18. Дисперсия дискретной случайной величины (определение, формула для вычисления). Основные свойства дисперсии.

ДисперсиейДСВназывается математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания

Дисперсия служит для характеристики рассеяния СВ относительно ее математического ожидания

Свойства дисперсии:

а) , где;

б) ;

в),

где – ковариация двух случайных величини;

г) если инекоррелированы, то, тогда.

19. Биномиальное распределение и его числовые характеристики. Привести пример. Биномиальный закон распределения.Случайная величина, распределенная по биномиальному закону, принимает значения:

0, 1, 2, …, nс вероятностями, определяемыми по формулам Бернулли:

	0	1	2	,,,		,,,

 

Числовые хар-ки: Математическое ожидание: . Дисперсия:.

Пример.В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую пятую единицу товара денежный приз размером 100 тенге. Найти закон распределения числа сотен тенге, полученных при четырёх сделанных покупках.

20. Распределение Пуассона и его числовые характеристики. Привести пример.Закон распределения Пуассона. Случайная величина, распределенная по закону Пуассона, принимает бесконечное счетное число значений: 0, 1, 2, …,m, …, с соответствующими вероятностями, определяемыми по формуле Пуассона

При ибиномиальный закон распределения приближается к закону распределения Пуассона, гдеa=np

Математическое ожидание M(ξ) = ДисперсияD(ξ) =a.

Пример: число родившихся за определённый период близнецов, число опечаток в большом тексте.

21. Непрерывные случайные величины. Способы задания закона распределения (функция распределения, плотность вероятности). Привести пример. Функция распределения представляет собой универсальный способ задания СВ в том смысле, что она существует только для дискретной СВ, а плотность распределения – только для непрерывной.

Для непрерывной СВ функция распределения F(x)=P(ξ<x) непрерывна в любой точке числовой прямой. Более того, P(ξ=x₀)=0, т.е. вероятность того, что непрерывная СВ примет заранее указанное значение, равна нулю.

F_(x) можно представить в виде интеграла

Функция называется функциейплотности распределения вероятностей.

22. Плотность вероятности Основные свойства. Функцияназывается функциейплотности распределения вероятностей.

Из определения вытекают свойства функции плотности распределения :

1.Плотность распределения неотрицательна: .

2. Интеграл по всей числовой прямой от плотности распределения вероятностей равен единице:

3. В точках непрерывности плотность распределения равна производной функции распределения: .

4. Плотность распределения определяет закон распределения случайной величины, т.к. определяет вероятность попадания случайной величины на интервал :

.

5. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение равна нулю:. Поэтому справедливы следующие равенства:

23. Числовые характеристики непрерывной СВ. Математическое ожидание для непрерывно распределенных случайных величин определяется по формуле При этом интеграл, стоящий справа, должен абсолютно сходиться. Пусть имеет плотность р(х) и (х) - некоторая функция. Математическое ожидание величины () можно вычислить по формуле

, если интеграл, стоящий справа, абсолютно сходится.

Дисперсия  может быть вычислена по формуле , а также, как и в дискр-ом случае, по ф-ле, где24. Равномерный закон распределения и его числовые характеристики. Пример. Равномерное распределение. Непрерывная случайная величинаимеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если плотность распределения р_(x) сохраняет постоянное значение на этом промежутке:

Функция распределения F_(x) равномерно распределенной случайной величины равна F_(x)=

Математическое ожидание и дисперсия ;.