ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2

Эмпирические зависимости. Метод выравнивания.

1. Теоретические сведения.

Наиболее «удобной» с точки зрения получения эмпирических зависимостей является линейная зависимость: во-первых, ее вид легко установить из геометрического расположения точек ,, во-вторых, существует много достаточно простых методов для нахождения её параметров. Гораздо сложнее обстоит дело в случае нелинейной зависимости. Экспериментальные данные обычно рассматриваются на некотором промежутке изменения переменной, и довольно часто этот промежуток не так уж велик. Поэтому, если искать вид зависимости исходя из геометрических построений, могут возникнуть затруднения в определении вида кривой: графики многих функциональных зависимостей на некоторых участках почти не отличаются друг от друга. Кроме того, при нахождении параметров эмпирической зависимости часто получается сложные системы. Например, если пользоваться методом наименьших квадратов для нахождения параметров в случае экспоненциальной зависимости, то мы приходим к системе трансцендентных уравнений. Указанные выше трудности зачастую удается избежать, применяя метод выравнивания, суть которого состоит в следующем.

Пусть заданы результаты наблюдений

x			…
y			…

(1)

Причем для переменных иих соответствующие значения,,таковы, что точкине располагаются на прямой линии. И пусть геометрическим или каким-либо другим образом определен вид нелинейной зависимостиот. Найдем, если можно, взаимно-однозначное преобразование, , при котором эта нелинейная зависимость переходит в линейную .

По формулам ,и исходным данным (1)

найдем соответствующие значения новых переменных X и Y. В результате получим

			…
			…

(2)
При этом точки ,будут располагаться вблизи некоторой прямой. По исходным данным (2), методом наименьших квадратов найдем эмпирическую зависимость. Затем, переходя в этой формуле к исходным переменными, найдем искомую зависимостьот.

Методом выравнивания пользуются не только для определения неизвестных параметров, но и для проверки правильности выбора вида функциональной зависимости. Действительно, если вид зависимости отопределен правильно, то точки,будут располагаться вблизи некоторой прямой, если это не так, то значит вид зависимостиотопределен неправильно.

Ниже указаны преобразования, с помощью которых можно свести к линейной зависимости некоторые классы функций, наиболее часто встречающиеся на практике.

№ п/п		Преобразование	Определяемые параметры	Ограничения
1.		;	;	;
2.		;	;
3.		;	;
4.		;	;
5.		;	;

На рис. 1 − 5 приведены графики некоторых функциональных зависимостей.

Рис. 1. Зависимость ,

Рис. 2. Зависимость,

Рис. 3. Зависимость Рис.4. Зависимость

Рис. 5. Зависимость

Параметрыилинейной зависимости обычно ищут методом наименьших квадратов. После чего находят параметрыии записывают первоначальную зависимость.