2. Примеры решения задач.

Задание 1. При исследовании гомогенных многофазовых реакций получены следующие экспериментальные данные зависимости между константой скорости и величиной, обратной температуре реакции.

t	5	5,6	6	6,4	6,8	7,2	7,6	8	8,4	8,8
K	10,4	14,4	17,1	22,5	25,9	33,1	40,4	50	59,2	74,1

Найдите эмпирическую зависимость .

Решение. На плоскости переменных ипостроим точкии соединим их плавной кривой.

Рис.6.Диаграмма исходных данных.

Сравнивая полученный график с графиками на рис.1-5, мы видим, что для данного случая могут подойти зависимости

или рис. 2-3.

Предположим, что зависимость имеет вид

. (3)

Используя преобразование

, (4)

зависимость (3) преобразуется в линейную . По формулам (4) найдем значения новых перемененныхX и Y и запишем в таблицу 1.

Таблица 1.

X	5,0	5,6	6,0	6,4	6,8	7,2	7,6	8,0	8,4	8,8
Y	0,096	0,069	0,058	0,044	0,039	0,030	0,024	0,020	0,016	0,013

Построив на плоскости OXY точки ,рис.7, мы видим, что они расположены вдоль некоторой кривой, а не прямой линии. Следовательно, вид зависимости выбран неправильно и формула (3) не подходит.

Рис.7. Диаграмма таблицы 1. Рис.8. Диаграмма таблицы 2.

Предположим теперь, что зависимость задается формулой . Используя преобразование, получим

. (4)

X	5,0	5,6	6,0	6,4	6,8	7,2	7,6	8,0	8,4	8,8
Y	2,3418	2,6672	2,8391	3,1135	3,2542	3,4995	3,6988	3,912	4,0809	4,3054

Найдем значения новых переменных X и Y по формулам ; и запишем в таблицу 2.

Таблица 2.

На плоскости OXY построим точки ,. Как видно из рис.8, они расположены вдоль некоторой прямой линии. Следовательно, вид зависимости выбран правильно. Параметрыиb найдем методом наименьших квадратов.

Для вычисления коэффициентов системы составим таблицу:

5	10,4	5	2,3418	25	11,709
5,6	14,4	5,6	2,6672	31,36	14,936
6	17,1	6	2,8391	36	17,034
6,4	22,5	6,4	3,1135	40,96	19,926
6,8	25,9	6,8	3,2542	46,24	22,129
7,2	33,1	7,2	3,4995	51,84	25,197
7,6	40,4	7,6	3,6988	57,76	28,111
8	50	8	3,912	64	31,296
8,4	59,2	8,4	4,0809	70,56	34,28
8,8	74,1	8,8	4,3054	77,44	37,888
	∑	69,8	33,713	501,16	242,51

Запишем нормальную систему уравнений

Решая ее находим и. Отсюда находим значение параметра:. Таким образом, исходная зависимость имеет вид.

Решение при помощи Excel.

Решим рассматриваемую задачу с помощью Мастера диаграмм. На основе диапазона данных построим точечную диаграмму и, используя средства форматирования, приведем ее к удобному для восприятия виду. На диаграмме выделим ряд значений и выбрав контекстное меню (нажатием правой клавиши мыши), выберем команду Добавить линию тренда. Будет открыто диалоговое окно Линия тренда, содержащее вкладку Тип, где задается вид тренда (уравнения): линейный, логарифмический, полиномиальный (от 2-й до 6-й степени включительно), степенной, экспоненциальный.

Для того чтобы получить аналитическое выражение выбранного уравнения, необходимо на вкладке Параметры активизировать флажок Показывать уравнение на диаграмме. Если поставить флажок Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации R^2, то в области построения будет выделено значение показателя , по которому можно судить, насколько хорошо выбранное уравнение аппроксимирует эмпирические данные. Чем ближек единице, тем более адекватным исследуемому явлению или процессу является уравнение.

Выбирая предлагаемые виды зависимости, убеждаемся, что экспоненциальная зависимость наиболее хорошо аппроксимирует эмпирические данные (рис.9).

Рис.8. Результат решения при помощи Excel.

Студентам предлагается, при помощи Excel, используя преобразование , найтиметодом наименьших квадратов оценки параметров линейной зависимости . Решение представлено на рабочем листе 1 (рис.10).

Рис.10. Рабочий лист 1