое задание по трем видам изделий: 160, 100, 100. Найти такой план выпуска изделий, чтобы издержки были минимальными.
§ 2. Двойственность в линейном программировании
Каждой задаче линейного программирования можно определенным образом поставить в соответствие некоторую другую задачу (линейного программирования), называемую двойственной или сопряженной по отношению к исходной.
21
Пусть дана общая задача линейного программирования (исходная задача):
z(x) = c1 x1 + c2 x2 +... + cn xn → max
при условиях
a11 x1 |
+ a12 x2 |
+... + a1n xn |
≤b1 , |
||||||||||||
a |
x |
+ a |
22 |
x |
2 |
+... + a |
2n |
x |
n |
≤b |
2, |
|
|
||
|
21 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
............... |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ak1 x1 + ak 2 x2 |
+... + akn xn |
≤bk , |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+1)2 x2 +... + a(k +1)n xn =bk +1 , |
|||||||
a(k +1)1 x1 + a(k |
|||||||||||||||
|
|
|
................ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
am1 x1 + am2 x2 +... + amn xn =bm , |
|||||||||||||||
x j ≥ 0 ( j = |
|
, l ≤ n ), |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1,l |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где x j |
произвольного знака при j = |
|
. |
||||||||||||
l +1, n |
Двойственная к ней задача имеет вид f ( y) = b1 y1 + b2 y2 +... +bm ym → min
при условиях
a11 y1 + a21 y2 +... + am1 ym ≥ c1 ,a12 y1 + a22 y2 +... + am2 ym ≥ c2 ,
...............
a1l y1 + a2l y2 +... + aml ym ≥ cl ,
a1(l+1) y1 + a2(l+1) y2 +... + am(l+1) ym = cl+1 ,
................
a1n y1 + a2n y2 +... + amn ym = cn , yi ≥ 0 (i =1, k , k ≤ m ),
где yi произвольного знака при j = k +1, m .
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
Задача (2.4) ― (2.6), двойственная к задаче (2.1) ― (2.3),
строится по следующим правилам:
1) упорядочивается запись исходной задачи, т. е. если целевая функция задачи максимизируется, то ограничения-неравенства должны быть вида ≤, если минимизируется, то вида ≥. Выполнение этих условий достигается умножением соответствующих ограничений
22
на -1;
2)если исходная задача является задачей максимизации, то двойственная будет задачей минимизации. При этом вектор, образованный из коэффициентов при неизвестных целевой функции исходной задачи, совпадает с вектором констант в правых частях ограничений двойственной задачи. Аналогично связаны между собой векторы, образованные из коэффициентов при неизвестных целевой функции двойственной задачи, и константы в правых частях ограничений исходной задачи;
3)каждой переменной yi двойственной задачи соответствует i -e
ограничение исходной задачи, и, наоборот, каждой переменной x j
прямой задачи соответствует j -e ограничение двойственной задачи; 4) матрица из коэффициентов при неизвестных двойственной задачи AT образуется транспонированием матрицы A = (aij )m×n ,
составленной из коэффициентов при неизвестных исходной задачи; 5) если на j -ю переменную исходной задачи наложено условие
неотрицательности, то j -e ограничение двойственной задачи будет неравенством, в противном случае j -e ограничение будет равенством; аналогично связаны между собой ограничения исходной задачи и переменные двойственной.
Так как двойственная задача по отношению к двойственной является исходной, то задачи (2.1) ― (2.3) и (2.4) ― (2.6) образуют пару взаимно двойственных задач.
Дадим экономическую интерпретацию пары двойственных задач. Рассмотрим задачу рационального использования ресурсов. Пусть предприятие располагает ресурсами b1 , b2 ,…, bm , которые могут
использоваться для выпуска n видов продукции. Пусть также известны стоимость единицы j -го вида продукции c j ( j =1, n ) и
норма потребления i -го ресурса (i =1, m ) на производство единицы j -й продукции — aij . Требуется определить объем производства
23
продукции каждого вида x j ( j =1, n ), максимизирующий суммарную стоимость:
z(x) = c1 x1 + c2 x2 +... + cn xn (2.7)
При этом расход ресурсов не должен превышать их наличия:
a |
x |
+... + a |
x |
|
≤ b , |
(2.8) |
|
11 |
1 |
|
1n |
|
n |
1 |
|
|
|
|
............. |
|
|
|
|
|
|
|
+... + amn xn ≤ bm . |
|
|||
am1 x1 |
|
|
|||||
Все неизвестные |
по |
|
своему экономическому |
смыслу |
неотрицательны: |
(2.9) |
|||
|
|
|
||
x j ≥ 0 ( j =1, n ). |
||||
|
По исходным данным сформулируем другую экономическую задачу (двойственную).
Предположим, что некоторая организация может закупить все ресурсы, которыми располагает предприятие. Необходимо
определить оптимальные цены (оценки) yi (i =1, m ) на эти ресурсы
исходя из естественного условия, что покупающая организация стремится минимизировать общую оценку ресурсов. Следует, однако, учитывать и тот факт, что за ресурсы покупающая организация должна уплатить сумму, не меньшую той, которую может выручить предприятие при организации собственного производства продукции.
Математическая модель задачи имеет следующий вид
f ( y) = b1 y1 +... +bm ym → min |
(2.10) |
||||||||
|
|||||||||
a |
y |
+... + a |
|
|
y |
|
≥ c |
, |
(2.11) |
11 |
1 |
|
m1 |
|
m |
1 |
|
||
|
|
............. |
|
|
|
|
|
||
|
|
+... + amn ym ≥ cn , |
|
||||||
a1n y1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.12) |
|
yi ≥ 0 (i =1, m ). |
|
|||||||
|
|
|
Здесь f — общая оценка ресурсов. Каждое j -е ограничение из
системы (2.11) представляет собой неравенство, левая часть которого равна оценке всех ресурсов, расходуемых на производство единицы j -го вида продукции, а правая — стоимости единицы этой
продукции.
Заметим, что задачи (2.7) ― (2.9) и (2.10) — (2.12) образуют
симметричную паpy взаимно двойственных задач.
24
Пример 2.1. Фирма выпускает три вида изделий, располагая при этом сырьем 4-х типов: А, Б, В, Г соответственно в количествах 18, 16, 8 и 6 т. Нормы затрат каждого типа сырья на единицу изделия первого вида составляют соответственно 1, 2, 1, 0, второго вида — 2, 1, 1, 1 и третьего вида — 1, 1, 0, 1. Прибыль от реализации единицы изделия первого вида равна 3 усл. ед., второго — 4 усл. ед., третьего — 2 усл. ед.
Требуется:
1)составить план производства трех видов, максимизирующих прибыль;
2)определить дефицитность сырья;
3)установить размеры максимальной прибыли при изменении сырья А на 6 т, Б — на –3 т, В — на 2 т, Г — на 2 т. Оценить раздельное влияние этих изменений и суммарное их влияние на прибыль;
4)оценить целесообразность введения в план производства фирмы нового вида изделий (четвертого), нормы затрат на единицу которого соответственно равны 1, 2, 2, 0, а прибыль составляет 15 усл. ед.
Решение. 1) Обозначим через X = (x1 , x2 , x3 ) план производства
изделий трех видов, тогда математическая модель задачи примет вид z(x) = 3x1 + 4x2 + 2x3 → max
при ограничениях
x1 + 2x2 + x3 ≤18,2x1 + x2 + x3 ≤16,x1 + x2 ≤ 8,
x2 + x3 ≤ 6,
x j ≥ 0 , j =1,3 .
Решаем задачу симплексным методом, при этом последняя таблица будет иметь вид
Таблица 19
i |
Базис |
cБ |
b = |
A0 |
3 |
4 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
A5 |
A6 |
A7 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
A4 |
0 |
4 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
–1 |
–1 |
|
2 |
A3 |
2 |
3 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 2 |
–1 |
1 2 |
|
3 |
A1 |
3 |
5 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 2 |
0 |
−1 2 |
|
4 |
A2 |
4 |
3 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
−1 2 |
1 |
1 2 |
25
∆ j |
33 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 2 |
2 |
3 2 |
Из таблицы следует X =(5,3,3,4,0,0,0), при этом z(X ) = 33 усл. ед. Согласно теоремам двойственности, Y =(0,1/2,2,3/2,0,0,0), при этом f (Y ) = 33 усл. ед.
2) Наиболее дефицитным является сырье типа В, для которого двойственная оценка y3 = 2 . Менее дефицитным является сырье вида Б, для которого y2 =12. Совсем не дефицитным является сырье A
( y1 = 0 ).
Для определения интервала устойчивости оценок найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов при базисных переменных в оптимальном решении системы ограничений. Базисными переменными в оптимальном решении являются x1 , x2 , x3 , x4 .
Матрица коэффициентов при этих переменных в системе ограничений имеет вид
|
1 |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
2 |
1 |
1 |
0 |
|
|
A = (aij ) = |
1 |
1 |
0 |
0 |
. |
|
|
|
|||||
0 |
1 |
1 |
0 |
|||
|
|
Тогда обратная матрица для матрицы A следующая:
|
|
|
0 |
1 2 |
0 |
−1 2 |
|
|
−1 |
|
|
0 |
−1 2 1 |
1 2 |
|
|
|
A |
= (dij ) = |
|
0 |
1 2 |
−1 |
1 2 |
|
(находится в последней |
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
0 |
−1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
симплекс таблице в столбцах A4 , A5 , A6 , A7 ).
Найдем интервал устойчивости оценок по видам сырья:
|
|
|
|
3 |
|
|||
∆b1H = min |
x j |
= |
= 6 ― нижний предел уменьшения, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 2 |
||||||
j(d1 j >0) |
d |
|
|
|
|
|||
|
|
1 j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
∆b1B = max |
x j |
= |
|
|
|
= 8 ― верхний предел увеличения. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
−1 2 |
|
|||||||
j(d1 j <0) |
d |
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 j |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Интервал устойчивости оценок по отношению к первому |
||||||||||
ограничению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(b −bH ;b +bB )= (18 −6;18 +8) = (12;26) . |
||||||||||
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
26
Аналогично определим интервалы устойчивости оценок по отношению к ограничениям остальных видов сырья:
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∆b2H = |
min |
|
3 |
; |
|
|
=3, ∆b2B = |
|
|
|
|
= 6 , |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 2 |
|
||||||||||||||||||
j(d2 j >0) 1 |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∆b3H = |
|
min |
|
3 |
|
; |
|
|
= 6 , |
∆b2B = |
|
|
= 3 , |
||||||||||||||
|
|
1 2 |
|
|
−1 |
||||||||||||||||||||||
j(d3 j >0) 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∆b4H = |
=5, ∆b4B |
|
|
= |
max |
|
; |
|
|
|
|
= 3 . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j(d4 j <0) |
|
|
−1 |
|
|
|
Интервалы устойчивости оценок по отношению: ко второму ограничению (16-3;16+6) =(13; 22),
ктретьему ограничению (8-6;8+3) =(2;11),
кчетвертому ограничению (6-5;6+3)=(1;9).
3)Изменения сырья согласно условиям задачи на +6, –3, +2, +2 т приводят к ограничению запаса сырья до 18+6=24, 16–3=13, 8+2=10, 6+2=8 т соответственно. Поскольку эти изменения находятся в пределах устойчивости оценок, на что указывают интервалы, то раздельное их влияние на прибыль определяется по формуле
|
|
|
|
z |
|
= y |
b (i = |
|
), |
|
|
|
|
|
i |
1,4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z |
max |
) |
1 |
= y |
b = 0 6 = 0 , |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||
(zmax )2 |
= y2 b2 =1 2 (−3) = −3 2 , |
|||||||||
(z |
max |
) |
3 |
= y |
b = 2 2 = 4 , |
|||||
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
||
(zmax )4 |
= y4 b4 =3 2 2 =3 . |
|||||||||
Суммарное влияние на прибыль: |
|
|
|
zmax = (zmax )1 + (zmax )2 + (zmax )3 + (zmax )4 = 0 −32 + 4 +3 =112 усл. ед.
Если изменение сырья не находится в пределах устойчивости оценок, то необходимо найти новые условные оценки, т.е. решить задачу симплексным методом с изменением количества сырья соответствующих видов.
4) Для оценки целесообразности введения в план производства фирмы четвертого вида изделий используем формулу
27